phương trình sai phân và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN CƠ TIN HỌC ……… NGUYỄN TIẾN TUẤN PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP... Phương t

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN CƠ TIN HỌC

………

NGUYỄN TIẾN TUẤN

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60 46 01 13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN CƠ TIN HỌC

………

NGUYỄN TIẾN TUẤN

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm giúp đỡ của tất cả mọi người đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành nhiệm vụ của mình

Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2015

Tác giả

LỜI MỞ ĐẦU

Rất nhiều hiện tượng khoa học kỹ thuật trong thực tiễn mà việc tìm hiểu

nó dẫn đến bài toán giải phương trình sai phân Phương trình sai phân còn là một công cụ giúp giải các bài toán vi phân, đạo hàm và các phương trình đại số cấp cao

Sự ra đời của phương trình sai phân cũng xuất phát từ việc xác định mối quan hệ thiết lập bởi một bên là một đại lượng biến thiên liên tục (được biểu diễn bởi hàm, chẳng hạn f(x) ) với bên còn lại là độ biến thiên của đại lượng đó Đối với các hàm thông thường nghiệm là một giá trị số (số thực, số phức,… ) Còn trong phương trình sai phân mục tiêu là tìm ra công thức của hàm chưa được biết nhằm thỏa mãn mối quan hệ đề ra Thông thường nó sẽ là một họ các phương trình, sai lệch bằng một hằng số C nào đó Hàm này sẽ được xác định chính xác khi có thêm điều kiện xác định ban đầu hoặc điều kiện biên Trong các ứng dụng thực tế, không dễ dàng để tìm ra công thức của hàm nghiệm Với giá trị của thực tiễn khi ấy người ta chỉ quan tâm tới giá trị của hàm tại các giá trị cụ thể của các biến độc lập

Các phương pháp nhằm tìm ra giá trị chính xác của hàm được gọi là phân tích định lượng Tuy nhiên không phải lúc nào cũng xác định được các giá trị thực, lúc này người ta lại quan tâm đến các giá trị xấp xỉ (có một độ chính xác nhất định) với giá trị thực Việc tìm các giá trị này được thực hiện thường là bằng phương pháp số với công cụ là máy tính

Phương trình sai phân được nghiên cứu rộng rãi trong toán học thuần túy

hiện được nhưng đối với phương trình sai phân phi tuyến tính không có công thức chung để giải, ngoại trừ chúng có tính đối xứng Thay vào đó có thể dùng hàm tuyến tính để xấp xỉ hàm phi tuyến với những điều kiện ràng buộc nhất định

Ở trường trung học phổ thông cũng như trong các kỳ thi học sinh giỏi toán xuất hiện nhiều bài toán hay và khó về dãy số, giới hạn, số học, tích phân truy hồi, phương trình hàm, … được cho dưới dạng một phương trình sai phân hay

có sử dụng phương trình sai phân để giải Chính vì vậy mà nhiệm vụ tìm hiểu những ứng dụng của phương trình sai phân trong các bài toán phổ thông là một yêu cầu cấp thiết và quan trọng

Việc xây dựng có hệ thống các kiến thức cơ bản về phương trình sai phân

có phân loại các dạng phương trình sai phân với sự tổng hợp các phương pháp giải sẽ đóng góp tốt hơn, có hiệu quả cao hơn cho việc định hướng nghiên cứu

và phát triển tư duy cho học sinh

Luận văn được chia làm hai chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương này nhắc lại và xây dựng các kiến thức cơ bản mà nó được ứng dụng rộng rãi ở chương sau

Chương 2: Một số ứng dụng của phương trình sai phân

Chương này nêu các ứng dụng của phương trình sai phân trong giải toán phổ thông Đặc biệt đã giới thiệu được một số bài toán trong các kì thi học sinh giỏi có sử dụng phương trình sai phân tuyến tính và phi tuyến tính để giải Vấn

đề tuyến tính hóa cũng được thâm nhập sâu hơn và đa dạng hơn ở chương này Những kiến thức trình bày trong luận văn này ở phổ thông được dùng cho các em học sinh ôn luyện tham gia các kì thi học sinh giỏi Tất nhiên các kiến thức đó được sắp xếp, trình bày một cách có hệ thống để tiện theo dõi Người đọc từ đó có thể nhận xét, đánh giá tổng quan để có thể bổ sung, mở rộng kiến thức hơn nữa nhằm phát huy khả năng sáng tạo, sự say mê khám phá hứa hẹn nhiều kiến thức mới thú vị, bổ ích và thiết thực

̃

̃

̃

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

̃

̃

{ }

̃

̃

∑ ∑

| | √

̃ ∑

̅̅̅̅

̃

[ ] [ ]

{ {

̃

̃

̃

̃

̃ ̃

[ ]

̃

̃

̃

̃

̃

̃

{ }

̃

[ ] [ ]

{ {

̃

̃

̃

̃

̃

̃

̃

̃

{

{

{

( )

{ { {

{

{

,

√

√

√

√

√

( √ ) ( √ )

( √ ) ( √ )

√ √

√ [ √ √ ]

{

(

)

{

(

)

{ }

{ { {

{ (

)

* +

{ {

{ (

) √

{ ( )

{ ( ) √

{ (√ )

√

{ (√ ) √

√

{ }

{ } (

)

ì

{

√ √ √ √

√ √ √ √

( √ ) ( √ )

( √ ) ( √ ) √

√ √

{ }

(∑

) (∑

)

√

√

√

á ã ố á à á đƣợ ì à ở ầ à đề đƣợ á đị ở ƣơ ì â ệ ƣơ ì â ứ ó ớ ê ầ à á đị á ế ố ố ọ ê đế ã ố đó ƣ ƣớ ố ố ê ố ố í ƣơ ố ậ ƣơ í ế ấ đẳ ứ ố ê ầ ê

ệ ả á à á à ẫ ớ ả ƣơ ì â ế í

ế í Đ ề à à ủ ố ê ứ ụ ủ ƣơ ì â à ấ đề ế í ó ạ đƣợ ị ẳ đị ò ủ ó

(

)

{ }

{

ừ ệ ê ó

√

( √ ) ( √ )

(√ )

√

(√ )

√ ớ

√

√

√

√

√

ậ [(√ ) ] (√ )

( √ ) √

ì ậ ồ ạ (√ )

√

√

à ê ụ ê ( √ )

à ầ ì à đó à ằ ố

∫

∫

( ∑

)

√ √

( √ )

√

ã á đ

ì để à ã ố ê

KẾT LUẬN

Bản luận văn này nêu được các phương pháp giải phương trình sai

phân tuyến tính và một số dạng phương trình sai phân phi tuyến tính có thể tuyến tính hóa được Từ những kiến thức đó đã nêu được các ứng dụng của phương trình sai phân trong việc giải các bài toán ở trường trung học phổ thông

Phương pháp tuyến tính hóa cho ta những cách giải độc đáo khác nhau cho các bài toán có dạng đặc th Tuy nhiên với những bài toán lên quan đến phương trình sai phân thì chúng ta đều có thể khai thác phương pháp tổng quát

đã xây dựng được để giải Đây cũng là sự thành công về mặt định hướng cho phương pháp giải toán

Với thời gian nghiên cứu và khả năng có hạn, chúng tôi hy vọng luận văn này sẽ giúp ích phần nào cho các thầy, cô giáo và các em học sinh ở nhà trường phổ thông trong việc học tập môn toán Luận văn này cũng hy vọng đóng góp một phần nhỏ bé vào việc mở rộng ứng dụng của phương trình sai phân trong việc rèn luyện học sinh giỏi toán ở trung học phổ thông

Cuối cùng tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến Ban lãnh đạo, cùng các thầy cô Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu Đặc biệt là sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình, chu đáo, sâu sắc và đầy kinh nghiệm của Tiến sỹ Lê Đình Định – Giảng viên của nhà trường đã giúp tác giả hoàn thành luận văn này

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Lê Đình Định – Bài tập phương trình sai phân, Nhà xuất bản Giáo dục

2011

2 Lê Đình Thịnh (Chủ biên), Đặng Đình Châu, Lê Đình Định, Phan Văn

Hạp -Phương trình sai phân và một số ứng dụng, Nhà xuất bản Giáo dục

2001

3 Lê Đình Thịnh , Lê Đình Định – Các phương pháp sai phân, Nhà xuất

bản ĐHQG Hà Nội - 2005