Mét sè trong c¸c ®¹i biÓu quen biÕt nhau vµ sè cßn l¹i kh«ng quen biÕt nhau... Mét sè trong c¸c ®¹i biÓu quen biÕt nhau vµ sè cßn l¹i kh«ng quen biÕt nhau.[r]
Trang 1Sở giáo dục và đào tạo phú thọ
kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 t.h.c.s cấp tỉnh
năm học 2002 – 2003
Đề thi môn toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Ngày thi: 20 tháng 03 năm 2003
-Bài 1: Giải các phơng trình:
a, 2 x 2004 2 2003 2004 2 2003 0
3 2
1
1
x + 4005 4010006
1 2
1001
Bài 2:
1 Ba số có tổng là 2003, có tích là - 2003 và có tổng các tích của hai trong ba số
là -1 Tìm tất cả các bộ ba số ấy
2 Trên mặt phẳng cho 2028 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng và không có bốn điểm nào cùng thuộc một đờng tròn Chứng minh rằng luôn luôn
vẽ đợc ba cung tròn có hai đầu mút là hai trong số các điểm đã cho, chia mặt phẳng thànhba phần: Phần thứ nhất có 20 điểm, phần thứ hai có 3 điểm, và phần thứ ba có 2003 điểm
Bài 3:
a, Tìm tất cả các số hữu tỉ x sao cho 2 2004
x
x là một số nguyên
b, Trong một hội nghị có 2003 đại biểu Một số trong các đại biểu quen biết nhau
và số còn lại không quen biết nhau Chứng minh rằng có ít nhất một đại biểu có
số ngời quen trong hội nghị là một số chẵn
Bài 4:
Cho tam giác ABC có bán kính đờng tròn nội tiếp bằng 1 và độ dài các đờng cao là ha, hb, hc
a, CMR: nếu ha, hb, hc là các số nguyên thì tam giác ABC là tam giác đều
b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
P =
b
a h
1
+
c
b h
1
+
a
c h
1
-Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Đáp án Đề thi học sinh giỏi lớp 9 t.h.c.s cấp tỉnh
môn toán năm học 2002 – 2003
Ngày thi: 20 tháng 03 năm 2003
-Bài 1(3điểm): Giải các phơng trình:
a, 2 x 2004 2 2003 2004 2 2003 0
3 2
1
1
x + 4005 4010006
1 2
1001
Trang 2Đáp án B.điểm
a, (1,5 đ): Ta có: A = 2004 2 2003 2004 2 2003
= 2003 2 2003 1 2003 2 2003 1 0,25đ = ( 2003 1 ) 2 + ( 2003 1 ) 2 0,25đ = 2003 1 2003 1
= 2 2003
0,25đ
Do đó phơng trình đã cho tơng đơng với:
2 x 2 2003 0
0,25đ
b, (1,5đ): Ta phải có điều kiện x k với k = -1, -2, -3, , -2003.
Khi đó ta có:
) 2 )(
1 (
1
) 3 )(
2 (
1
x + +
) 2003 )(
2002 (
1
2004
1001
0,25đ
2004
1001 2003
1 2002
1
3
1 2
1 2
1 1
1
x
0,25đ
2003
1 1
1
2004
) 2003 )(
1 (
2002
2004
x 2 + 2004x – 2005 = 0
x= 1, x= -2005
KL: Nghiệm của phơng trình là: x= 1, x= -2005
0,25đ
Bài 2(2điểm):
1.Ba số có tổng là 2003, có tích là - 2003 và có tổng các tích của hai trong ba
số là -1 Tìm tất cả các bộ ba số ấy
2 Trên mặt phẳng cho 2028 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng
và không có bốn điểm nào cùng thuộc một đờng tròn Chứng minh rằng luôn luôn vẽ
đợc ba cung tròn có hai đầu mút là hai trong số các điểm đã cho, chia mặt phẳng thànhba phần: Phần thứ nhất có 20 điểm, phần thứ hai có 3 điểm, và phần thứ ba có
2003 điểm
1.(1.25đ): Theo đề bài ta cần tìm các số a, b, c sao cho:
a + b + c = 2003, abc = -2003, ab + bc + ca = -1 0,25đ
Rõ ràng a, b, c là nghiệm của phơng trình: (x - a)(x - b)(x - c) = 0
Hay: x3 – (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x – abc = 0 0,25đ Hay: x3 – 2003x2 – x + 2003 = 0
x = 2003, x = 1, x = -1 0,25đ KL: Bộ ba số thỏa mãn bài toán là: 2003, 1, -1 và các hoán vị của chúng 0,25đ
2.(0,75đ): Lấy điểm O tùy ý nằm trong mặt phẳng chứa các điểm đã cho,
nối với 2028 điểm ta đợc các đoạn thẳng, trong đó có đoạn thẳng dài nhất,
kí hiệu là OA Rõ ràng 2028 điểm đã cho thuộc hình tròn (O,OA)
0,25đ
Trang 3Vẽ tiếp tuyến của đờng tròn tại A và cho tiếp tuyến quay quanh A
đến khi gập điểm đầu tiên, kí hiệu là B, ta đợc 2026 điểm cùng thuộc nửa
mặt phẳng bờ là đờng thẳng AB
0,25đ
Từ giả thiết suy ra 2026 điểm còn lại nhìn AB dới các góc khác
nhau: 1 2 3 20 21 23 24 2026
Dựng các cung chứa góc , , trên đoạn thẳng AB, sao cho:
20 21, 23 24, 2003
Đfcm
0,25đ
Bài 3(2điểm):
a, Tìm tất cả các số hữu tỉ x sao cho 2 2004
x
x là một số nguyên
b, Trong một hội nghị có 2003 đại biểu Một số trong các đại biểu quen biết nhau
và số còn lại không quen biết nhau Chứng minh rằng có ít nhất một đại biểu có số ngời quen trong hội nghị là một số chẵn
a,(1,5đ) Ta cần tìm số hữu tỉ x để: x2 + x + 2004 là một số chính phơng 0,25đ Giả sử x = q p với p, q là số nguyên và (p, q) = 1 là số hữu tỉ cần tìm,
Khi đó: (q p )2+ q p + 2004 = n2 ,(n N)
0,25đ
Ta có p2 + pq + 2001pq2 = n2q2 Suy ra, p2 chia hết cho q,
do đó p chia hết cho q q = 1, do đó x là số nguyên
Đa bài toán về: Tìm x Z, sao cho: x2 + x + 2004 = n2
4x2 + 4x + 8016 = 4n2
(2n)2 – (2x + 1)2 = 8015
0,25đ
(2n – 2x - 1)(2n + 2x + 1 ) = 8015
Ta có: 8015 = 1 8015 = 5 1063 = 7 1145 = 35 229
= (-1) (-8015) = (-5) (-1063) = (-7) (-1145) = (-35) (-229)
0,25đ
Lần lợt cho (2n + 2x + 1) và (2n – 2x - 1) các giá trị trên, ta đợc các giá
trị của x thỏa mãn là: 2003, 399, 284, -400, -285, -49, 48, -2004 0,5đ
b,(0,5đ): Nếu A và B quen nhau thì ta gọi là một cặp quen biết Khi đó
nếu m là số cặp quen biết và x1, x2, , x2003 là số ngời quen biết của ngời
thứ nhất, thứ hai, , thứ 2003 thì:
x1 + x2 + + x2003 = 2m (1)
0,25đ
Giả sử x1, x2, , x2003 đều là các số lẻ, thế thì vế trái của (1) là số
lẻ nên suy ra 2m là số lẻ Điều mâu thuẫn này chứng tỏ có ít nhất một số
xi (i = 1, 2, , 2003) là số chẵn, ta có đpcm 0,25đ
Bài 4(3điểm):
Cho tam giác ABC có bán kính đờng tròn nội tiếp bằng 1 và độ dài các đờng cao là ha, hb, hc
a, CMR: nếu ha, hb, hc là các số nguyên thì tam giác ABC là tam giác đều
b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
P =
b
a h
1
+
c
b h
1
+
a
c h
1
a, (1,25đ): Gọi S là diện tích của tam giác ABC, r là bán kính đờng tròn
nội tiếp và a, b, c là độ dài ba cạnh tơng ứng với chiều cao ha, hb, hc 0,25đ
Trang 4Ta có: 2S = (a + b + c)r = a + b + c = a ha = b hb = c hc (do r = 1)
Suy ra: ha = 2S / a; hb = 2S / b; hc = 2S / c
Do đó: 1 1 1 1
c b
a h h
0,25đ
Không mất tính tổng quát, giả sử ha hb hc vì r = 1 nên ha, hb, hc>
2
Và vì ha, hb, hc là các số nguyên nên ha hb hc 3
0,25đ
Suy ra:
c b
a h h h
1 1 1
c
h
3
Theo (1) ta có 1 1 32
b
a h
h nên 3(ha + hb) = 2hahb, hay (2ha- 3)(2hb - 3) = 9 = 9 1 = 3 3
Suy ra ha = hb = hc = 3 a = b= c Do đó tam giác ABC đều
0,25đ
b, (1,75đ): Ta có ( ) 1 1 1 9
z y x z y
x với x, y, z > 0
( Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z ) (*)
( Nếu hs công nhận công thức chỉ cho 0,25đ)
0,5đ
áp dụng (*), ta có: (ha+ 2hb)(1/ha + 1/2hb ) 9 0,25đ
Suy ra:
b
a h
1
b
a h
1 1 9
1
Tơng tự, ta có
c
b h
1
c
b h
1 1 9
1
(2)
a
c h
1
a
c h
1 1 9
1
(3)
0,25đ
Từ (1), (2) và (3), ta có: P
3
1 3 3 3 9
1
c b
a h h h
Dấu “ =” xảy ra khi các dấu “=” ở 1), (2) và (3) xảy ra, tức là:
ha = hb, hb = hc, hc = ha ha = hb = hc
0,25đ
Vậy: GTLN của P là
3
1
Trang 5
-Hết -Sở giáo dục và đào tạo
kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 t.h.c.s cấp tỉnh
năm học 2003 – 2004
Đề thi môn toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Ngày thi: 02 tháng 03 năm 2004
-Bài 1 (2điểm):
a,Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p-1)(p+1) chia hết cho 24
b,Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình sau: xy – 2x – 3y + 1 = 0
Bài 2 (2điểm):
Cho các số a, b, c khác 0 và đôi một khác nhau thỏa mãn điều kiện:
a3 + b3 + c3 = 3abc
b a
c a c
b c b
a c
b a b
a c a
c b
.
Bài 3 (2điểm):
1 Tìm a để phơng trình: 3 x + 2ax = 3a – 1 có nghiệm duy nhất
2 Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c thỏa mãn điều kiện f(x) 1 với x
1 ; 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 4a2 + 3b2
3
Bài 4 (1,5 điểm):
Trên hai tia Ox và Oy của góc xOy có hai điểm A và B (AOx,BOy) chuyển động sao cho OA – OB = m (m là độ dài cho trớc) Chứng minh rằng: Đờng thẳng qua trọng tâm G của tam giác ABO và vuông góc với AB luôn đi qua một điểm cố định
Bài 5 (2,5điểm):
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi ha, hb, hc là các đờng cao; ma, mb, mc là các đờng trung tuyến ứng với các cạnh BC, CA, AB và R, r lần lợt là bán kính các đ-ờng tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng:
r
r R h
m h
m h
m
c
c b
b a
-Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Đáp án Đề thi học sinh giỏi lớp 9 t.h.c.s cấp tỉnh
môn toán năm học 2003 – 2004
Ngày thi: 02 tháng 03 năm 2004