TUYEN TAP DE THI HSG TOAN 9 TAP 2

Vẽ đường tròn tâm O’ đường kính MD.. Đường thẳng ED cắt O’ tại P.. Chứng minh IP là tiếp tuyến của đường tròn O’.. Tìm vị trí của M trên OC để diện tích tam giác IPO’ lớn nhất... Bài 4:

PHÒNG GD - ĐT CẨM GIÀNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn: Toán 9 Sưu tầm: Phạm Văn Cát

THCS Cẩm Định Cẩm Giàng HD Thời gian làm bài:150 phút

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9

0,25

0,25 0,25

0,250,25 0,250,25

= y 2- 2y+1998 chia cho y dư 1998

(x+2) (x+4) (x+6) (x+8) +2013 cho đa thức x 2+10x+21dư 1998

0,55

a)

b)

E D

C H

B

A

Vì D, E là hình chiếu của H trên AB, AC, nên DH AB, HE AC

Tứ giácADHE có DAE=90 0, ADH =90 0, AEH =90 0

0,25 0,250,250,25

I D

C A

Vẽ đường phân giác AD của tam giác ABC

sin 2

0,250,25

a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên a+b-c >0, a+c -b >0, c +b- a >0,

Áp dụng bđt(I) với các số x= a+b-c, y= a+c -b dương ta có:

0,25

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

MễN THI: TOÁN 9 (Thời gian làm bài 150 phỳt)

y x xy

y x

1

2 1

: 1

1

a, Rút gọn P

b, Tính giá trị của P với x=

3 2

x m

a Thì : ac bc  ab.

Bài 4 : (6đ) Cho đường tròn tâm (O) đường kính CD = 2R Điểm M di động trên đoạn

OC Vẽ đường tròn tâm (O’) đường kính MD Gọi I là trung điểm của đoạn MC ,

đường thẳng qua I vuông góc với CD cắt (O) tại E và F Đường thẳng ED cắt (O’) tại P

1 Chứng minh 3 điểm P, M , F thẳng hàng

2 Chứng minh IP là tiếp tuyến của đường tròn (O’)

3 Tìm vị trí của M trên OC để diện tích tam giác IPO’ lớn nhất

Bài 5 : (3đ) Tìm các số nguyên x, y ,z thỏa mãn :

6( 1) 3 ( 1) 2 ( 1) 1 .

xyz

xyz x

z z

y y

y x xy

y x

1

2 1

: 1

1

y x xy

y x

1

2 1

: 1

1

xy y x xy xy

xy

xy y

x xy y

: 1

1

1 1

(0,5đ)

=

xy

xy y x xy

x y y x y x x y y x y

=

1  1

1 1

xy xy

2

 (1điểm)

Ta thấy x=

3 2

2

 thoả mãn điều kiện x0 0.25đ

Ta có : x=

3 2

2

2 32 3

3 2 2

1 3 2 1 3 2 4

1 3

3 2 5 6 3 5

1 3 3 2



13

1 3 3

1

; 3

1 1

3 0 1

1 1 1

3 1 2

k x

y k

k z

Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề

Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: P x y x y : 1 x y 2xy

b) Tính giá trị của P với x 2

b) (D) và (L) cắt nhau tại M và N Chứng minh OMN là tam giác vuông

Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình: 6x4  5x3  38x2  5x 6 0 

Bài 4: (2 điểm) Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh là a, vẽ một đường thẳng

a) Tứ giác MENF là hình chữ nhật

b) MN AD

c) ME.MA = MF.MD

Hết

-UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆNĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI

NĂM HỌC 2013-2014-MÔN: TOÁN LỚP 9

0,5 đ2

(L) (D)

3 Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình

Chia cả 2 vế của phương trình cho x2 ta được:

<=> (2x + 1)(x + 3) = 0 <=> 3

4

1x

Vẽ Ax  AI cắt đường thẳng CD tại J

Ta có AIJ vuông tại A, có AD là đường cao thuộc cạnh huyền IJ, nên:

1 2 12 12

AD AJ  AI (1)

Xét hai tam giác vuông ADJ và ABM, ta có:

AB = AD = a; DAJ BAM (góc có cạnh tương ứng vuông góc)

a) Ta có AEB CFD 90  0 (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)

Vì EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O/), nên:

OE  EF và OF  EF => OE // O/F 0,5 đ

=> EOB FO D / (góc đồng vị) => EAO FCO /

Do đó MA // FN, mà EB  MA => EB  FN

Hay ENF 90 0

Tứ giác MENF có E N F 90   O, nên MENF là hình chữ nhật

0,5 đ0,5 đ

0,5 đb) Gọi I là giao điểm của MN và EF; H là giao điểm của MN và AD

Vì MENF là hình chữ nhật, nên IFN INF

Mặt khác, trong đường tròn (O/): IFN FDC 1 sđ FC

Trong đường tròn (O) có: FEN EAB 1 sđ EB

Lưu ý: Nếu học sinh giải theo cách khác, nếu đúng và phù hợp với kiến thức

trong chương trình đã học thì hai Giám khảo chấm thi thống nhất việc phân bố điểm của cách giải đó, sao cho không làm thay đổi tổng điểm của bài (hoặc ý) đã nêu trong hướng dẫn này./.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Năm học 2013 - 2014 Môn: Toán

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (4,0 điểm):

a Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương

b Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 Câu 2 (4,0 điểm):

) CA BC AB (

a) BD.CE =

4

2

BC

b) DM, EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED.

c) Chu vi tam giác ADE không đổi.

Câu 5 (2,0 điểm): Cho a, b, c là các số dương, chứng minh rằng:

Hết

PHÒNG GD&ĐT PHÙ NINH

Híng dÉn chÊm thi CHỌN häc sinh giái líp 9

Năm học 2013 - 2014 Môn: Toán

(Có điều chỉnh biểu điểm so với đề thi)

Câu 1 (5,0 điểm):

a ( 3,0 i m)điểm) ểm)

h k h

Giả sử A chia hết cho 19 với n = k nghĩa là: A(k) = 7.5 2k + 12.6 k  19

Ta phải chứng minh A chia hết cho 19 với n = k + 1 nghĩa là phải chứng minh: A(k + 1) = 7.5 2(k + 1) + 12.6 k + 1  19

Ta có: A(k + 1) = 7.5 2(k + 1) + 12.6 k + 1

= 7.5 2k 5 2 + 12.6 n 6 = 7.5 2k 6 + 7.5 2k 19 + 12.6 n 6 = 6.A(k) + 7.5 2k 19  19 Vậy theo nguyên lý quy nạp thì A = 7.5 2n + 12.6 n chia hết cho 19 với mọi số tự nhiên n

Câu 2 (6,0 điểm):

a (3,0 điểm)

ĐKXĐ x,y,z  0 Kết hợp xyz = 4  x y z, ,  0; xyz  2

Nhân cả tử và mẫu của hạng tử thứ hai với x, thay 2 ở mẫu của hạng tử thứ ba bởi

Cõu 4 (6,0 điểm)

1 (3,0 điểm):

a) (1,0đ) AAHA''

BC '.

AA 2 1

BC '.

HA 2 1 S

S

ABC

HBC





Tương tự:SS CCHC''

ABC

HAB

 ;SS HBBB''

ABC

HAC



AAHA'' BBHB'' CCHC'' SS SS SS 1

ABC

HAC ABC

HAB ABC

HBC













b) (1,0đ) Áp dụng tớnh chất phõn giỏc vào cỏc tam giỏc ABC, ABI, AIC:

AI IC MA CM ; BI AI NB AN ; AC AB IC BI   

AM IC BN CM AN BI 1 BI IC AC AB AI IC BI AI AC AB MA CM NB AN IC BI     

c) (1,0đ) Vẽ Cx  CC’ Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx

- Chứng minh được gúc BAD vuụng, CD = AC, AD = 2CC’

- Xột 3 điểm B, C, D ta cú: BD  BC + CD

-  BAD vuụng tại A nờn: AB 2 +AD 2 = BD 2  AB 2 + AD 2  (BC+CD) 2 AB 2 + 4CC’ 2  (BC+AC) 2 4CC’ 2  (BC+AC) 2 – AB 2

Tương tự: 4AA’ 2  (AB+AC) 2 – BC 2 4BB’ 2  (AB+BC) 2 – AC 2 - Chứng minh được : 4(AA’ 2 + BB’ 2 + CC’ 2 )  (AB+BC+AC) 2 4 ' CC ' BB ' AA ) CA BC AB ( 2 2 2 2     

Đẳng thức xảy ra  BC = AC, AC = AB, AB = BC  AB = AC =BC  ABC đều * Kết luận đỳng

2 (3 điểm): a) (1 điểm) Trong tam giác BDM ta có : 0 1 1 120 ˆ ˆ M D   Vì Mˆ 2= 60 0 nên ta có: 0 1 3 120 ˆ ˆ M M   Suy ra D ˆ1 Mˆ3

Chứng minh BMD ~ CEM (1)

Suy ra CE CM BM BD  , từ đó BD.CE = BM.CM Vì BM = CM = 2 BC , nên ta có BD.CE = 4 2 BC

b) (1 điểm) Từ (1) suy ra EM MD CM BD  mà BM = CM nên ta có

EM MD BM BD 

Chứng minh BMD∾MED

3 2 1

2 1

x

y

E D

B

A

B

A

C I

B’

H N

x

A’

C’

M

D B

A

C I

B’

H N

x

A’

C’

M

D



Từ đó suy ra D ˆ1 Dˆ2 , do đó DM là tia phân giác của góc BDE

Chứng minh tơng tự ta có EM là tia phân giác của góc CED

c) (1 điểm) Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC

b) Cho (x + x 2 2013).(y + y 2 2013)=2013 Chứng minh x2013+ y2013=0

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

TOÁN 9 (Thời gian làm bài 150 phỳt)

y x xy

y x

1

2 1

: 1

1

a, Rút gọn P

b, Tính giá trị của P với x=

3 2

2



c, Tìm giá trị lớn nhất của P

Bài 2 : (3đ) Giải phương trình sau :

1

2004 2003

x m

a Thì : ac bc  ab.

Bài 4 : (6đ) Cho đường tròn tâm (O) đường kính CD = 2R Điểm M di động trên đoạn

OC Vẽ đường tròn tâm (O’) đường kính MD Gọi I là trung điểm của đoạn MC ,

đường thẳng qua I vuông góc với CD cắt (O) tại E và F Đường thẳng ED cắt (O’) tại P

4 Chứng minh 3 điểm P, M , F thẳng hàng

5 Chứng minh IP là tiếp tuyến của đường tròn (O’)

6 Tìm vị trí của M trên OC để diện tích tam giác IPO’ lớn nhất

Bài 5 : (3đ) Tìm các số nguyên x, y ,z thỏa mãn :

6( 1) 3 ( 1) 2 ( 1) 1 .

xyz

xyz x

z z

y y

Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian

d) (D) và (L) cắt nhau tại M và N Chứng minh OMN là tam giác vuông

Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình: 6x4  5x3  38x2  5x 6 0 

Bài 4: (2 điểm) Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh là a, vẽ một đường thẳng

cắt cạnh BC ở M và cắt đường thẳng DC ở I

ĐỀ CHÍNH THỨC

d) Tứ giác MENF là hình chữ nhật.

e) MN AD

f) ME.MA = MF.MD

Hết PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH

-ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Năm học 2013 - 2014 Môn: Toán

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (4,0 điểm):

a Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương

b Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: A = 7.52n + 12.6n chia hết cho

b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC

và góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM

c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức 2 2 2

2

' CC ' BB ' AA

) CA BC AB (

2 Cho tam giác đều ABC, gọi M là trung điểm của BC Một góc xMy bằng 600quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và

b) DM, EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED

c) Chu vi tam giác ADE không đổi

Câu 5 (2,0 điểm): Cho a, b, c là các số dương, chứng minh rằng:

Hết