Phần lớn các bài toán về bất đẳng thức hình học đều có thể giải bằng cả hai phương pháp nêu trên. Thông thường khi giải bài toán bất đẳng thức hình học người ta thường dùng phương pháp[r]
Trang 1Các bài toán bất đắng thức trong hình học phẳng thường được giải theo các
phương pháp sau :
1 PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Xuất phát từ các bất đẳng thức đã biết, vận dụng các tính chất của bất đẳng thức để suy ra bất đẳng thức cần chứng minh
2 BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1 (lớp 8)
Cho M là điểm nằm trong tam giác ABC
Chứng minh rằng : MB + MC < AB + AC
Từ đó suy ra MA + MB +MC < AB + AC + BC
LỜI GIẢI:
BM cắt cạnh AC tại D
BD < AB + AD
MB + MD < AB + AD (1)
Xét có :
Từ (1) và (2) suy ra :
MB + MC + MD < AB + AD + DC + MD
MB + MC < AB + AC
Chứng minh tương tự ta có : MA + MC < AB + BC
và : MA + MB < AC + BC
Do đó : 2(MA + MB + MC) < 2(AB + AC + BC)
MA + MB + MC < AB + AC + BC
Chú ý: Từ lời giải bài toán ta cũng có điều sau:
M là điểm nằm trong tam giác ABC thì MB + MC AB + AC
A
M D A
M D
Trang 2 Bài 2 (lớp 8)
Cho tam giác ABC có ; AM là trung tuyến D là điểm trên đoạn thẳng AM
Chứng minh rằng DB < DC
LỜI GIẢI
Xét có AC > AB
BM = MC (gt) ;
AM ( cạnh chung) ;
AB < AC
BM = MC (gt) ;
DM (cạnh chung) ;
Suy ra DB < DC
Bài 3 (lớp 8)
a) Cho tam giác ABC M là điểm thuộc AC
Chứng minh rằng SABC ; SABC
b) Cho tứ giác ABCD
Chứng minh rằng SABCD
LỜI GIẢI
a) Gọi BH là đường cao của
M là điểm thuộc Do đó :
A
O H
K D
A
O H
K D
A
M D A
M D
Trang 3b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD; BH và DK là hai
đường cao của và
và Suy ra BH + DK BO + OD = BD
Do đó : SABCD = SABC + SDAC =
=
Bài 4 (lớp 9)
Cho tam giác ABC có BD và CE là hai đường cao
Chứng minh rằng DE < BC
LỜI GIẢI
bốn điểm B, E , D , C cùng thuộc
đường tròn đường kính BC
DE là dây cung khác đường kính của
đường tròn đường kính BC
(đường kính là đây cung lớn nhất của đường tròn)
DE < BC
Bài 5 (lớp 9)
Cho đường tròn (O), hai dây cung AB và CD ( AB > CD) Hai đường
thẳng AB và CD cắt nhau tại M Gọi H và K lần lượt là hai hình chiếu
vuông góc của O trên hai đường thẳng AB và CD Chứng minh rằng:
MH > MK
LỜI GIẢI Cách 1 :
AB > CD OH < OK
(định lí dây cung và khoảng cách đến tâm)
A
M
D A
M
D
A
B
M O
H
A
B
M O
H
Trang 4có theo định lí Pitago ta có
OH2+ MH2 = OM2
có theo định lí Pitago ta có
OK2+ MK2 = OK2
Do đó OH2+ MH2 = OK2+ MK2
OH < OK nên OH2 < OK2
Suy ra MH2 > MK2
Suy ra MH > MK
Cách 2 :
Vẽ đường tròn (O;OM) Các tia MA; MC
lần lượt cắt (O;OM) tại E; F ( )
Xét (O;OA) có AB > CD
OH < OK
( định lí dây cung và khoảng cách đến tâm)
Xét (O;OM) có OH < OK
ME > MF
( định lí dây cung và khoảng cách đến tâm)
Xét (O;OM) có và
Suy ra (định lí đường kính và dây cung)
Từ đó suy ra MH > MK
Cách 3 :
Vẽ đường tròn đường kính OM Tâm I là trung điểm OM
, (gt) IE // OH
Mà I là trung điểm OM
Do đó IE là đường trung bình của
F
A
B
C
M O
D
H
K E
F
A
B
C
M O
D
H
K
E
A
B
C
M O
D
H
K E
A
B
C
M O
D
H
K
I
E
F
A
B
C
M O
D
H
K
I
E
F
Trang 5Tương tự
Xét (O;OA) có AB > CD OH < OK (định lí dây cung và khoảng cách đến tâm) do đó IE < IF
Xét (I;IM) có IE < IF MH > MK (định lí dây cung và khoảng cách đến tâm)
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh là sai, từ đó lập luận để dẫn đến điều vô lí ( vô lí có thể là trái với giả thiết hoặc dẫn đến điều mâu thuẫn hoặc trái với kiến thức đã học) Vậy điều giả sử sai
Kết luận bất đẳng thức chứng minh là đúng
1 BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1 (lớp 8)
Cho tam giác ABC có BD và CE là hai đường cao Chứng minh DE <
BC
LỜI GIẢI
Giả sử Gọi M là trung điểm BC; vuông tại D có DM là trung tuyến
Chứng minh tương tự ta có:
Ta có DM + ME = BC
Như vậy Vô lí !
Do đó là sai DE < BC
Bài 2 (lớp 8)
Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến Chứng minh rằng:
A
E
D
M
A
E
D
M
Trang 6AB + AC > 2.AM
LỜI GIẢI
Giả sử AB + AC 2.AM
Gọi D là điểm đối xứng của A qua M
M là trung điểm chung của hai đoạn thẳng BC và AD
ABCD là hình bình hành
AB = DC
AD = 2.AM
Do đó có DC + AC AD
Điều này vô lí !
Vậy AB + AC 2.AM là sai
AB + AC > 2.AM
Bài 3 (lớp 8)
Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến Chứng minh rằng :
a) Nếu AM thì
b) Nếu thì AM
LỜI GIẢI
a) Giả sử
Gọi D là điểm đối xứng của A qua M,
ta có AD = 2AM M là trung điểm chung
của hai đoạn thẳng BC và AD
ABCD là hình bình hành
AB = DC và AB // DC
AB // DC
A
M
D
A
M
D
A
D
A
D
Trang 7Do đó suy ra
Xét và có AB = DC (cạnh chung),
Do đó BC < AD AM Trái với giả thiết
Vậy là sai Do vậy (đpcm)
b) Giả sử AM BC < 2AM
Gọi D là điểm đối xứng của A qua M, ta có AD = 2AM Suy ra BC < AD
Chứng minh tương tự câu a) ta có
Xét và có AB = DC, BC (cạnh chung), BC < AD
Do đó
< 90o
Trái với giả thiết Vậy AM là sai
Do vậy AM (đpcm)
Bài 4 (lớp 9)
Cho đường tròn (O), M là điểm bên trong (O) ( M khác O) Qua M vẽ hai dây AB, CD của (O), AB vuông góc với OM và CD không vuông góc với
OM Chứng minh rằng AB < CD
LỜI GIẢI
Giả sử AB CD (1)
Vẽ ( ) rõ ràng M H
OH < OM CD > AB (2)
(định lí dây cung và khoảng cách đến tâm)
A
B C
D H
A
B C
D H
Trang 8(1) và (2) mâu thuẫn !
Vậy AB CD là sai Do đó AB < CD
Bài 5 (lớp 9)
Cho tứ giác ABCD có và tù Chứng minh rằng AC < BD
LỜI GIẢI
Giả sử AB CD
Vẽ đường tròn đường kính BD
Vì ,
Do đó A và C ở bên trong đường
tròn đường kính BD
Do vậy AB CD là vô lí vì đường kính
là dây cung lớn nhất của đường tròn
Ta có : AB CD là sai
Vậy AC < BD
Chú ý :
1 Phần lớn các bài toán về bất đẳng thức hình học đều có thể giải bằng cả hai phương pháp nêu trên
2 Thông thường khi giải bài toán bất đẳng thức hình học người ta thường dùng phương pháp kéo theo
A
C
A
C