skkn vẽ thêm các yếu tố phụ thích hợp để giải một bài toán chứng minh bất đẳng thức trong hình học 8

Đến lớp 8 các dạng bài tập hình học phong phú hơn, đa dạng hơn và khó hơn rất nhiều so với lớp 6, 7 và đặc biệt các bài toán chọn ra để dạy độituyển học sinh giỏi thì không phải bài nào

Đặt vấn đề

Hình học là một bộ môn phát triển t duy và trí sáng tạo cho học sinh rất

điển hình Học sinh đợc rèn luyện cách nhìn nhận vấn đề theo quan điểm động

đòi hỏi sự bao quát toàn diện, sâu sắc vấn đề Học sinh cấp II bắt đầu tiếp thucơ sở của hình học ở lớp 6 với hệ tiên đề và những khái niệm cơ bản Sanghình học 7 học sinh bắt đầu nghiên cứu hình với yêu cầu nắm bắt thật chắc lýthuyết và phải biết vận dụng vào giải bài toán hình và làm quen dần với cácdạng toán Đến lớp 8 các dạng bài tập hình học phong phú hơn, đa dạng hơn

và khó hơn rất nhiều so với lớp 6, 7 và đặc biệt các bài toán chọn ra để dạy độituyển học sinh giỏi thì không phải bài nào cũng dễ dàng chứng minh đợc màphải vẽ thêm các yếu tố phụ mới giải quyết đợc bài tập đó Tuy nhiên vẽ thêmcác yếu tố phụ nh thế nào để có lợi cho việc giải toán luôn là điều hết sức khókhăn, phức tạp đối với mỗi học sinh Học sinh không thể phát triển đợc t duynếu ta giới thiệu với các em một chứng minh làm sẵn Thậm chí các em sẽ thấtvọng và cảm thấy bị đánh lừa nếu đột ngột trên hình vẽ một đờng phụ tài tình

Mà bất kỳ một học sinh nào và nhất là các em học sinh giỏi cũng muốn biết cơ

sở và mục đích của việc làm Toán học chỉ bổ ích khi nó bồi bổ cho sự nhanhtrí và khả năng suy luận của chúng ta

Nhng có một thực tế rằng: Không có một phơng pháp chung nào cho việc

vẽ thêm yếu tố phụ Việc vẽ thêm yếu tố phụ trong các bài toán chứng minh hình học ít nhiều trong một chừng mực nào đó vẫn là một sự sáng tạo "nghệ thuật".

Xuất phát từ thực tế đó bằng những kinh nghiệm của bản thân đã nhiềunăm dạy đội tuyển HSG Toán 8 tôi muốn đa ra một cách phân tích để giúp học

sinh tìm cách: "Vẽ thêm các yếu tố phụ thích hợp để giải một bài toán chứng minh bất đẳng thức trong hình học 8".

Tôi trình bày theo nội dung sau:

Phần I: Một số kiến thức cơ bản

Phần II: Một số các bài toán điển hình đợc đa ra phân tích để tìm ra phơng pháp vẽ thêm các yếu tố phụ, có lời giải cụ thể.

Phần III: Các bài tập đề nghị (có hớng dẫn ).

Nội dung

A Một số kiến thức cơ bản

Thông thờng để giải các bài toán về chứng minh bất đẳng thức hình họcngời ta thờng sử dụng các kết quả quen biết sau :

* So sánh độ dài các đờng vuông góc và đờng xiên

* Quan hệ giữa các cạnh và các góc trong một tam giác

* Sử dụng bất đẳng thức trong tam giác: Chẳng hạn trong ABC với cạnh BC ta có : AB - AC < BC < AB + ACvới AB  AC

* So sánh hai cạnh (hoặc hai góc) của hai tam giác có hai cặp cạnh bằngnhau còn góc xen giữa (hoặc cạnh còn lại) khác nhau

* Trong ABC có độ dài các cạnh lần lợt là a, b, c và đờng cao h nếu : a

Bài 2: Cho tứ giác ABCD (a, b AB không song song CD) Gọi M, N lần lợt

là trung điểm BC ; AD Chứng minh rằng: MN <

Gọi I là trung điểm AC

 MI là đờng trung bình ABC 

Bài 3 : Cho hình chữ nhật ABCD Các điểm E, F, G, H lần lợt thuộc

các cạnh AD, AB, BC, CD Chứng minh rằng EF + FG + GH + HE  2AC.

Gợi ý : Do so sánh tổng EF, FG, GH, HE với AC nên ta sẽ quy các đoạn

thẳng này về các đoạn gấp khúc có 2 đầu là A và C Điều này thực hiện đợckhi sử dụng tính chất đờng trung bình và đờng trung tuyến trong tam giácvuông

M N

I

A

B

Gọi I, K, M tho thứ tự là trung

điểm của EF, EG, GH

AEF có Aˆ = 90o; AI là trung tuyến

ứng với cạnh huyền EF  AI = EF

2 1

Suy ra : EF + FG + GH + EH = 2 ( AI + IK + KM + MC)  2 AC

(a, b đpcm)

Bài 4: Cho hình thang ABCD (a, b AB // CD ; C ˆ  D ˆ ) Chứng minh rằng:

AC > BD.

Từ kết luận của đề toán, giáo viên hớng dẫn học sinh tìm một tam giác

có hai cạnh bằng hai đoạn AD ; BD Dựa vào tính chất hình thang cân, ta dựngthêm điểm E để đợc hình thang cân AECD  AC = DE Khi đó ta đợc DBEthoả mãn yêu cầu trên

Lời giải:

Vẽ tia Cx trên nửa mặt phẳng bờ

DC có chứa điểm A sao cho DCx = ADC

Gọi E  Cx  AB  tứ giác AECD là

A B

Bài 5: Cho tam giác đều ABC và điểm M nằm trong tam giác đó.

Chứng minh rằng ba đoạn MA, MB, MC độ dài một đoạn nhỏ hơn tổng độ dài

2 đoạn còn lại.

Giáo viên phân tích bài toán từ yêu cầu chứng minh MA, MB, MC độdài một đoạn nhỏ hơn tổng độ dài 2 đoạn còn lại, giả sử là MA < MB + MC.Khi giáo viên phân tích đến đây thì các em nghĩ ngay đến việc Sử dụng bất

đẳng thức tam giác tức là phải tạo ra một tam giác có độ dài các cạnh bằng độdài 3 đoạn MA, MB, MC vẫn từ giả thiết các em dễ dàng kẻ thêm các đờng

MD, ME, MF lần lợt song song với BC, AC, BC để tạo ra tam giác DFE sau

đó giáo viên yêu cầu các em tự vẽ hình và trình bày lời giải

Lời giải:

Vẽ MD // BC (D AB) ; ME // AC (E 

BC) ; MF // AB (F  AC)

Có ADM = ABC (do MD // BC)

Mà BAC = ABC (do ABC đều) 

Tơng tự nh các bài trên với bài này giáo viên yêu cầu các em tự làm và

đã nhiều em tìm ra lời giải, sau đó giáo viên đa ra lời giải của mình

A

M

Bài 7: Cho hình vuông ABCD; E là một điểm trên cạnh CD, tia phân

giác BAE cắt BC tại M Chứng minh rằng: AM  2ME.

Gợi ý: Từ điều phải chứng minh: AM  2ME hay AM  ME + ME.

Cho ta nghĩ đến BĐT của tam giác không chặt có các cạnh bằng độ dài AM,

ME, ME và phải xuất hiện một đoạn thẳng bằng đoạn AM

 GEF =  BAM (g.c.g)

 EF = AM

AEF có AM vừa là phân giác, vừa là đờng cao trên AEF cân ở Asuy ra ME = MF

Xét 3 điểm M, E, F ta có EF  ME + MF Suy ra EF  2 ME (a, b đpcm)

Bài 8: Cho ABC có CD là đờng phân giác BCD của tam giác Chứng

Gợi ý: Từ kết luận: CD2 < AC.BC hay CD.CD < AC.BC cho ta nghĩ đếntạo cặp tam giác đồng dạng chứa các cạnh BC, CD.

Bài giải: Vẽ DK // AC (K  AB).

AD là phân giác trong ABC 

AB

AC

=

DB DC

Tơng tự:

EB

EA BC

DC BC

AC AB

EB KB EB

EA 1 KB

KA EB

XÐt tam gi¸c ADE cã ADE > EAD  AE > DE (1)

XÐt tam gi¸c DCE cã DCE > CED

Gîi ý : Tõ kÕt luËn : KL 

2 BC

Bài 11: Cho tam giác ABC đều cạnh a, điểm M bất kì trên cạnh BC.

Qua M kẻ các đờng song song với các cạnh AC ; AB, lần lợt cắt các cạnh AB

và AC tại D, E Chứng minh rằng: DE 

2 a

Dấu "=" xảy ra  M là trung điểm

Bài 11a: Cho tam giác ABC đều cạnh a, điểm M bất kỳ trên cạnh BC.

Qua M kẻ các đờng song song với các cạnh AC ; AB lần lợt cắt các cạnh AB ; ACtại D ; E Xác định vị trí của M trên cạnh BC để DE đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 12: Cho  ABC có A = 90 o , đờng cao AH Từ 1 điểm I nằm trong tam giác kẻ IM  BC, IN  AC; IK  AB Chứng minh rằng: IM 2 + IN 2

E D

A

Gợi ý: Từ kết luận cóIM2 + IN2 + IK2 Suy ra kẻ thêm các đờng vuônggóc để chuyển các tổng bình phơng về 1 bình phơng bằng định lý Pytago.

Lời giải: Kẻ AH  BC ; IE  AH

Bài 12a: Cho  ABC có A = 90 o , đờng cao AH Từ 1 điểm I nằm trong tam giác kẻ IM  BC, IN  AC; IK  AB Tìm giá trị nhỏ nhất của: IM 2

+ IN 2 + IK 2

Bài 13: Cho đoạn AB = 2a Vẽ về một phía của AB các tia Ax, By

vuông góc với AB Qua trung điểm M của AB có 2 đờng thẳng thay đổi luôn vuông góc với nhau và cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D Chứng minh rằng:

S MCD ≥ a 2

E

M

N K

H B

A

I

C

GV hớng dẫn từ điều phải chứng minh SMCD  a2 mà các em đã biếtdiện tích tam giác bằng một nửa tích chiều cao với đáy tơng ứng nên ta nghĩ

đến việc vẽ đờng cao MH của tam giác MCD Ta đợc SMCD =

2

CD MH

* Nhận xét: Bài toán trên có thể chuyển về bài toán cực trị sau:

Bài 13a: Cho đoạn AB = 2a Vẽ về một phía của AB các tia Ax, By

vuông góc với AB Qua trung điểm M của AB có 2 đờng thẳng thay đổi luôn vuông góc với nhau và cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D Xác định vị trí của C,

D sao cho CMD có diện tích nhỏ nhất ? Tính diện tích nhỏ nhất đó

Sau khi luyện đợc 12 bài tập, các em đã nắm đợc cơ bản phơng pháp vẽ các yếu tố phụ Tôi đã nâng cao bài tập lên là đa vào các bài toán cực trị.

Bài 14: Cho góc nhọn aOb A là 1 điểm cố định trong aOb M, N thay

đổi trên Oa; Ob sao cho 2OM = ON Tìm vị trí điểm M, N để 2AM + AN đạt giá trị nhỏ nhất.

Gợi ý: Ta sẽ tạo ra một đoạn thẳng bằng

2

AN

bằng cách dựng tia Oxsao cho: aOx = NOA

Lời giải:

Dựng tia Ox nằm ngoài aOb sao cho aOx = bOa

Trên tia Ox lấy C sao cho OC =

2 OA

  COM  AON (c.g.c)



2

1 ON

CD

1 AB



m

m' D

A

O

b

a x

N

C

O

A M

=

OE

1 CD

1 AB

1 1

1 AB

1

:

Suyra   ( không đổi);

Dấu "=" xảy ra  E  H  m và m' vuông góc BC

Vậy khi m và m' vuông góc BC thì

CD

1 AB

c b a

4 b

1 a

1





Bài 2 : Cho  ABCcó AB = AC = b ; BC = a Đờng phân giác trong

BD của ABC có độ dài là b Chứng minh rằng:

4

5 b

a

 .

Gợi ý : Kẻ BH  AD (H  AD) và sử dụng BĐT : (a + b)2  4ab

Bài 3 : Cho  ABCcó diện tích bằng 2006 m 2 Trên hai cạnh AB ; AC lần lợt lấy hai điểm E ; G sao cho

DA

CD EB

bc 2



b

c

1 b

1 a

1 z

1 y

1 x

Gợi ý: Kẻ BE // DA ( E CD) và sử dụng BĐT trong tam giác

Bài 5 : M là một điểm nằm trong  ABC Các tia MA ; MB ; MC cắt các cạnh BC ; CA ; AB tơng ứng ở A 1 ; B 1 ; C 1 Chứng minh rằng:

M C

CM M

B

BM M

A

AM

1 1

CM M B

BM M A

AM

1 1 1

Khi tiến hành giảng dạy trong thực tế bằng phơng pháp trên, tôi nhận thấy học sinh hứng thú và say mê học tập hơn Học sinh hiểu rõ ý nghĩa mục

đích của việc làm, có t duy phân tích và phát triển bài toán Qua phiếu học tập và qua kết quả bài kiểm tra, các em đều cho rằng các em đã đợc giải toả

những thắc mắc kiểu nh "Tại sao lại có nh vậy ?" "làm thế nào để nghĩ ra vẽ

đoạn đó, hình đó ?" và các em đã hiểu vẽ thêm yếu tố phụ là sự phân tích có căn cứ sự suy luận, dự đoán và sáng tạo.

1 Bài học kinh nghiệm:

Việc vẽ thêm yếu tố phụ để giải các bài toán hình học là một việc làmkhông thể thiếu đợc Tuy nhiên đây là một việc làm không hề dễ dàng, và chắcchắn không thể có một phơng pháp chung cho các bài toán cần vẽ đờng phụ,hình phụ…

Học sinh hiểu rõ rằng, mục đích và cách làm xuất hiện yếu tố phụ.Trong khi giảng dạy giáo viên cho học sinh tính cẩn thận, sáng tạo, tduy logic

Nắm đợc phơng pháp, biết phân tích đợc tình huống cụ thể để tiếnhành vẽ yếu tố phụ là một vấn đề khó với đa số học sinh nên giáo viên phải hếtsức thận trọng, không đợc vội vàng khi hớng dẫn học sinh

Giáo viên phải chú ý cách trình bày của học sinh vì các em hiểu vấn đề

đấy nhng trình bày đúng, chính xác và chặt chẽ lại là cả một quá trình

2 Điều kiện áp dụng :

Tôi báo cáo kinh nghiệm này trớc tổ KHTN đã đợc các đồng chí giáoviên trong tổ góp ý bổ sung những phần khiếm khuyết, sau đó tôi hoàn thiện

và dạy chuyên đề các em trong đội tuyển học sinh giỏi

3 Vấn đề còn hạn chế và tiếp tục nghiên cứu:

Nh trên đã nói không có phơng pháp chung nào để giải những bài toánchứng minh bất đẳng thức hình học Nên để giải những bài toán này, đòi hỏingời làm toán đứng trớc một bài toán cần có sự định hớng tốt về phơng phápgiải từ đó vận dụng các kiến thức liên quan, kỹ năng chứng minh hình học vàbiến đổi đại số Xong định hớng nh thế nào đòi hỏi cả một quá trình các emphải làm nhiều do vậy mức độ tiếp thu ngay đợc ý tởng của thầy còn khó khăn

và cách vận dụng của các em còn nhiều lúng túng và đôi khi gặp bài toán tởngchừng nh bế tắc bởi vì không biết bắt đầu từ đâu và không phải học sinh nàocũng có thể tìm cách vẽ đợc ngay các yếu tố phụ thích hợp để dẫn tới lời giảicủa bài toán một cách dễ dàng Do vậy tôi tiếp tục đi sâu hơn nhiều dạng bài

để dạy cả các em trong đội tuyển HSG khối 9

Vậy để áp dụng đợc kinh nghiệm này giáo viên cần chuẩn bị thật chu

đáo, học sinh phải có kiến thức chắc chắn, có sự say mê và có trí tuệ từ khá trởlên

Mặc dù đã cố gắng rất nhiều nhng những vấn đề tôi đã trình bày ở trên sẽkhông ít khiếm khuyết mong đợc sự góp ý bổ sung

.

.

2 2 14

KÕt luËn

.

16

Tài liệu tham khảo

1) Phơng pháp giải toán hình – Trần Văn Kì

2) 255 Bài toán hình học chọn lọc – Nguyễn Ngọc Đạm – Vũ DơngThuỵ

3) Toán bồi dỡng học sinh giỏi 9-Vũ Hữu Bình –Tôn Thân

4) Giúp học tốt hình học 9 – Nguyễn Bá Kim – Nguyễn Tiến Quang.5) Các bài toán bất đẳng thức hay và khó – Nguyễn Đễ –Vũ HoàngLâm

6) Tuyển chọn theo chuyên đề tạp chi Toán học & Tuổi trẻ

7) Tạp chí Toán Tuổi thơ 2

ý kiến nhận xét đánh giá của tổ KHTN.

Văn Giang, ngày tháng năm 2009

T/M tổ KHTN

Tổ trởng

ý kiến nhận xét đánh giá của trờng.

Văn Giang, ngày tháng năm 2009

T/M HĐ KH trờng

ý kiến nhận xét đánh giá của HĐKH phòng gd văn giang.

Văn Giang, ngày tháng năm 2009

T/M HĐ KH phòng gdvăn giang