bai toan ve so phan tu cua tap hop

Ngöôøi vieát: ÑOÃ THANH HAÂN (Tröôøng THPT Chuyeân BAÏC LIEÂU) Trong kì thi choïn HSG Quoác gia THPT (baûng B) naêm 2005, coù moät baøi toaùn lieân quan ñeán tính chaát cô baûn cuûa[r]

SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VỀ SỐ PHẦN TỬ CỦA TẬP HỢP

ĐỂ GIẢI TOÁN

Người viết: ĐỖ THANH HÂN

(Trường THPT Chuyên BẠC LIÊU)

Trong kì thi chọn HSG Quốc gia THPT (bảng B) năm 2005, có một bài toán liên quan đến tính chất cơ bản của số phần tử của tập hợp mà không ít học sinh đã không giải dược bài toán đó

Bài viết này xin trình bày một vài tính chất cơ bản liên quan đến số phần tử của tập hợp (việc chứng minh xin nhường cho bạn đọc),và đưa ra lời giải một số bài toán có áp dụng các tính chất đó

I/ Các tính chất cơ bản của số phần tử của tập hợp hữu hạn:

( Kí hiệu A là số phần tử của tập hợp hữu hạn A )

1/ Tính chất 1) Giả sử A, B là hai tập hợp hữu hạn

Nếu A B  thì A B A  B 2/ Tính chất 2) Với hai tập hữu hạn bất kỳ A và B, ta luôn có:

A B A B  A B

Hệ quả 2.1: Với hai tập hữu hạn bất kỳ A và B, ta luôn có:

A B A B Dấu đẳng thức xảy ra khi A B  Hệ quả 2.2: Với ba tập hữu hạn bất kỳ A,B và C, ta luôn có:

A B C  A B C  A B  B C  CA  A B C 

3/ Tính chất 3) Giả sử A, B là hai tập hợp hữu hạn

Nếu BA thì A B\ A B

Hệ quả 3.1: Giả sử A, B là hai tập hợp hữu hạn

Nếu BA thì B A

II/ Một số bài toán minh họa:

Bài toán 1 Trong một đề thi có ba câu: 1 câu về Số học, 1 câu về Giải tích,

1 câu về Hình học Trong 60 thí sinh dự thi, có 48 thí sinh giải được câu Số học, 40 thí sinh giải được câu Giải tích, 32 thí sinh giải được câu Hình học,có 57 thí sinh giải được câu Số học hoặc Giải tích, 50 thí sinh giải được câu Giải tích hoặc Hình học,25 thí sinh giải được 2 câu Số học và Hình học, 15 thí sinh giải được cả 3 câu

Hỏi có bao nhiêu thí sinh không giải được câu nào?

Giải:

Kí hiệu: T là tập hợp tất cả các thí sinh

A,B,C lần lượt là tập hợp các thí sinh giải được câu Số học, Giải tích, Hình học Theo tính chất 2 ta có:

A B A B  A B  48 40 57 31   

B C B  C  B C  40 32 50 22   

Nên: A B C  A B C  A B  B C  CA A B C 

5748 40 32 31 22 25 15     



Vì A B C  T nên T \ (A B C  ) T  A B C   60 57 3  

Vậy có 3 thí sinh không giải được câu nào

Bài toán 2 Khi điều tra kết quả học tập các môn Toán, Lý, Hóa của một

lớp 45 học sinh, người ta nhận thấy: có 19 học sinh không giỏi môn nào, 18 học sinh giỏi Toán, 17 học sinh giỏi Lý, 13 học sinh giỏi Hóa, 10 học sinh giỏi 2 môn Toán và Lý, 9 học sinh giỏi 2 môn Lý và Hóa, 10 học sinh giỏi 2 môn Toán và Hóa Hỏi có bao nhiêu học sinh giỏi cả 3 môn?

Giải:

Kí hiệu: T là tập hợp các học sinh của lớp

A,B,C lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi Toán, Lý, Hóa

Vì A B C T   \ T\A B C   nên số học sinh giỏi ít nhất 1 môn là:

A B C  T  T\A B C    45 19 26  

Tứ hệ quả 2.2 suy ra số học sinh giỏi cả 3 môn là:

A B C  A B C   A B  C  A B B C CA

 26 18 17 13 10 9 10 7        .

Bài toán 3 Tìm hiểu kết quả học tập ở một lớp học, người ta thấy:

- Hơn 23 số học sinh đạt điểm giỏi ở môn Toán cũng đồng thời đạt điểm giỏi ở môn Vật lý;

- Hơn 23 số học sinh đạt điểm giỏi ở môn Vật lý cũng đồng thời đạt điểm giỏi

ở môn Văn;

- Hơn 23 số học sinh đạt điểm giỏi ở môn Văn cũng đồng thời đạt điểm giỏi ở môn Lịch sử;

- Hơn 23 số học sinh đạt điểm giỏi ở môn Lịch sử cũng đồng thời đạt điểm giỏi

ở môn Toán;

Chứng minh rằng trong lớp học nói trên có ít nhất một học sinh đạt điểm giỏi ở cả 4 môn Toán, Vật lý, Văn và Lịch sử

( Đề thi HSG bảng B-2005)

Giải:

Ký hiệu T, L, V, S lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi Toán, Vật lý, Văn, Lịch sử

Theo đề bài, ta có:TL 23 T , L V  23 L ,VS 23V , S T  23 S (*)

Ta giải bài toán bằng phương pháp phản chứng

Giả sử không có học sinh nào đạt điểm giỏi ở cả 4 môn Toán, Vật lý, Văn

và Lịch sử, khi đó chỉ còn: T V  hoặc LS 

*Nếu: T V  thì TL  L V  vàTS  S V 

Mà TL  L V  L vàTS  S V S

Nên TL  L V L và TS  S V S (theo hệ quả 3.1) Suy ra TL  L V TS S V L S (1)

Mặt khác, từ (*) ta có:

3

TL L V TS S V  T  L V S

Mà 2( ) 1        

3 T  L V  S 3 T  L  T S  L V  S V 

13TL TL TS TS  L V  L V  S V  S V 

Nên 2 T L  L V V S S T  TL TS  L V S V L S  L S

Suy ra TL  L V TS S V  L S (2)

Từ (1) và (2) ta gặp mâu thuẩn nên điều giả sử ban đầu là sai

*Nếu LS  lập luận tương tự cũng dẫn đến điều mâu thuẫn

Tóm lại bài toán được chứng minh

Các bạn hãy áp dụng tính chất trên để giải các bài tập tương tự sau:

Bài 1) Một lớp học có 42 học sinh Biết rằng trong lớp có 26 học sinh giỏi Toán,

24 học sinh giỏi Hóa, 21 học sinh giỏi Sinh; 32 học sinh giỏi Toán hoặc Sinh, 35 học sinh giỏi Toán hoặc Hóa, 32 học sinh giỏi Hoá hoặc Sinh, 11 học sinh giỏi cả 3 môn Hỏi:

a) Có bao nhiêu học sinh chỉ giỏi 1 môn?

b) Có bao nhiêu học sinh không giỏi môn nào?

Bài 2) Trong kì thi tuyển sinh vào 1 trường Đại học, người ta nhận thấy: có 58

thí sinh được 10 điểm Toán, 47 thí sinh được 10 điểm Lý, 42 thí sinh được 10 điểm Hoá, 87 thí sinh được 10 điểm Toán hoặc Lý, 76 thí sinh được 10 điểm Lý hoặc Hoá, 82 thí sinh được 10 điểm Toán hoặc Hoá, có 5 thí sinh được 10 điểm cả 3 môn Hỏi:

a) Có bao nhiêu thí sinh được ít nhất một điểm 10?

b) Có bao nhiêu thí sinh chỉ được đúng một điểm 10?