đề tài sử dụng tính chất về số phần tử của tập hợp để giải toán tổ hợp

Lý do chọn đề tài: Từ khi tham dự các hội nghị Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi THPT do trường Đại học Khoa học tự nhiên Hà nội tổ chức hàng năm từ 2002 đến nay,được học tập các chuyên

TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG

I PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Từ khi tham dự các hội nghị Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi THPT

do trường Đại học Khoa học tự nhiên Hà nội tổ chức hàng năm từ 2002 đến nay,được học tập các chuyên đề do các giảng viên , các chuyên gia Toán của Bộ trình bày và được sự động viên của thầy Trương Thành Phú chuyên viên môn Toán của Sở Giáo dục và đào tạo Tiền Giang chúng tôi có một tâm huyết là sẽ cố gắng thực hiện hoàn chỉnh , cụ thể hoá các chuyên đề phù hợp với trình độ học sinh tỉnh nhà để đóng góp vào thành tích chung của Tỉnh trong các kỳ thi HSG cấp khu vực và cấp quốc gia Trong những năm gần đây bộ môn Toán của tỉnh Tiền Giang đã có những tiến bộ rõ rệt và có nhiều thành tích trong các kỳ thi HSG khu vực Nhưng gần đây Bộ đã thay đổi mạnh về quy chế thi HSG cấp Quốc gia đó là không còn phân chia hai bảng A,B như trước mà chỉ có một bảng thống nhất chung toàn quốc Đề thi khó hơn và số lượng giải ít hơn gây khó khăn cho cả Giáo viên và học sinh môn Toán tỉnh nhà

Một số chuyên đề khó ở bảng A như: Tổ hợp, lý thuyết đồ thị, các bài toán tô màu,…đã có trong các đề thi.Trong điều kiện khó khăn đó việc tìm tài liệu và viết các chuyên đề này là việc cần thiết trong tình hình hiện nay.Được sự ủng hộ của các thầy cô trong tổ Toán Tin trường THPT Chuyên Tiền Giang chúng tôi thực hiện

viết chuyên đề :”Sử dụng tính chất số phần tử của tập hợp để giải toán Tổ hợp”

2 Mục tiêu nghiên cứu:

Nhằm hệ thống kiến thức về tính chất số phần tử của tập hợp,trình bày các kết quả đạt được để áp dụng vào giải các bài toán về Tổ hợp.Giúp cho học sinh có

hệ thống kiến thức về tập hợp và biết vận dụng vào việc giải các bài toán tổ hợp đồng thời định hướng suy nghĩ tư duy toán học và khả năng vận dụng sáng tạo trong các bài toán mới

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

Trình bày và chứng minh rõ ràng các tính chất số phần tử của tập hợp,vận dụng các kiến thức để giải các bài toán về tổ hợp

Hệ thống các bài tập có liên quan đến phần tử của tập hợp trong đó có sử dụng kiến thức về số học

Rèn luyện tư duy toán thông qua các bài tập về tổ hợp và số học đồng thời trao đổi và học tập kinh nghiệm với các thầy cô bộ môn Toán của tỉnh Tiền Giang

4 Phương pháp nghiên cứu

-Dựa vào các chuyên đề đã học ở Hà Nội và các tài liệu trong tất cả các đợt bồi dưỡng để trình bày hệ thống các tính chất về số phần tử của tập hợp có chứng minh và áp dụng cụ thể

-Hướng dẫn học sinh Đội tuyển tìm tài liệu có liên quan,cùng chứng minh các tính chất về số phần tử của tập hợp,tạo tình huống có vấn đề để HS cùng trao đổi nghiên cứu

-Hệ thống và sắp xếp các dạng bài tập từ dễ đến khó và có các lời giải cụ thể

-Phương pháp phân tích:giúp học sinh nắm rõ bản chất vấn đề , lựa chọn phương pháp giải phù hợp đồng thời mở rộng và tương tự hoá bài toán

II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

1.Ý tưởng về việc sử dụng số phần tử của tập hợp để giải toán tổ hợp:Xuất

phát từ một số đề thi HSG về tổ hợp có áp dụng số phần tử của tập hợp nảy sinh việc

hệ thống và trình bày một phương pháp giải các bài toán tổ hợp dựa vào số phần tử của tập hợp

2 Đề tài được chia làm 2 chương:

-Chương I giới thiệu về số phần tử của tập hợp và áp dụng.Trong chương này nhiệm vụ chính là trình bày các khái niệm cơ bản và các tính chất về số phần tử của tập hợp đặc biệt là số phần tử của hợp n tâp hợp.Tính chất này được áp dụng để giải rất nhiều các bài toán khó về tổ hợp Ngoài các bài tập áp dụng ra chúng tôi còn nêu chứng minh các tính chất của tổ hợp bằng tập hợp để học sinh thấy rõ mối quan

hệ giữa tập hợp và tổ hợp

-Chương II chúng tôi đưa việc áp dụng số phần tử của tập hợp vào giải tích tổ hợp và một số bài tập áp dụng

Dù cố gắng nhiều nhưng đề tài không tránh khỏi sai sót , rất mong nhận được

sự đóng góp từ các đồng nghiệp môn Toán của tỉnh nhà

Sau đây và trình bày phần nội dung của đề tài

Chương I Số phần tử của tập hợp và áp dụng

I.1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa I.1.1: Tập hợp A và B được gọi là tương đương với nhau kí hiệu là

A~B nếu tồn tại một song ánh f từ A đến B

Định nghĩa I.1.2: Nếu hai tập hợp A và B tương đương nhau ta nói A và B có

cùng lực lượng.Lực lượng của A kí hiệu là A

nguyên dương n sao cho

A B∪ →{1,2, ,m n}+khi t

(t) khi t

∈+ ∈ A B∩ = ∅ nên h là một song ánh, từ đó

A =∑ A

Chứng minh:

Với n = 2 thì (2) đúng theo tính chất I.2.1 Giả sử (2) đúng với n = k ta chứng minh (2) đúng với n = k+1.Thật vậy ta có:

Ta có A B A (B \ (A B)∪ = ∪ ∩ ) và A (B \ (A B))∩ ∩ = ∅ nên theo tính chất I.2.1

ta có A B A∪ = + B \ (A B)∩ mà A B B∩ ⊂ nên theo hệ quả I.2.3

Với n = 0 thì A= khi đó A có một tập con duy nhất ∅

Với n > 0 giả sử a∈A Gọi Ta là tập hợp tất cả tập con của A và không chứa

a a

B x khi

( Mỗi B⊂ A có một ánh xạ từ A vào Y và ngược lại , sự tương ứng

ấy là một song ánh Do đó số tập con của A bằng số ánh xạ từ A đến Y , số ánh xạ này bằng 2n ( do mỗi phần tử của A có 2 cách chọn ảnh mà A có n phần tử nên có 2nánh xạ từ A vào Y )

Cách 3 ( dùng qui nạp )

Với n =1 mệnh đề đúng

Giả sử mệnh đề đúng với n Ta CM mệnh đề đúng với n+1.Giả sử A có n+1 phần tử , lấy Khi đó A\{a} có n phần tử , theo giả thiết qui nạp A\{a} có 2n tập con Mỗi tập con X của A\{a} sẽ tương ứng với tập con của A Do đó số tập con của A

1 2

2 )

1 (

) 1 ) (

2 )(

1 (

1

2

1 1

a k

k

n k

n k n a

k

k n k

k n a k

− +

−

= +

k n

Chứng minh:

Ta hãy tìm có bao nhiêu tập con có k phần tử của A chứa phần tử a của A và có bao nhiêu tập con có k phần tử của A không chứa phần tử a

Các tổ hợp chập k của n phần tử có chứa a lập nên từ cách chọn k-1 phần tử trong số n-1 phần tử còn lại ( trừ a ra ) Vậy có 1 tập hợp có k phần tử và chứa a

1

−

−

k n

C

Các tổ hợp chập k của n phần tử không chứa a lập nên từ cách chọn k phần tử trong

số n-1 phần tử còn lại Vậy có k tập hợp có k phần tử và không chứa a

C0 + 1 + +

n n n

C 2 + =

A 2m là tổng của số các tập con có 1,2,…,n-1 phần tử của A.Do đó ta có:

=2n-2 ( theo tính chất I.3.3).Từ đó suy ra m=2n-1-1 (đpcm)

1 2

2 = + + + n−

n n

i n i n n

i

n C C C C

C − = = tập con.Vì các lớp Vi đôi một không giao nhau nên ( ) ( ) ( ) n

k n

k m n

k m

n C C C C C C

C0 + 1 −1 + + 0 = +

Chứng minh:

Xét tập hợp có m+n phần tử A={a1,a2,…,an,an+1,…,an+m}.A có tập con k phần tử Chia tập con đó thành k+1 lớp V0,V1,…,Vk như sau : Vi là lớp các tập có k phần tử của A bằng cách ghép i phần tử của tập {a1,a2,…,an} với k-i phần tử của tập {an+1,…,a n+m}.Theo quy tắc nhân Vi có tập con.Vì các lớp Vi đôi một không

k m n

i

n C

C −

k m n

C +

m

k n

k m n

k m

k n

k n

C

1 1

1 2

k n

Bài 1: Một đề thi có 3 câu , một câu đại số,một câu hình học và một câu giải

tích.Trong 1000 thí sinh có 800 người giải được câu đại số,700 người giải được câu hình học,600người giải được câu giải tích.Có 600 người giải được hai câu đại số và hình học,500 người giải được hai câu đại số và giải tích,400 người giải được hai câu hình học và giải tích, 300 người giải được cả ba câu.Hỏi có bao nhiêu thí sinh không giải được câu nào ?

Giải : Ta kí hiệu T ,A,B,C lần lượt là tập hợp tất cả các thí sinh, tập hợp các thí

sinh giải được câu đại số ,tập hợp các thí sinh giải được câu hình học ,tập hợp các thí sinh giải được câu giải tích.Ta có :

A B C A∪ ∪ = + B C A B B C C A+ − ∩ − ∩ − ∩ + A B C∩ ∩ =

800+700+600-600-500-400+300=900 Vì A∪B∪C⊂T nên

C B A T C

B

A

T \ ( ∪ ∪ ) = − ∪ ∪ = 1000 – 900 = 100

Vậy có 100 thí sinh không giải được câu nào

Bài 2: Khi điều tra kết quả học tập các môn Toán, Lí, Hoá của một lớp có 45

học sinh người ta nhận thấy có 19 học sinh không giỏi môn nào,18 HS giỏi môn Toán,17 HS giỏi môn Lí,13 HS giỏi Hoá,10 HS giỏi hai môn Toán và Lí,9 HS giỏi hai môn Hoá và Lí , 10 HS giỏi hai môn Hoá và Toán.Hỏi có bao nhiêu HS giỏi cả ba môn?

Giải : Kí hiệu T là tập hợp HS của lớp.A,B,C lần lượt là tập hợp các HS giỏi

Toán, Lí , Hoá cùa lớp đó.Vì A∪B∪C =T \ (T \ (A∪B∪C))nên số HS giỏi ít nhất một môn là :

26 19 45 ) (

26 − − − + + + =

=

∩ +

∩ +

∩ +

Bài 3: Tìm hiểu kết quả học tập ở một lớp học, người ta thấy:

*Hơn 2 /3 số học sinh đạt điểm giỏi ở môn Toán cũng đồng thời đạt điểm giỏi

Chứng minh rằng trong lớp học nói trên có ít nhất một học sinh đạt điểm giỏi cả ở bốn môn Toán, Vật lí, Văn và Lịch sử ( Đề thi HSG Quốc gia THPT Bảng B – 2005 )

Giải: Kí hiệu T, L,V, S lần lượt là tập hợp các HS giỏi Toán,Vật Lí,Văn,Lịch

sử.Theo đề bài ta có:

, 3

2 ,

3

2 ,

3

2 ,

3

2

S T S V S V L V

L T

T∩ )

( ∪ (L∩V) ⊂ (T ∩S) ∪ (S∩V) ⊂S nên T ∩L + L∩V ≤ L và

S V S

S

T ∩ + ∩ ≤ Suy ra :

S L V S S T V L

L

T ∩ + ∩ + ∩ + ∩ ≤ + (1)

Mặt khác từ (*) ta có :

) (

3

2

S V L T V

S S T V L

L

T ∩ + ∩ + ∩ + ∩ > + + + Mà:

) (

3

1

)) (

) (

) (

) ((

3

1 ) (

3

2

V S V S V L V L S T S T L T L

T

V S V L S T L T S

V L

T

∩ +

∪ +

∩ +

∪ +

∩ +

∪ +

∩ +

∪

= + + + + + + +

= + + +

Nên

S L S L V S V L S T L T V S S T V L L

2 Trong mỗi số , không có chữ số nào chiếm 3 vị trí liên tiếp”.Bạn hãy trả lời giúp B (Thi HSG ĐBSCL 2003)

Giải:

Gọi S là tập hợp tất cả các số có 9 chữ số lập từ 9,1,3 mà mỗi chữ số có mặt đúng 3 lần.Theo hoán vị lặp ta có 3

) 3 (

! 9

=

S Gọi A là tập con của S trong đó ba chữ số 9 chiếm ba vị trí liên tiếp.Gọi B là tập con của S trong đó ba chữ số 1 chiếm ba vị trí liên tiếp.Gọi C là tập con của S trong đó ba chữ số 3 chiếm ba vị trí liên tiếp.Ta tìm

số phần tử của A

Với x thuộc A x có ba chữ số 9 ở ba vị trí liên tiếp nên ta xem chúng như 1 chữ số Theo hoán vị lặp ta có 2

) 3 (

! 7

=

) 3 (

! 7

=

=

= B C A

Mặt khác ta có

! 3

! 5

! 5 3 ) 3 (

! 7 3 ) 3 (

! 9 ) (

S

Bài 5: Cho n và k là các số nguyên dương , n>3,n/2 <k< n.Cho n điểm trong

mặt phẳng sao cho bất kì 3 điểm nào cũng không cùng ở trên một đường thẳng.Giả sử mọi điểm đã cho đều nối với ít nhất k điểm khác bởi các đoạn thẳng.Chứng minh rằng tồn tại ba đoạn tạo thành một tam giác

điểm x và y nối với nhau bởi một đoạn thẳng.Gọi A là tập hợp các điểm khác y và nối với x và B là tập hợp các điểm khác x và nối với y thì

2 2

Bài 6: Một cuộc hội thảo toán học qui tụ 1990 nhà toán học trên thế giới.Cho

biết cứ mỗi nhà toán học đều đã có dịp làm việc chung với 1327 nhà toán học khác tham dự hội thảo.CMR ta có thể tìm được 4 nhà toán học từng đôi một đã làm việc chung với nhau

Giải.Mỗi nhà toán học được xem như là một điểm.Hai nhà toán học đã làm việc chung với nhau xem như 2 điểm được nối với nhau bởi một đoạn thẳng.Gọi x và y là 2 điểm được nối với nhau Gọi A là tập hợp các điểm khác y nối với x và B là tập hợp các điểm khác x nối với y Ta có:

06641988

1326

≥

∪

−+

664

1988)

Bài 7: Cho S={1,2,…,280}.n là số tự nhiên sao cho mọi tập con n phần tử của S

đều chứa 5 số tự nhiên nguyên tố cùng nhau từng đôi một.CMR n≥ 217

Giải:Gọi A1,A2,A3,A4 lần lượt là các tập con của S chứa các bội số cùa 2,3,5,7.Ta

có

1 ,

2

4 ,

6 ,

9 ,

48

, 13 ,

18 ,

20 ,

28 ,

40 ,

56 ,

93 ,

140

4 3 2 1 4

3

2

4 3 1 4

2 1 3

2 1 4

3

4 2 3

2 4

1 3

1 4

3 2

A

A

A A A A

A A A

A A A

A

A A A

A A

A A

A A

A A

A

Áp dụng tính chất I.2.6 với n = 4 ta có

216 1 2 4 6 9 8 13 18 20 28 46 40 56 93 140

4 3 2

ta xây dựng tập hợp mới kí hiệu M(A,B,k) như sau:

M(A,B,k) ={(a,b)/a∈ ,A b∈Bvà mỗi phần tử a∈A được ghép cặp với đúng k phần tử thuộc tập B}Ta gọi M(A,B,k) là tich suy rộng của hai tập hợp A và B theo thứ tự đó b/ Với A1,A2,…,An là n tập hữu hạn bất kì và k1,k2,…,kn là n số nguyên dương cho trước thoả điều kiện k1= A1 ,k i ≤ A i i= 2 , 3 , ,n

M(A1,…,An;k1,…,kn)={(a1,…,an)/a1∈A1,a2 thuộc đúng k2 phần tử của A2,…,an thuộc đúng kn phần tử của An}.Ta gọi M(A1,…,An;k1,…,kn) là tích suy rộng của n tập hợp

A M

1 1

1 , , ; , , (

tử

k

i i

i a a

a1, 2, ,

n n F

T1 = =

Chứng minh: Ta có T1=A×A× ×A=A k do đó k k

n n F

T1 = =

b/Giả sử tập hợp T2={( có thứ tự / , đôi một khác nhau} Mỗi phần tử của T2 được gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử

i a a

a , , ,

2 1

n A

T k

n = −

=

Chứng minh: Ta có T2= , trong đó A1=A2=…=Ak=A và n1 = n ,

n2 = n-1,…,nk = n-k+1 do đó

) , ,

; , , (A1 A k n1 n k M

)!

(

! )

1 ) (

1 (

n k

n n

n T

−

= +

−

−

=

Đặc biệt khi k = n thì mỗi phần tử của T2 được gọi là một hoán vị của n phần tử

T k

n = −

=

d/Tập hợp T4 ={( không có thứ tự / , không bắt buộc đôi một khác nhau} Mỗi phần tử của T4 được gọi là tổ hợp lặp chập k của n phần tử

) , , ,

i a a

a , , ,

2 1

k n

2

i a a a

i

k

i i

i1≤ 2 ≤ ≤ 1 ≤i2 ≤ ≤i k}.Ta có ∼S.Xét tương ứng (i1,i2,…,ik) →(i1,i2+1,…,ik+k-1) là một song ánh Ta có 1

2

i a a a

A

a i j ∈

i = 1,2,…,n.Mỗi phần tử của T5 được gọi là một hoán vị lặp cấp k , kiểu (k1,k2,…,kn) của n phần tử

Định lí II.2.6: Số hoán vị lặp cấp k , kiểu (k1,k2,…,kn) của n phần tử là:

!

!

!

! )

, ,

(

2 1 1

5

n n

n

k k k

n k

, , (

2 1 1

5

n n

n

k k k

n k

k C

II.3 Bài tập áp dụng:

Giải: Ta có A={k,2k,…,m.k} với m thoả mk≤n< (m+ 1 )k suy ra A =m với m=⎢⎣⎡k⎥⎦⎤

n

nhau.Gọi A= {a∈N∗ /a≤n,a không chia hết cho mọi ai } Tìm A

nA

a

n a

2 1 1

1

Chẳng hạn Có bao nhiêu số không vượt quá 100 và không chia hết cho 2 , 3 , 5

5 3 2

100 5

2

100 5

3

100 3

2

100 5

100 3

100 2

Giải:Giả sử n= ki là số nguyên dương và pi là tất cả các ước nguyên

tố của n.Khi đó : A= { không chia hết cho mọi pi }.Theo bài 9 thì

a≤ ,

m m

Giải:Giả sử n= ki là số nguyên dương và pi là tất cả các ước nguyên

tố của n.Mỗi thì a = ti là số nguyên và

là phần tử chung của ít nhất m tập của A2,…,An với

k n k

Bài 13: Hỏi từ các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số có 15 chữ số mà

trong mỗi số mỗi chữ số đều có mặt đúng 3 lần và không có chữ số nào chiếm 3 vị trí liên tiếp trong số?

Giải: Gọi A* là tập hợp gồm tất cả các số thoả yêu cầu.A là tập hợp gồm tất cả các số

15 chữ số lập từ 1,2,3,4,5 mà mỗi chữ số có mặt đúng 3 lần.Ai là tập những số thuộc A

mà trong mỗi số chữ số I chiếm đúng 3 vị trí liên tiếp ( i=1,2,3,4,5).Ta có :

3 (

! 5 )

3 (

! 7 )

3 (

! 9 )

3 (

! 11 )

3 (

! 13 )

4 5 2

3 5 3

2 5 4

1 5 5

A

Bài 14: Hỏi từ các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số có mười chữ số

thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:

i/ Trong mỗi số,mỗi chữ số có mặt đúng 2 lần

ii/ Trong mỗi số,hai chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau

k k

k k

k i

A i

2(

)!

10(

2

1

Vậy 39480

2

!52

!62

!72

!82

!92

!

10

0

5 5 1

4 5 2

3 5 3

2 5 4

1 5

S

Bài 15: Cho n là số nguyên dương.Tính số các số nguyên dương không lớn hơn

)(n+2) mà không chia hết cho các số n , n+1 , n+2

n n

n n

−+

−+

−+

)2)(

1()2()1(1

Bài 16: Cho n số (n>4) đôi một khác nhau a1,a2,…,an.H i có tất cả bao nhiêu

ó, mà tong mỗi hoán vị không có ba số nào trong 4 số a1,a2,a3,a4nằm

ỏhoán vị của n số đ

HSG QG 1996)

Giải: Gọi H là tập hợp tất cả các hoán vị của a1,a2,…,an H/ là tập hợp tất cả các hoán vị thoả yêu cầu

H1={h H∈ / trong H có đúng 3 trong 4 số a1,a2,a3,a4 nằm ở ba vị trí liên tiếp }

H2={h H∈ / trong H có 4 số a1,a2,a3,a4 nằm ở bốn vị trí liên tiếp }

2 1 2

1 2

Tìm H1 lấy i,j,k khác nhau đôi một thuộc {1,2,3,4} al khác với ai,aj,ak và

Khi đó có (n-2)! Hoán vị của ai,al,a5,…,an ( xem aiajak là một) trong

ai vị trí liên tiếp Suy ra c

ị

},,

,

{a1 a2 a3 a4

a l ∈

đó có 2(n-3)! Hoán vị của n-2 số trên mà trong mỗi hoán vị có ai,al nằm ở h

ó (n-2)!-2(n-3)! Hoán vị của ai,al,a5,…,an mà trong mỗi hoán vị có

ai,al không nằm ở hai vị trí liên tiếp Mỗi hoán vị loại này cho ta 3! hoán vị của

a1,a2,…,an mà trong mỗi hoán vị có đúng 3 số ai,aj,ak trong 4 số a1,a2,a3,a4 nằm ở ba vtrí liên tiếp

1 Hỏi có bao nhiêu cách chọn

ố đôi một khác nhau từ n số nguyên dương đầu tiên sao cho trong mỗi bộ k số

ra k s

chọn ra không có hai số nào là hai số nguy tiếp?

Giải : Gọi A={(a1,a2,…,ak) không thứ tự / a i∈{1,2, ,n},i=1,2,…,n và

j i a

a i − j ∉ 0,1},∀ ≠ }.Với (a1,…,ak)∈A giả sử a1<a2<…<ak

1 2 k 1 2 k-k+1) A~B với B={(b1,b2,… ự

Xét tương ứng (a ,a ,…,a ) →(a ,a -1,…,a

,bk) không thứ t khác nhau đôi một và b i∈{1,2, ,n−k +1}}

k n

C B

Bài 18 : Cho các số nguyên dương k , n, m thoả m > 1 và 1<k ≤n Hỏi có tất hiêu chỉnh hợp chập k (a1,a2,…,ak) của n số nguyên dương đầu tiên mà mỗi chỉn

a hết cho m

cả bao n

h hợp đều thoả mãn ít nhất một trong hai điều kiện sau:

i/ Tồn tại i≠ j:i < j và aj > ai

ii/ Tồn tại i thuộc {1,2,…,k} sao cho ai-i không chi

B là số chỉ h hợp không tho