Khi thay x bằng axb thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm 1 a Một số nguyên tắc tính cơ bản Tích của đa thức hoặc lũy thừa PP khai triễn... Giá trị của tham số m thuộc khoả
Trang 1TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
A ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
a) Định nghĩa: b
a
b a
f x dxF x F b F a
với F x là một nguyên hàm của f x trên a b;
b) Tính chất:
a
a f x dx
a kf x dxk a f x dx
af x g x dx a f x dx a g x dx
a f x dx a f x dx b f x dx
a f x dx a f t dt a f u du
Nếu f x 0, x a b; thì b 0
a f x dx
Nếu f x g x , x a b; thì b b
a f x dx a g x dx
Đặc biệt:
Nếu hàm y f x là hàm số lẻ trên a a; thì a 0
a f x dx
Nếu hàm y f x là hàm số chẵn trên a a; thì a 2 0a
a f x dx f x dx
Câu 1 Nếu
2
1
f x x
3
2
f x x
3
1 d
f x x
Câu 2 Nếu
1
0
f x x
1
0
Câu 3 Cho
1
0
1
0
g x x khi đó
1
0
f x g x x bằng
Câu 4 Biết
2
1
f x x
2
1
g x x
2
1
d
f x g x x
Câu 5 Biết tích phân
1
0
3
f x dx
1
0
4
g x dx
1
0
f x g x dx
Câu 6 Cho hàm số f x có đạo hàm trên đoạn 1; 2 , f 1 1 và f 2 2 Tính
2
1
I f x dx
2
I
TÍCH PHÂN Vấn đề 14
Trang 2NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Câu 7 Cho
5
0
f x x
5
2
0
A 133 B 120 C 130 D 140
Câu 8 Cho
f x dx g x dx
1
0
I f x g x dx
Câu 9 Biết rằng
2
0
1 d 2
f x x
2
0
I f x x
A I 3 B I 1 C I 2 D 3
2
I
Câu 10 Cho hàm số f x liên tục trên và 2 2
0
f x x x
2
0 ( )d
f x x
Câu 11 Cho
2
1
f x x
4
2
f x x
4
1 d
f x x
Câu 12 Cho
2
1
f x dx
2
1
g x dx
2
1
2 ( ) 3 ( )
x f x g x dx
A 5
7
17
11
2
Câu 13 Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn
f x x f x x f x x
Tính giá trị của
10
0 d
f x x
Câu 14 Cho hàm số f x cos lnx Tính tích phân
1
d
e
I f x x
A I 2 B I 2 C I2 D I 2
Câu 15 Cho
5
1
h x dx
7
1
h x dx
7
5 ( )
h x dx
Câu 16 Cho hai tích phân
5
2
f x x
5
2
g x x
5
2
A I 13 B I 27 C I 11 D I 3
Câu 17 Cho f x là một hàm số liên tục trên 2;5 và
A P 5 B P 11 C P 11 D P 5
Trang 3TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Câu 18 Cho hàm số f x liên tục, có đạo hàm trên đoạn 1; 2, biết tích phân
2
1
9
f x dx
1 8
f Tính f 2
A f 2 1 B f 2 1 C f 2 3 D f 2 16
Câu 19 Cho
2
2
f x x
4
2
f t t
4
2 d
I f y y
A I 5 B I 3 C I 3 D I 5
Câu 20 Cho
2
1
f x x và
2
1
2
1
I x f x g x x
A 11
2
2
2
2
I
Câu 21 Cho f x ,g x là các hàm số liên tục trên 1;3 và thỏa
3
1
f x g x x
3
1
2f x g x dx6
3
1
d
I f x g x x bằng
A I 7 B I 6 C I 8 D I 9
B TÍCH PHÂN CƠ BẢN(THÔNG QUA BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM)
Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)
1
1
n
n
1
n
1
x
(ax b) x a ax bC
a
a
x
ax b C a
12
x
ax b C a
a
ln
x
a
ln
x
a
♦ Nhận xét Khi thay x bằng (axb) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm 1
a
Một số nguyên tắc tính cơ bản
Tích của đa thức hoặc lũy thừa PP khai triễn
Tích các hàm mũ PP khai triển theo công thức mũ
Bậc chẵn của sin và cosin Hạ bậc: 2 1 1 2 1 1
Trang 4NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Chứa tích các căn thức của x PP chuyển về lũy thừa
MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU Câu 22
2
12 3
dx
x
A 2 ln7
1
ln 35
7 ln
ln
Câu 23 Tích phân
2
dx
x
bằng
A 16
5 log
5 ln
2 15
Câu 24 Tính tích phân
5
1
d
1 2
x I
x
A I ln 9 B I ln 9 C I ln 3 D I ln 3
Câu 25 Tính tích phân
2
1
1 d
x
x
A I 1 ln 2 B 7
4
I C I 2 ln 2 D I 1 ln 2
Câu 26 Biết rằng tích phân
1
0
2x e x dxa b e
với ,a b Khi đó, tính a b bằng
Câu 27 Giá trị của tích phân
6
0 os2
I c xdx
A 1
3
1
3 2
Câu 28 Cho
1
0
x x với a b là các số nguyên Mệnh đề nào dưới đây đúng? ,
Câu 30
2
3 1
1
d
x
e x
A 1 5 2
1
5 2
e e D 1 5 2
Câu 31 Cho 2
0
m
x x x
Giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây?
A 1; 2 B ; 0 C 0; 4 D 3;1
Câu 32 Giả sử
2
1
d
ln ,
3
x x a b với a b, là các số tự nhiên có ước chung lớn nhất bằng 1 Khẳng định nào sau đây đúng?
2
0
f x x
2
0
2sin d
7
2
Trang 5TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
A a b 2 B a2b241 C a2b14 D 3a b 12
Câu 33 Cho số thực a và hàm số
2
khi 0
f x
Tính
1
1
f x dx
A 1
6
a
3
a
6
a
3
a
Câu 34 Tính tích phân
ln 2 4
0
x
I e dx
A 15 ln 2
4
I B I 4 ln 2 C 17 ln 2
4
2
I
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 35 Cho hàm số f x Biết f 0 4 và 2
4
0 d
f x x
A
2 15 16
B
2
16
C
2
16
D
2 4 16
Câu 36 Cho hàm số f x( ).Biết f(0)4 và f x( )2cos2x3, x , khi đó
4
0 ( )
f x dx
A
2
2 8
2
8
2
8
2
8
Câu 37 Cho hàm số f x Biết f 0 4 và 2
f x x , x R, khi đó
4
0
d
f x x
A
2 2 8
2
8
2
8
2
8
Câu 38 Cho hàm số f x Biết f 0 4và f x 2 cos2x 1, x , khi đó
4
0 d
f x x
A
2 4 16
2 14 16
2
16
D
2
16
C TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỶ
1 Công thức thường áp dụng
(ax b) x a ax b C
lnalnbln( ).ab
b
lna n nln a
ln 1 0
d ( )
P x
Q x
phương pháp che để đưa về công thức nguyên hàm số 01
cách đặt X atan ,t nếu mẫu đưa được về dạng X2a2
Câu 39 Biết
4
2 3
d
ln 2 ln 3 ln 5,
x
x x
với , ,a b c là các số nguyên Tính S a b c
Trang 6NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Câu 40 Cho
1
2 0
d
ln 2 ln 3
x với a , b , c là các số hữu tỷ Giá trị của 3 a b c bằng
Câu 41 Biết
4 3 2
2 1
3
với ,a b,c là các số nguyên dương và a
b là phân số tối
giản Tính giá trị của Pab2c3
Câu 42 Cho
3
2 1
1
, với a b, là các số hữu tỉ Tính a4b
A a4b 1 B a4b 1 C a4b 3 D a4b 3
2 2
1
ln ln 1
A S 7 B S 3 C S 3 D S 1
Câu 44 Cho
3
2 1
3
d ln 2 ln 3 ln 5
x
với a, b, c là các số nguyên Giá trị của a + b + c
bằng
Câu 45 Cho
4
0
16
3
f x x
4
2 0
5
1
x
Câu 46 Cho
3
2
d
ln 2 ln 3 ln 5
x
với , ,a b c là các số hữu tỉ Giá trị của ab2c3
bằng
Câu 47 Biết
2 2
2 0
, a b c Giá trị của abc bằng, ,
A 8 B 10 C 12 D 16
D PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
1 Đổi biến số với một số hàm thường gặp
f ax( b x x) d n PP t axb
b
PP
a
f x f x x t f x
1
b
PP a
b
PP
a
f e e x t e
b
PP a
b
PP a
2
1
cos
b
PP a
b
a
f x x x x x t x x
2 2 2
f( a x x) ndx PP x asin t
a x
d
ax b cx d
Trang 7TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
1
PP
t
a bx a bx
2 Đổi biến số với hàm ẩn
Nhận dạng tương đối: Đề cho f x( ), yêu cầu tính f(x) hoặc đề cho f(x), yêu cầu tính f x( )
Phương pháp: Đặt t ( x)
Lưu ý: Đổi biến nhớ đổi cận và ở trên đã sử dụng tính chất: “Tích phân không phụ thuộc vào biến số,
f u u f t t f x x
MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT THÔNG HIỂU
Câu 48 Xét 2
2
0
e dx
, nếu đặt u x2 thì 2
2
0
e dx
A
2
0
4
0
2
0
1
e d 2
u u
4
0
1
e d 2
u u
Câu 49 Tính tích phân 3
0
A 1 4
4
4
I
Câu 50 Cho
21
5
ln 3 ln 5 ln 7 4
dx
, với , ,a b c là các số hữu tỉ Mệnh đề nào sau đây đúng?
Câu 51 Cho hàm số f x liên tục trên Mệnh đề nào sau đây đúng?
1 2
f x dx f x dx
1
1
0
f x dx
1
f x dx f x dx
2
f x dx f x dx
Câu 52 Giả sử
16
1
d 2020,
f x x khi đó giá trị của 2 3 4
1
x f x x bằng
Câu 53 Cho hàm số f x thỏa mãn
1
0
f x dx
2
0
f x dx
Câu 54 Cho
2
1
f x x
1
d
f x
x x
Câu 55 Cho 2
0
2f x 3g x dx6
0
g x x
0
2 d
I f x x
Câu 56 Cho
4
0
1 2 d
I x x x và u 2x1 Mệnh đề nào dưới đây sai?
A
3
5 3
1
1
u u
3
2 2
1
1 d
Trang 8NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
3
2 2
1
1
1 d 2
3
2 2
1
1
1 d 2
Câu 57 Cho
3
2
0
khẳng định nào sau đây đúng?
A 0 1
3
I
3I2 C
2 I 3 D
2 1
3 I
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 58 Cho hàm số f x có f 3 và 3
x
f x
, Khi đó x 0
8
3 d
f x x
A 7 B 197
29
181
6
Câu 59 Cho hàm số f x có f 0 0 và 2
cos cos 2 ,
f x x xR Khi đó
0 d
f x x
A 1042
208
242
149
225.
Câu 60 Biết
2
dx
x xx x
Pa b c
A P 24 B P 12 C P 18 D P 46
Câu 61 Cho
1
0
ln
x
a b e
, với ,a b là các số hữu tỉ Tính S a3b3
A S 2 B S 2 C S 0 D S 1
Câu 62 Cho hàm số , khi2 0
2 3 , khi 0
x
f x
liên tục trên và
1
1
f x x ae b c
a b c , , Tổng T a b 3c bằng
A T 15 B T 10 C T 19 D T 17
Câu 63 Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa 2 2
2
5 2 1
d 3
f x x
5
1
d
Câu 64 Biết rằng tích phân
1
0
d
x
của a bằngb c
A 10
3
3
5
3.
Câu 65 Cho
3
0
ln 2 ln 3 3
, với , ,a b c là các số nguyên Giá trị của abc bằng
Câu 66 Biết
1
ln
e
x
với a b , Tính Pa b
A P 4 B P 8 C P 8 D P 4
Câu 67 Giả sử
64
3 1
ln 3
x x với ,a b là các số nguyên Khi đó giá trị ablà
Trang 9TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Câu 68 Biết rằng
2
0 sin cos d
với a b, R Tính a b
Câu 69 Biết tích phân
ln 6
0
e
x
x xa b c
với a , b , c là các số nguyên Tính
T a b c
Câu 70 Biết
2
2 0
cos
ln 2 ln 3
x
với , ,a b c là các số nguyên Tính P2ab
Câu 71 Cho biết
3 2
0
sin tan d ln
8
b
với ,a b là các số nguyên Giá trị của biểu thức M 3a2b
bằng
Câu 72 Cho hàm số f x liên tục trên tập hợp và thỏa mãn ln 3
0
3 d 1
x
f e x
6
4
3
x f x
x x
6
4 d
f x x
Câu 73 Biết rằng
1
4 ln 1
d
6
e
x x
với a b Giá trị của , * a3b1 bằng
Câu 74 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm trên và thỏa mãn xf x( )32 ( )f x , với 1 x Giá
trị của
1
2 ( )
f x dx
A 5
5
7
7
2.
Câu 75 Biết
1
3 ln d
3
e
x x
, trong đó a,b,c là các số nguyên dương và c 10 Giá trị của
a b c bằng
Câu 76 Cho hàm số y f x liên tục trên 0;1 và thỏa mãn 2 3 6
6
f x x f x
x
Tính
1
0
d
f x x
E PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
1 Định lí: Nếu uu x( ) và v v x( ) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [ ; ]a b thì
( ) ( )d ( ) ( ) ( ) ( )d
b a
I u x v x x u x v x u x v x x
b a
I u v uv v u
2 Phương pháp thực hành:
Nhận dạng: Tích hai hàm khác loại nhận nhau, chẳng hạn: đa thức nhân lôga, mũ nhân lượng
giác…
Trang 10NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Đặt
Vi phân
NH
b a
I u v uv v u
Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ và dv phần còn lại
Lưu ý: Tùy vào bài toán mà ta cần chọn u và dv sao cho d
b
a
v u
đơn giản nhất Cần nhớ rằng bậc của đa thức và bậc của lnx tương ứng với số phần lấy tích phân từng phần
3 Tính chất của nguyên hàm và tích phân
Nếu F x( ) là một nguyên hàm của hàm số ( ) thì F x( ) f x( )
f x x( )d f x( )C ( )d ( ) ( ) ( )
b
b a a
f x x f x f b f a
Tích phân không phụ thuộc vào biến mà chỉ phụ thuộc vào 2 cận, như
f t t f x x
Câu 77 Tính tích phân
1 ln
e
Ix xdx
A 1
2
2 2 2
e
2 1 4
e
2 1 4
e
I
Câu 78 Cho
e
2
1
1xlnx dxae bec
với a, b, c là các số hữu tỷ Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Câu 79 Cho
2
0
2 ln(1x x x)d alnb
với a b và b là số nguyên tố Tính 3; * a4b
Câu 80 Cho f x là một nguyên hàm của g x trên , thỏa mãn
2
0
2
0
f x x a b
trong đó a b, là các số hữu tỉ Tính P a 4b
2
4
2
2
P
Câu 81 F x là một nguyên hàm của hàm số 2
f x x e thỏa F 0 Tính 0 F 1
A F 1 2e2 B
2 1 2
e
F C F 1 e2 D
2 1 2
3e
Câu 82 Cho hàm số f x thỏa mãn
1
0
x f x x
và 2f 1 f 0 2 Tính
1
0 d
f x x
A I 12 B I 8 C I 1 D I 8
Câu 83 Biết 4
2 0
cos
x
, với a b c, , là các số nguyên Khi đó, bc
a bằng
A 6 B 8
8 3
Trang 11TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Câu 84 Biết tích phân
4
0
1 cos 2
x
x
với a b, là các số hữu tỷ Tính T16a8b?
A T 4 B T 5 C T 2 D T 2
Câu 85 Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm trên đoạn 0;5 thỏa mãn
5
0
f x
xf x e x
5 ln 5
5
0
d
f x
I e x
Câu 86 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 2 và thỏa mãn f 0 2,
2
0
2x4 f' x dx4
2
0 d
I f x x
A I 2 B I 2 C I 6 D I 6
Câu 87 Cho 2
2 1
ln 1 2
2
x
, với a, b, c là các số nguyên Giá trị của
2
a b c là:
Câu 88 Tích phân
2
2 2 1
ln
ln 2 ln 3 ln 5 ( 1)
x xdx
( với a b c, , là các số hữu tỉ) Tính tổng a b c
A 2
5
9 10
5
Câu 89 Cho hàm số f x ( ) có f x '( ) và f''( )x liên tục trên 1;3 Biết
(1) 1, (3) 81, (1) 4, (3) 108
f f f f giá trị của
3
1
4 2 x f( )x dx
A 64 B 48 C 64 D 48
Câu 90 Cho hàm số y f x có đạo hàm '
f x liên tục trên , f 4 8 và
4
0
f x x
Giá trị của
2 '
0
xf x x
13
4
2 2
m n bằng
F TÍCH PHÂN HÀM ẨN Câu 92 Cho hàm số f x liên ( ) tục và có đạo hàm trên 1 1
;
2 2
thỏa mãn 1
2
2
1
2
109
12
1 2
2 0
( ) x 1
f x d
x
A 7
ln
2 ln
5 ln
8 ln
9
Trang 12NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Câu 93 Cho hàm số y f x( ) là hàm số lẻ và liên tục trên 4; 4 biết
0
2
f x x
2
1
( 2 )d 4
f x x
4
0 I= f x x( )d
Câu 94 Cho hàm số f x liên tục trên thảo mãn 3 2 10 6
xf x f x x x x Khi đó x
0
1
d
f x x
?
A 17
20
4
Câu 95 Cho hàm sốy f x( ) liên tục trên đoạne e; 2
x f x xxf x x x e e và
1 ( )
f e e
Tính tích phân
2
( )d
e
e
I f x x
A I 2 B 3
2
I C I 3 D I ln 2
Câu 96 Cho hàm số f x có đạo hàm trên 4; 2, thỏa mãn
3
0
xf x dx
1
2
2
Câu 97 Cho hàm số f x( ) liên tục trên và có
3
0
f x dx
5
0
f x dx
1
1 ( 4 1)
f x dx
A 9
11
Câu 98 Cho hàm số f x liên tục trên 1;1 và 2019 ex
1
1
d
f x x
A
2
e
2
2020e
2
2019e
Câu 99 Cho hàm số f x liên tục trên 0;1 thỏa mãn 2 3 6
x
Khi đó
1
0 d
f x x
bằng
Câu 100 Cho hàm số f x xác định và liên tục trên \ 0 thỏa mãn 2 2 '
x f x x f x xf x , với mọi x \ 0 đồng thời thỏa f 1 2 Tính
2
1 d
f x x
A ln 2
1 2
ln 2 2
ln 2 2
Câu 101 Cho hàm số y f x có đạo hàm trên 0; 4 và thỏa đẳng thức sau đây
2
x
f x f x Tính tích phân
4
0 d
f x x