Toán 9 - Chuyên đề 1: Rút gọn phân thức đại số

 Toán 9 - Chuyên đề 1: Rút gọn phân thức đại số trình bày phương pháp giải các dạng bài tập trong chuyên đề và các ví dụ minh họa mẫu nhằm giúp các em học sinh nắm chắc các phương pháp giải bài tập, học tốt môn Toán 9. Đây cũng là tài liệu tham khảo hữu ích cho các giáo viên dạy Toán lớp 9.

4 2

4 2

2 2

3 1 : )

2 1

3 1 ( 2 1)

( 1) ( 1) ( 1) ( 1 )( 1 )

Câu b

  



  



 

 



 

   



 



 

Chuyên đề 1:

RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

I – Phương pháp giải:

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu có) để tìm nhân tử chung

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

II – Các dạng bài toán thường gặp:

1- Rút gọn phân thức.

2 2

2

2

( )

1: )

( 2 )

(2 )

(2 )

2

Câu a

x a x x a x

a x a

x a

a

x a

 

   















c)

2

2

2

2

(2 4 ) ( 2) (2 4 ) (5 10 ) (2 4)

2 ( 2) ( 2)

2 ( 2) 5 ( 2) 2( 2)

( 2)(2 1) ( 2)(2 5 2)

(2 1) (2 1)( 2)

1

2

y

y

 



  













Với: y-2 và y-1

2

2- Chứng minh.

1

3 2

2 2 2

7 14 8 ( ) (4 4) ( 8) (7 14 )

( 1) 4( 1) ( 2)( 2 4) 7 ( 2) ( 4)( 1)

( 2)( 5 4) ( 4)( 1)( 1) ( 2)( 4)( 1) 1

2

a a

  















2 2

1 1 1 1

1 1

x x a a a a x

x x a a a a x

a a

a a





    



    

  



  

 



 

Câu2 : a) Hãy chứng minh: 33 422 4 1

2

7 14 8

a





Giải:

Câu2 : b) Chứng minh phân thức sau không phụ thuộc vào x:

Giải:

Vậy: Phân thức không phụ thuộc vào x.

Câu2: c) Chứng minh rằng nếu 1x 1y 1z x y z1

  thì trong ba số x, y, z ít nhất cũng có một cặp số đối nhau

Giải:

2

3 2 3 2 2 2

6 4

( 4)

2 3 6 ( 2)( 2) ( 2) 3( 2) ( 2)( 2) 3

2

x x x

x x

x x

 



 





  



  









3 3

3

  

Từ: 1x 1y 1z x y z1

 

Ta có: yz xz xyxyz x y z1

 

Từ đó ta có: (x y z yz xz xy  )(   )xyz

Hay (x y z yz xz xy  )(   ) xyz0

Biến đổi vế trái:

2

x y z yz xz xy xyz xyz x z x y y z xyz xy yz xz xyz xyz xyz xz y z yz x y x z xy xyz

z xy xz y yz x xy xz y yz

xy xz y yz x z

x y y z x z

Vậy: (x y y z x z )(  )(  ) 0

Tích ba nhân tử bằng 0 chứng tỏ rằng ít nhất phải có một nhân tử bằng 0, từ đó suy ra ít nhất có một cặp đối nhau.

3- Tính giá trị.

Câu3 : a) Tính giá trị của phân thức C = 3 3 2 6

4

 

 với x = 2008 Giải: C =

Với x = 2008 thì C = 2011

2010

Câu 3: b) Cho a+b+c = 5 Tính giá trị của phân thức

3

  

Ta có:

3

2 2 2

4

2

1

1 ( 1)( 2) 1

2

n

m











Vậy:

5

a b c

Câu3: c) Cho a, b, c, x, y, z thỏa mãn x y z 1

a b c  và a b c 0

x y z 

Tính: x22 y22 z22

a  b c

Giải:

2

1

1 2

2

abc z y x

abc x y z

  

x y z 

Vậy: x22 y22 z22 1

a  b c 

4- Tổng hợp

Câu4 : a) Cho biểu thức A = 2 42 2(42 2) 1

a1) Rút gọn A.

a2) Chứng minh rằng A dương.

a3) Với giá trị nào của m thì A đạt giá trị lớn nhất?

Giải:

a1) A =

4

2

3 :

( 2)( 1) 2.3 3.3 ( 1) 1 3 1

( 8 2)( 1) 3 1

3 ( 1)(2 4 ) 3 2(1 2 )(1 2 )

2.3

 



2

2

.(1 2 ) 3

3 ( 1) 3 1 3

x x

x

x x x x

 





   











a2) Ta có: m2  0, m.

Nên: m2 + 2 > 0, m.

Do đó: 21

2

m  > 0, m.

Vậy: A > 0, m.

a3) Ta có: m2

 0, m.

Nên: m2 + 2  2, m

Do đó: 2

2 2

m   , m

Hay: A  1

2, m

Vậy: A đạt giá trị lớn nhất khi A = 1

2

Suy ra: m2 + 2 = 2 hay m = 0

Câu4: b) Cho M = 2 2 3 :2 4 3 2 1

b1) Rút gọn biểu thức M.

b2) Tìm giá trị của M với x = 2008.

b3) Với giá trị nào của x thì M < 0 ?

b4) Với giá trị nào của x thì M nhận giá trị nguyên?

Giải:

b1) Điều kiện: x0, x-1, x1

2

M =

5

2 2

2 2

2 2

4

2 2

:

a



        









b2) Với x = 2008.

M = 2008 1 669

3





b3) M < 0 khi x – 1 < 0 tức là x < 1 Kết hợp với điều kiện

Vậy: M nhận giá trị âm với mọi x < 1 trừ các giá trị 0, -1, 1

2.

b4) M nhận giá trị nguyên khi (x-1)  3 hay x -1 = 3k (k Z)

Vậy: x = 3k +1 (kZ)

Câu5: a) Rút gọn biểu thức sau:

M = a ab ab a :a22 b22



Giải:

M =

Câu5: b) Chứng tỏ:

2 2

1 3 2 1

a

 



 ,  a R

Giải:

Ta có: a12  0 a2  1 2a (1)

Chia cả hai vế của (1) cho 2(a2+1), ta được:

2

1

a a





1

a a



2 2

a

 



2 1

a

 



 ,  a R

6

1 1 1

( )( )( )

( )( )( ) 0

a b b c c a

b c c a a b

a b b c c a

     



     





Câu5: c) Tính giá trị của biểu thức sau:

3

2 2

Q

  

2

a b

x 

Giải:

Với

2

a b

x  , ta có:

x a    a 

x b    b 

2

2

x a b a

Ta lại có:

x a b    a b    

x a  b   a b   

Vậy: Q = (-1)3-(-1) = -1+1 = 0

Câu6: a) Rút gọn biểu thức sau:

A = (a b a c)(1 )(b c b a)(1 )(c a c b)(1 )

Với a, b, c đôi một khác nhau.

Giải:

A =

(a, b, c đôi một khác nhau)

Câu6: b) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc a, b, c.

7

4

( )( )( ) ( )( )( )

( )( )( )

a b cb c ab ca

a b b c c a

a b b c c a

a b b c c a

Với a, b, c đôi một khác nhau.

Giải:

2

4

( 4

B

a b c



( )( )( ) 4

( )( )( ) 4

( )( )( )

4

( )( )( ) ( )[ ( )

4

a b b c c a

a b a c b c ab ac bc

a b b c c a

a c b c ab a b ac bc

a b b c c a

a b b c c a

a b c a b ab



2] ( )( )( )

c

a b b c c a

( a, b, c đôi một khác nhau )

Câu6: c) Tính giá trị của biểu thức sau:

2 2

P

  với x 4ab

a b





Giải:

8

2 2

2 2 2

( 2 )( 2 ) ( 2 )( 2 )

( 2 )( 2 )

2( ) 4 2( 4 )

2( ) 4

P









a b



 vào P ta có:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

16

( ) 16

( )

16

( )

16

4 ( )

2

a b

ab

a b P

a b

ab ab

a b

a b

ab

a b

a b

ab

a b





















9

10