Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai: thành căn thức bậc hai đơn giản... DẠNG 2: Rút gọn biểu thức... DẠNG 3: Giải phương trình, bất phương trình.. Xác định x để giá trị của A là một
Trang 1TOÁN 9
CHUYÊN ĐỀ : BIẾN ĐỔI & RÚT GỌN CĂN THỨC BẬC HAI
A – LÝ THUYẾT
I Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai:
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: A B2 A B
(B ≥ 0)
Đưa thừa số vào trong dấu căn: A B A B2
(với A ≥ 0 và B ≥ 0) 2
A B A B (với A < 0 và B ≥ 0)
Khử mẫu của biểu thức lấy căn: 2
B B (với AB ≥ 0, B ≠ 0)
Trục căn thức ở mẫu: M M A
A
A (A > 0)
M
A B
A B
(A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B)
II Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai:
thành căn thức bậc hai đơn giản
B – BÀI TẬP
DẠNG 1: Tính giá trị của biểu thức.
Bài tập 1: Tính:
a)
5 2 2 1 3 5 ; b)
c)
Bài tập 2: Tính:
a) A = 5 3 29 6 20 ;
b) B = 6 2 5 13 48 ;
c) C = 4 5 3 5 48 10 7 4 3
Trang 2Bài tập 3: Thực hiện phép tính: B =
:
Bài tập 4: Thực hiện phép tính: A =
1 a 1 a 1 a 1 a
:
1 a 1 a 1 a 1 a
Bài tập 5: Tính giá trị của biểu thức: M =
(x 1) 3 2
x x 1
với x 2 3
Bài tập 6: Cho
1 2 a
2
,
1 2 b
2
Tính a7 b7
Bài tập 7: Cho biết: x2 6x 13 x2 6x 10 1
Tính: x2 6x 13 x2 6x 10
Bài tập 8: Cho biểu thức x2 6x 19 x2 6x 10 3
Tính giá trị của biểu thức: M = x2 6x 19 x2 6x 10
DẠNG 2: Rút gọn biểu thức.
Bài tập 9: Trục căn thức ở mẫu:
2
16 a
2 a
Bài tập 10: Rút gọn biểu thức: A = 5 3 29 12 5
Bài tập 11: Rút gọn các biểu thức:
a) 200 32 72; b) 175 112 63;
c)
1
4 20 3 125 5 45 15
5
; d) 2 8 3 5 7 2 72 5 20 2 2
Bài tập 12: Rút gọn các biểu thức:
a) 2 8 3 2 5 3 3 20 3 ;
b) 343a 63a 28a với a ≥ 0;
c)
36b 54b 150b
với b ≥ 0
Trang 3Bài tập 13: Trục căn thức ở mẫu và rút gọn (nếu có thể):
a)
3 4 3
c)
5 5 3 3
1
2 5 2 2 10
Bài tập 14: Rút gọn biểu thức: A =
Bài tập 15: Rút gọn các biểu thức:
a)
7 24 1 7 24 1 ; b)
3 1 1 3 1 1 ;
c)
3 1 1 3 1 1 ; d)
Bài tập 16: Rút gọn các biểu thức:
a) A =
2
5 3
3 5
;
c) C =
b) B =
Bài tập 17: Rút gọn các biểu thức:
a) A =
b) B =
2
a
1 a
1 a
3
x y
với x 2 3 và y 2 3
Trang 4Bài tập 18: Rút gọn biểu thức: P =
1 x 1
x 2 x 1
Bài tập 19: Rút gọn biểu thức: Q =
2(x y)
với x > y > 0
Bài tập 20: Rút gọn biểu thức:
A =
:
2 2
a b x
2ab
và b > a > 0
Bài tập 21: Rút gọn biểu thức: B =
2 2a 1 x 2
1 x x
với
x
và 0 < a < 1
Bài tập 22: Rút gọn biểu thức: M =
(a 1)(b 1) (a b)
2
c 1
với a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1
Bài tập 23: Rút gọn biểu thức: A =
x 2 x 1 x 2 x 1
2x 1
x 2x 1 x 2x 1
Bài tập 24: Rút gọn biểu thức: A =
a 1
1 a a(a 1) a
a
Bài tập 25: Rút gọn biểu thức: A =
2
x 3 2 x 9
2 2x 6 x 9
Bài tập 26: Rút gọn biểu thức: B =
x 5x 6 x 9 x
3x x (x 2) 9 x
Bài tập 27: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức tại x = 3.
M =
x 4x 2 8 x 4x 2 8
Bài tập 28: Rút gọn các biểu thức:
Trang 5a) A =
1 2 2 3 3 4 n 1 n ;
b) B =
1 2 2 3 3 4 24 25
Bài tập 29: Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau:
a) A =
1
a b 2c trong đó a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện c là trung bình nhân của hai số a và b
b) B =
1
a b c d trong đó a, b, c, d là các số dương thỏa mãn điều kiện ab =
cd và a + b ≠ c + d
DẠNG 3: Giải phương trình, bất phương trình.
Bài tập 30: Giải phương trình:
a) 7 2x 3 5; b) x2 6x 9 4 2 3 ;
c) 3x2 4x 2x 3 ; d)
(7 x) 7 x (x 5) x 5
2
Bài tập 31: Giải phương trình:
a) 4x 12 9x 27 4 x 3 3 x 0 ;
b) 25x 75 3 x 2 2 4 x 3 9x 18 ;
c)
x 2
49
; d) x 2x 1 x 2x 1 2
Bài tập 32: Cho A =
1 2
x 1 x
2
x 1 x
trong đó x Xác định x để giá trị của A là một số tự nhiên
Bài tập 33: Tìm các số tự nhiên x, y sao cho x > y > 0 thỏa mãn điều kiện:
x y 931
Bài tập 34: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho n 1 n 0,05
Trang 6DẠNG 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức.
Bài tập 35: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: S = x 3 y 4 , biết x + y = 8
DẠNG 5: Chứng minh biểu thức.
Bài tập 36: Không dùng máy tính hoặc bảng số, so sánh các số sau:
a) 3 11 và 7 2;
b)
7 1
2 12 và
9 1
4 5 ;
c)
4
27 và
3
26 .
Bài tập 37: Không dùng máy tính hoặc bảng số, chứng minh rằng: 4 5 3 2 5
Bài tập 38: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng:
a) c(a c) c(b c) ab 0 với a > c, b > c
b) Nếu 1 b 1 c 2 1 a thì b + c ≥ 2a
Bài tập 39:
Cho biểu thức: P =
2 (x 2) 8x
2 x x
Chứng minh rằng: P =
x khi 0 x 2
x khi x 2
Bài tập 40: Chứng minh rằng:
2 3 2 4 3 2018 2019
Bài tập 41: Chứng minh rằng:
a)
1 2 2 3 99 100 ;
b)
2 3 225 .
Bài tập 42: Chứng minh rằng A < B với:
A =
1 2 2 3 120 121 và B =
1 2 3 35 .
Bài tập 43: Chứng minh các hằng đẳng thức:
Trang 7a) 10 60 24 40 3 5 2;
b) 6 24 12 8 3 2 1
Bài tập 44: Cho A = 10 24 40 60
Hãy biểu diễn A dưới dạng tổng của ba căn thức
Bài tập 45: Chứng minh hằng đẳng thức sau với x ≥ 2:
Bài tập 46: Chứng minh rằng
2 mn
Áp dụng tính
2 10
2 5 7
Bài tập 47: Chứng minh rằng
(n 1) n n n 1 n n 1 với n *
Áp dụng tính tổng:
2 1 1 2 3 2 2 3 400 399 399 400
Bài tập 48: Tính giá trị của biểu thức:
Bài tập 49: Cho a = 2 1
a) Viết a2, a3 dưới dạng m m 1 trong đó m là số tự nhiên
b*) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số an viết được dưới dạng trên
Bài tập 50: Chứng minh rằng với mọi x > 0, y > 0 và x ≠ y, giá trị của biểu thức sau
không phụ thuộc vào giá trị của các biến x, y
A =
x y x x x
Bài tập 51: Cho x, y, z > 0 và khác nhau đôi một Chứng minh rằng giá trị của biểu thức P
không phụ thuộc vào giá trị của các biến
Trang 8P =
x y x z y z y x z x z y
Bài tập 52: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của
biến:
a) Q =
1 x 1 x 1 x 1 x 1
x x 1 x 1 x 1 x 1
b) R =
x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 6
DẠNG 6: Các bài toán tổng hợp.
Bài tập 53: Cho: M =
a 6
a 1
a) Tìm các số nguyên a để m là số nguyên;
b) Chứng minh rằng với a =
4
9 thì M là số nguyên;
c) Tìm các số hữu tỉ a để M là số nguyên
Bài tập 54: Cho biểu thức: M =
a 2
a 2
a) Tìm các số nguyên a để m là số nguyên
b) Tìm các số hữu tỉ a để M là số nguyên
Bài tập 55: Cho biểu thức: C =
d) Tìm điều kiện của x để C có nghĩa;
e) Rút gọn biểu thức C;
f) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của C là một số nguyên
Bài tập 56: Cho biểu thức: A = x2 3x y 2y
a) Phân tích A thành nhân tử;
b) Tính giá trị của A khi
1 x
5 2
,
1 y
9 4 5
Bài tập 57: Cho biểu thức:
Trang 9P =
x 9
a) Rút gọn P;
b) Tìm các giá trị của x để P <
1 3
c) Tìm các giá trị của x để P có giá trị nhỏ nhất
Bài tập 58: Cho biểu thức: Q =
a) Tìm các giá trị của x để Q có nghĩa;
b) Rút gọn Q;
c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của Q là một số nguyên
Bài tập 59: Cho biểu thức P =
a) Rút gọn P;
b) Tìm giá trị lớn nhất của P
Bài tập 60: Cho biểu thức P =
: 1
1 xy
1 xy 1 xy
a) Rút gọn P;
b) Tính giá trị của P với x =
2
2 3; c) Tìm giá trị lớn nhất của P
Bài tập 61: Cho P =
y
xy x 2 yz y 1 zx 2 z 2 Biết xyz = 4, tính P