Chuyên đề môn Toán lớp 9 - Chuyên đề 1: Căn bậc hai và hằng đẳng thức

Chuyên đề hệ thống lý thuyết kiến thức về căn bậc hai và hằng đẳng thức giúp các em củng cố kiến thức để giải các bài toán vận dụng. Mời các bạn và các em học sinh cùng tham khảo tài liệu để nắm chi tiết các bài tập.

TOÁN 9

CHUYÊN ĐỀ 1: CĂN BẬC HAI & HẰNG ĐẲNG THỨC (Buổi 1)

A – LÝ THUYẾT

I Căn bậc hai:

1 CĂN BẬC HAI của số thực a là số x sao cho x2 = a

- Số thực a dương: có đúng hai căn bậc hai là số đối nhau: số dương kí hiệu là a

và số âm kí hiệu là  a

- Số 0: có đúng 1 căn bậc hai là chính số 0, ta viết 0 0

- Số thực a âm: không có căn bậc hai, khi đó ta nói biểu thức a không có nghĩahay không xác định

2 CĂN BÂC HAI SỐ HỌC của số thực a là số không âm x mà x2 = a

DẠNG 1: Phân biệt căn bậc hai và căn bậc hai số học:

Bài tập 1: Tìm câu đúng trong các câu sau:

a) Căn bậc hai của 0,81 là 0,9;

b) Căn bậc hai của 0,81 là 0,09;

c) Căn bậc hai của 0,81 là 0,9 và –0,9;

d) 0,81 0,9 e) 0,810,9

Bài tập 2: Tìm câu đúng trong các câu sau:

a) Số 3 không có căn bậc hai

b) Căn bậc hai của 3 là 3

c) Căn bậc hai của 3 là 3 và  3

d) Căn bậc hai số học của 3 là 3e) Căn bậc hai số học của 3 là 3 và  3

Bài tập 3: Tìm các căn bậc hai số học của các số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng:

16; 25; 144; 0,09; 225;

9

16; 121; 10 000; 0,01.

DẠNG 2: Chứng minh căn một số là số vô tỉ.

Bài tập 3: Chứng minh 5 là số vô tỉ



Suy ra

2m2( 5)

Từ (3) ta lại có n2  5 mà 5 là số nguyên tố nên n  5

m và n cùng chia hết cho 5 nên phân số

m

n không tối giản, trái với giả thiết.

Vậy 5 không phải là số hữu tỉ, do đó 5 là số vô tỉ

Bài tập 4: Chứng minh rằng:

a) 3 là số vô tỉ

b) 7 là số vô tỉ

c) 3 1 là số vô tỉd) 1 2 là số vô tỉ

DẠNG 3: Giải phương trình, bất phương trình chứa căn:

Bài tập 5: Giải phương trình:

Chú ý phương trình dạng:  

0

22

Bài tập 4: a) b) Chứng minh tương tự bài 3

x 

là số hữu tỉ

Như vậy 3 là số hữu tỉ, điều này vô lý Vậy 3 1 là số vô tỉ

d) Giả sử 1 2 = m (m là số hữu tỉ) thì 2 = m2 – 1 nên 2 là số hữu tỉ, vô lý

Bài tập 5: Giải phương trình:

x x



CHUYÊN ĐỀ 1: CĂN BẬC HAI & HẰNG ĐẲNG THỨC (Buổi 02,03,04)

A – LÝ THUYẾT

II Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức :

 Điều kiện xác định của A là A ≥ 0

(tức là để căn thức A có nghĩa thì điều kiện là biểu thức A phải lớn hơn hoặc bằng 0)

DẠNG 1: Tìm giá trị của x để biểu thức chứa căn có nghĩa:

Bài tập 1: Tìm các giá trị của x để mỗi biểu thức sau có nghĩa:

Bài tập 4: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức:

Bài tập 9: Cho biểu thức: A = x x2 4 4 x

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A.

Bài tập 11: Rút gọn các phân thức sau:

Bài tập 15: Tìm các giá trị của x sao cho: x  1 x 3

Bài tập 16: Tìm các giá trị của x sao cho:

a) x2 3x2 3 b) x2 6 9 x  x 6

Bài tập 17: Tìm các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức:

Bài tập 23: Giải các phương trình:

a) x2 4x 5 x2 4x 8 x2 4x  9 3 5

b) 2 x22x  x2 6x 8 1  3

c) 9x2 6x 2 45x2 30x 9 6x 9x28

DẠNG 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn:

Bài tập 24: Tìm GTNN của biểu thức: A = x22x 1 x2 2x1

Bài tập 25: Tìm GTNN của các biểu thức sau:

a) A = 4x2 4x 1 4x212x9

b) B = 49x2 42x 9 49x242x9

Bài tập 26: a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =

32

4

x x

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = 4x4 4 (x x2  1) (x1)29

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = 25x2 20x 4 25x2

Hướng dẫn và đáp số:

DẠNG 1: Tìm giá trị của x để biểu thức chứa căn có nghĩa:

Bài tập 1: Tìm các giá trị của x để mỗi biểu thức sau có nghĩa:

a) Để A có nghĩa 4x2  1 0 (2x1)(2x1) 0 Suy ra:

1

21

x x

x 

hoặc

12

x 

b) Ta có: 2x24x 5 2(x22x1) 3 2(  x1)2 3 0với mọi x

Vậy B có nghĩa với mọi x

c) Để C có nghĩa  2x x 2  0 x(2 x) 0 Suy ra:

Bài tập 2: Tìm các giá trị của x để mỗi biểu thức sau có nghĩa:

a) x2 3 2 x có nghĩa  x2 3 2 0 ( 1)( 2) 0 x   x x  Suy ra:

Vậy biểu thức đã cho có nghĩa với mọi x

c) Biểu thức đã cho có nghĩa khi và chỉ khi:

Vậy C có nghĩa khi –3 ≤ x < 5

d) Biểu thức đã cho có nghĩa khi và chỉ khi: x2 5 6 0 ( 2)( 3) 0 x   x x 

Đáp số: x < 2 hoặc x > 3

Bài tập 3: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức:

a) Điều kiện xác định của A là:

x 

và x > 0, ta được x > 1 2 là điều kiện xác định của B

Chú ý: Sẽ sai lầm nếu cho rằng (2)  x2 2 1 x , khi đó sẽ đi đến đáp số sai là:

2

x x

x  

c) –(2x – 1)2 ≥ 0  2x – 1 = 0  x =

12d) (x – 1)(x + 2) > 0  x > 1 hoặc x < –2

Bài tập 5: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức:

Giải x2 ≤ 16 được –4 ≤ x ≤ 4

Bài tập 9: a) Biến đổi biểu thức được: A = x (x 2)2  x x  2

Điều kiện xác định của A là:

Lại do x < 0 nên 7x – 1 < 0 Vậy P = 1 – 7x.

DẠNG 3: Sử dụng hằng đẳng thức để giải phương trình, bất phương trình:

Bài tập 13: Giải phương trình:

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {–0,5; 3,5}

x – 1 + x – 3 = 1  2x = 5  x = 2,5 không thỏa mãn điều kiện x > 3

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm, hay tập nghiệm của phương trình là S = 

Bài tập 14: Giải phương trình:

a) Phương trình được viết về dạng: x1 x 2 3

Xét ba trường hợp: x < 1; 1 ≤ x ≤ 2; x > 2

Đáp số: x = 0; x = 3

b) Phương trình được viết về dạng: 3(x 3)2 1 4(x 3)2  9 4 (x 3)2

Vì (x – 3)2 ≥ 0 với mọi x nên:

Bài tập 15: Điều kiện xác định của x 1 là x ≥ –1

Với điều kiện trên thì x + 3 > 0 nên (1) tương đương với:

( x1) (x3)  x 1 x26x 9 x25x  (3)8 0

Bất phương trình (3) đúng với mọi x, vì:

a a

Với a = 0 ta được x  3 Với a ≥ 1 ta được x ≥ 2 hoặc x ≤ –2

Đáp số: x  3; x ≥ 2; x ≤ –2

b) Giải bất phương trình: |x – 3| > x – 6,ta được nghiệm là mọi x

Bài tập 17: Điều kiện x ≥ 1; y ≥ 2; z ≥ 3.

Đẳng thức đã cho được biến đổi thành:



Bài tập 19:

với x < –3với –3 ≤ x ≤ 3với x > 3

a) A = 4x – |3x – 2| =

2

x x

3

x x

hoặchoặc

Giải tương tự bài 24, ta được min B = 6 khi

1

2 )

b) B = (2x2 x1)2 9 9 3 (dấu “=” xảy ra  2x2 – x – 1 = 0

 (2x + 1)(x – 1) = 0  x = 1; x = –

Vậy min C = 2 (khi và chỉ khi 0 ≤ x ≤

2

5 )