Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 (chương trình nâng cao) phần 1

2 Thuc hién các phép biên đi theo mỘt trong các hướng sau: _ Biến đổi về này thành về kia của dang thitc thông thường ldà xuấ phát từ về ' phức lap biến đổi rut gọn đề đưa về về đơn giản

Th.S NGUYEN KIEM - Th.S LE THI HUONG - Th.S HO XUAN THANG

toán cơ bản và nâng cao

* Bài ms mau * “Ra tap w VN

Th.S NGUYEN KIEM - Th.SLE THI HUONG - Th.S HO XUAN THANG

PHAN LOAI _VAPHUONG PHAP GIAI

_ GAG DAME BAL TAP

* Phan loai cac dang toan

* Phưững pháp giải hài tập tác tạng hài tập mẫu

MUC LUC

0); LÁ/ cá ớẽnớẽ""x x na ố ốn 3

Dạng 1: Chứng minh đăng thức vectơ -ccccsssexcsec se 5 Dang 2: Biéu thi một vectơ theo hai vectơ không cùng phương ‘ll

Hướng dẫn - lời giải - dap 86 o.oceccecceeccccccccssessescessessvessessesseseseveveressseeeteen 17

Chương II: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng 23 Bai 1: Tich vô hướng của hai ve€tƠ - -.- 5-5 sec c2cccssscey 2

Dạng I: Các bài toán liên quan đến tích vô hướng 24

Dạng 2: Xác định điểm hay tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức veectơ

30900065 0T .ễ.ồê.'Ắ®ˆ'®^®^.33 28 Dạng 3: Dùng phương pháp vectơ để giải một số dạng bài toán Fhình học phăng c1 t1 t1 1111121151211 1111011115 11g TH H1 1H hày 35 Bài 2: Hệ thức lượng trong tam giáC c2 Ssccshrseieiei 45 Bài 3: Một số ứng dụng của tích vô hướng -25+555 52

Hướng dẫn - lời giải - đáp số ¿52 2s 222cc E22 55

Chương III: Phương pháp toạ độ trong mặt phăng . - 78

Bài I: Hệ trục toạ độ LG Q 2 S12 HS HH nh He 78

Bài 2: Phương trình tổng quát của đường thăng 86 Bài 3: Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đưường thang 20 RTT SENT REND SG RPA CUTS URRY eve s.cng 91 Bài 4: Khoảng cách và góc 95

Bài 6: EÌIp SH HH HH nh TH nh He 116

Bài 7: HyperbolL 5: 2c 522221 2121212211123 E2E 1112k 123

Wat 8! PATA, 0s esses.sa2monsn.savs acrsaceas.cones saesn masemenesesassstenen acess concer 131

Hướng dẫn - lời giải - dap 86 o cceccccceeecceesssseesessestesssesseseseees wee 140

* Vecto la doan thang định hướng

— Miột điểm được xác định là điềm sốc (điềm đâu), còn điểm kia là

điêm ngọn (điêm cuôi)

- Hướng từ điểm gốc đến điềm ngọn là hướng của vectơ

- Độ dài của đoạn thăng gọi là độ dài của vecto

* Ki hiệu: Vectơ có điểm sốc 41, điểm ngọn B kí hiệu AB

Độ dài vectơ AB kí hiệu là |AB|

Đường thăng 4B gọi là gid cua vecto AB

* Vecto khong ki hiéu O là vectơ:

~ Có điềm gốc và điểm ngọn trùng nhau

— Có hướng bắt kì

- Độ dài bằng 0

2 Vectơ cùng phương, cùng hướng

* Hai vecto AB va CD duoc goi là cùng phương kí hiệu:

AB/CD (giá của chúng song

AB//CD ©

A,B,C,D thang hang song hoặc trùng nhau)

* Hai vecto AB va CD duoc goi là cùng hướng kí hiệu:

ABM Dele Tia AB,CD cùng hướng — -

* Hai vecto AB va CD được gọi là ngược hướng kí hiệu:

AB 1L CDe> AB//CD

Tia AB,CD ngược hướng

3 Vectơ bằng nhau, đối nhau

* Hai vecto AB va CD được gọi là bằng nhau, kí hiệu:

* Quy tắc 3 điểm: Với 3 điềm A, B, C bắt kì ta luôn có AB+ BC = AAC

* Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta ludton có

II PHÉP NHÂN MOT SO VOI MOT VECTO

2 Tính chất của phép nhân một số với một vectơ

Vol mot vecto’ a.b, voi moi số kh ta có:

— k(a+b)=ka+kb

- (k+th)a =ka+ha

~ k (ha) =(kh)a

- la= ai(-l)a =-a;0.a =0;k.0=0

3 Điều kiện để lai vectơ cùng phương, ba điểm thẳng hàng

—_a/b(b#0]©3keR:a=kb

~ A, BC thang hang © AB =kAC,k #0

4 Tinh chat céc trung diém đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác

~ [la trung diém cia AB & MA +MB =2MI với mọi điểm M

- Quy tắc 3 điểm: AB+BC=AC, AC-AB=BC, voi moi A, B, C

~ Quy tắc hình bình hành: AB+AD=AC với ABCD là hình bình

hành

~ Quy tắc trung điểm: M.A + MB =2MI, với Ila trung điềm của AB

~ Quy tắc trọng tâm: GA +GB+GC =0, với Gla trong tam AABC

— Cac tinh chat cua cde phép todn

2) Thuc hién các phép biên đi theo mỘt trong các hướng sau:

_ Biến đổi về này thành về kia của dang thitc (thông thường ldà xuấ phát từ về ' phức lap biến đổi rut gọn đề đưa về về đơn giản hơn)

- Biến đồi đẳng thức cần chứng mình về tương đương với 1 đăngg thức hăng đúng

- Xuất phát từ 1 đăng thức luôn đúng để biến đôi về đăng thứức cải

Nhân xét: Sử dụng cách giải này, ta can chú ý khi biến đổi các số7 hạng

cua một VỀ cần quan tâm phân tích làm xuất hiện các số hạng có ơ vvề bên kia Chăng hạn số hạng ở về trái là AB nhưng về phải có chứa AD rnén ta

viet AB= AD+DB

Bai 2: Cho AABC va G Ia trong tam AABC

a Ching minh rang MA +MB+MC =3MG

b Tìm tập hợp điểm M sao cho MA+MB+MC =0

Suy ra: AD +BE+CF =->(GA +GB+GC)= -50 = 0.b

b Với mọi điểm M tacé: MA+MB=2MF

MB+MC =2MD

MC+MA =2ME Suy ra: 2(MA+ MB + MC) = 2(MF + MI MD + ME}

Vậy: MA +MB+MC = MD+ME + ME

Bai 4: Cho A4BC va G, H, O lần lượt là tr ong tâm, trục tâm, tâm cđhường

tròn Hgoại tiếp cua tam giác Gọi D là điểm đổi xứng của 1 qua QL CC hứng

e OH=O0A+0B+0C =30G (xem bai 2)

Bai 5: Cho tr gidc ABCD Goi E, F lầm lượt là trung điểm của 4B, CID; O

là trung diém cua EF, Chieng minh rang:

a OA+0B+0C+OD=0

VT = (MO +0A)+ (MO+OB)+(MO+0C)+ (MO+0D)

= 4MO +(OA +OB+0C + 0D} = 4MO+Q

= 4MO = VP (đpcm) Bai_6: Cho AABC va AA/B)C) Goi G, G; lần lượt là trọng tâm LIBC và

A,B,C) Chieng minh rang: AA, +BB, +CC, =3GG,

- KA +5 AB +> AC = -AK +> AB+ IAC

= -JAB- LAC+ LAB+LA€ 4 6 2 2

ˆ l— 1a

=—AB+ SA

4 Bài 8: Cho 2 điểm AB, M là điểm trên đường thăng AB sao ch

nAM =mMB ( "hứng mình rằng với điềm O bất kì, ta có:

Suyran (OM — OA) im (OB — OM}

Do do: (m + n)OM = =nOA +mOB

Như vậy: OM=— —OA+— “0B

NA Bai_9: Cho AABC Trén canh AB, AC lay cdc diém M N sao cho —— =:

Suy ra AE =alB

Tương tự ANAF ~ NCI

nén AF = bIC

ltr do suy ra: Al =alB+blC

DANG 2: BIEU THI MOT VECTO THEO HAI VECTO KHONG CUNG PHUONG

Phương pháp:

Su dung quy tắc ba diém phối hợp với các tính chất của các phép toán

vecty dé biêu thị vectơ cần biêu diễn theo hai vectơ không cùng phương cho IrưỚc

Bài l: Cho hình bình hành ABCD tam O Dat AO =a, BO=b Hay biéu diễn các vectz AB BC.CD và DA theo hai vecto a,b

Giải:

Tacé: AB=OB-OA=a-b

BC = BO+OC =b+a CD=-AB=b-a

DA =-BC =-b-

Bai2: Cho AABC co trong tam la G H la điêm đối xứng của B qua G Goi

M là trung diém cua BC Dat AB=b.AC=c Biểu thị các vectơ AH, CH

= =TAC=, [AB=AC) =2 AB= AC

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD co M, N la trung diém cua các cụnlh DC

DA dat AM=a, BN=D Biéu dién cae vecty AB: BC: CD: DA: AC’: BD

ua Tinh Al AJ theo AB va AC

b Gọi là trọng tâm AABC Tinh AG theo Al va AJ

Bài 2: Cho 4 diém A, B, C, D tuỳ ý M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của

các đoạn thăng AC, BD, AD và BC Chứng minh răng:

a AB+CD=AD+CB=2MN

b AB-CD=AC-BD =2PQ

Bai 3: Cho AABC, bén ngoai AABC ta vé cac hinh binh hanh ABIJ, BCPQ, CARS Chung minh RJ+IQ+PS=O

Bài 4: Cho AABC có [ là trung điểm BC Trên 2 cạnh AB, AC lấy các ‹điểm

D,E sao cho DA = 2DB; EC = 3EA Goi J la trung diém cua DE ‘Clhtng

Bai 6: Cho AABC Goi I, J, K là các diém xac dinh boi 21B+31C =O:

21C+3JA =0; 2KA+3KB=0 Chứng minh răng hai tam giác ABC và

IJK co cing trong tam

Bai 7: Cho L, J là trung điểm của đoạn AB, CD M N là các điểm xátc định bởi MA +kMC =0; NB+kND =0 (k # -1) Goi O là trung điểm cửa đoạn

MN

a Chứng minh rằng: Ol = “(MA + NB): Oj = “(MC + ND] ;

14

Ol+kOJ =0

b Gọi P, Q là các điểm sao cho PA+kPD=0 QB+kQC = Chứng minh O là trung điểm của PQ

Bài 8: Cho AABC và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đó Gọi a, b, c là

độ dài các cạnh Chứng minh rằng alA + blB+ c]C =0

Bài 9: Cho AABC co cac canh BC = a, CA = b: AB = c Goi AM, BN; CP

lân lượt là các đường phân giác trong của tam giác đó Chứng minh răng:

a(b+c)AM + b(c+a)BN +c(a +b)CP = 0

Bài T0: Cho AABC Gọi TỊ là trực tâm của tam giác Chứng minh răng:

tuA.HA +teB.HB + tøC.HC =0

a Bai 11: Cho AABC, N la diém sao cho CN = n8: G là trong tam AABC

Biéu thi AC theo AG va AN

Bai 12: Cho AABC có D E F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA

và AB Dặt BE=a CF =b Biểu diễn các vectơ AB BC, CA và ADtheo

a và b

Bài 13: Cho AABC, I là điểm trên phần kéo dài của AB sao cho IA = 21B, J

là điêm năm trên cạnh AC sao cho 3JA = 2JC Biéu thi vecto IJ theo

AB =b và AC=c

Bài 14: Cho hình bình hành ABCD tâm O I là trung điềm của BO G là

trọng tâm AOCD Biéu thi các vectơ AI:BG theo AB=a và AD=b

Bài 15: Cho AABC Gọi H là điểm đối xứng của trọng tâm G qua B

a Chứng minh rằng: HA -5HB+HC =0

b Pat AG=a; AH=b Tính AB, AC theo a và b

Bài 16: Cho lục giác đều ABCDEF Đặt u=AB; v= AE Biểu thị các vectơ

BC, CD, DE, EF, AC, AD, AE, BD, BE, BF, CE, CF, DF theo uva v

Bài 17: Cho tứ giác ABCD Goi M, N, E, F là các điểm sao cho

AM = pAB, DN = pDC, AE = qAD, BF =qBC MN cat EF tai O Tinh EF

theo EM và EN

15

Bai 18: Cho hinh binh hanh ABCD Goi M, N là các điểm năm trém đoạn

AB va CD sao cho AM = ~AB, CN = ; DC

)

a Tinh ANtheo AB=a,AC =b

b Goi G la trong tam AMNB Tinh AG theo a,b

c Goi I, J lần lượt là các điểm xác định bởi BI =mBC; AJ =:nAl Tinh Al, AJ theo a, b vam, n

d Xác định m đề AI đi qua G

e Xác địnhm,n đề J là trong tam ABMN

16

HUONG DAN - LỜI GIAI — DAP SO

Tuong ty: QB+kQC = 0 > (k +1)OQ = OB+kOC

Tir do suy ra: (k+1)(OP +0Q)=(OA +O0B)+k(OD +0C}

=2OI+2kOJ = 2(O1+kOJ)=0 => OP +01Q =0

Vậy O là trung điểm của PQ

Bài 8 -

Gọi D và E lần lượt là chân các đường phân giác của AABC lkẻ từ B

và C Dựng Ax song song BD cắt CEvàM Dựng Ay song song CE cat

Dựng Bx song song với NC cắt AM tại E

Dựng By song song với MA cắt CN tại F

Hướng dẫn: Sử dụng kết quả AD + BE+ CF =0

Suy ra: AD=-a-b

Suy ra: iạm=a(-m) œ m=TT

Để J là trọng tâm AABM thi AG =AJ

l—3mn =0 n=— 1 -

18

Cho 2 vecty a#0; b#0 Lấy một điểm O tuỳ ý Vẽ

OA =a: OB=b Gée AOB được goi la goc giita 2 vecto a.b ki

Tích vỏ hướng cua hai vecfơ a va b la một số, kí hiệu a.b vớ

được xác định như sau: a.b = al|b|cos(a b|

* Nếu a=b, khi đó aa kí hiệu a gọi là bình phương vô

tong cua vecto a

* Tacé a¥0,b#0: alboab=0

b Tính chất của tích vô hướng

Lới mọi vecto a,b,c va sé k taco:

23

B CAC DANG TOAN

DANG 1 CAC BAI TOAN LIEN QUAN DEN TICH VO HUONG

* ab=ab' Trong đó b_ là hình chiếu của b lên giá của a

2 Bài toán 2: Chứng mình các đăng thức về tích vô hướng Sử dụng:

_ * Định nghĩa và tính chất của tích vô hướng phối hợp với các quy tặc về các phép toán vecto

* Công thức hình chiếu

* Đối với các đăng thức có liên quan đến độ đài thì chú ý:

AB =|ABÍ =( (OB- OA) ^—————*”

Bài 1: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a Tính:

AB.BC = AB.AD = [AB| [AD] cos(AB, AD)

az

= AB AD cos120° = a.a.cos120° = _

Ta có thể tính tương tự như trên hoặc sử dụng quy tắc-3 điển

BC.CA =(AC-AB).(-AC) = -AC? + ABAC

24

Suy ra: (AB+BC+CA) =0

Do đó: AB +BC +CA” +2(AB.BC +BC.CA+CA.AB) = 0

Vậy ABBC+ BCCA + CA.AB - „ ẤBˆ + BC + CA” _ _ 3a)

Bai2: Cho AABC voi AB = Scm; BC = "em: CA = Scin

a

b

Tính AB.AC Suy ra s6 do cua goe A

Tính CA.CB từ đó suy ra CHCD với D là điểm nằm trên cạnh

Bài 3: Cho hình vuông

ABCD canh a, tam O M la

điểm tuỳ ý trên đường nội

-tiếp hình vuông và N là điểm

tuỳ ý trên canh BC Tinh:

a MA.MB+MC.MD

b NA.AB va NOBA

a Taco:

MA.MB+MC.MD = (MO+0A)(MO+0B)+ +(MO+OC](MO+ +OP]

= MO +MOOA+MOOB+OA.OB+ MỞ” +MOOD +MOOC+OCOD

= 2MO? ?+MO[OA +OB+OC+OD]+OA.OB+OC.OD

Bài 4: Cho 4 điểm A, B, C, D bat kì Chứng mình rằng:

a AB.CD+ AC.DB+ AD.BC = 0 (hé thite Euler) Suy ra 3 đường cao

của một tam giác thì đông quy

b AD”+ BC” ~AC?”—BD= 2 AB.CD

= AB(AD- AC)+AC(AB~AD)+AD(AC- AB)

= AB.AD - AB.AC + AC.AB~AC.AD + AD.AC- AD.AB = 0

Goi H là giao điểm của 2 đường cao xuất phát từ B và C cua AA.BC Khi đó áp dụng hệ thức Euler đôi với + điểm H A, B C ta cc:

HA.BC + HB.CA + HC.BA

Taco: HB LCA.HC L BA

Nên HB.CA=HC.BA=0

Suy ra: * HA.BC =0

Do d6 HA L BC hay HA là dường cao của AABC

Vậy 3 đường cao AABC đồng quy tại một điểm

—-2 -———-

b Taco: AD?+BC)-ÁC?—BD? =AD -AC +BC -BD

= (AD+ AC)(AD - AC]+(BC+ BD)(BC- BD)

= (AD+ AC-BC - BD).CD

= (AD+DB+ AC+CR).CD = (AB+ AB).CD

- 2ABCD

Bai 5: Cho AABC co AM AH lan A

lượt là Irung tuyên và đường cao

cua tam giác ứng với cạnh BC

C AB?~AC? =AB —AC

= (AB- AC)(AB+ AC) = CB.2.AM = 2CB.HM= 2BC.MH

DANG 2: XAC DINH DIEM HAY TAP HOP DIEM THOA MAN ĐĂNG THỨC VECTƠ CHO TRƯỚC

Phương pháp:

1 Xác định điểm M thoả mãn một đăng thức vectơ cho trước:

- Ta biến đổi đăng thức vectơ cho trước về dạng OM =v trong đó

điểm O và vectơ V đã biết

~ Khi đó điềm M hoàn toàn xác định

2 Xác định tập hợp điểm M thoải mãn đăng thức vectơ cho trước Ta có thể biên đôi đăng thức đã cho vê một trong các dạng:

~ Nếu JAM| = R (R là hằng sô) thì tập hợp các điểm M là đường tròn

tâm A, bán kính R (Nêu R > 0); M = 41 (Nêu Ñ = 0); Là tập rông (Nếu

-Nếu MA =kBC (4, 8, Cc cho trước) thì tập hợp điểm M là:

+ Đường thăng qua A song song voi BC neuk ER

+ Nửa đường thăng qua A song song với BC theo hướng BC với

keR'

+ Nưa đường thăng qua A song song với BC theo hướng ñgược

với BC với k e Ñ`

28

3 Xúc định tập hợp điệêm thoa mãn đăng thức của tích vô hướng

- 14 có thê biến đôi đăng thức tích vô hướng dã cho về một trong các

dụng thzoài những trường hợp trên)

-//áu MA.MB=0 (A, B có định) thì M thuộc đường tròn đường kính

4B

-/ếu MH.LAB =0 (H có định, AB vectơ không đôi) thì tập hợp M là

chường thăng 4 qua TÍ vuông góc AB

Bail: Cho AABC

a Nae dinh diém M thoa man MA + MB+2MC = 0

h Vác định điểm N thoa man NA -2NB+3NC =0

«Nae dinh diém P thoa mãn CP=KA+2KB-~3KC @ới K là điểm

hợp P toả CP =CA+2CB

29

Bai 2: Cho tam gidc déu ABC canh bang a

a Tim tap hop diém M thoa man MB? + 2MC? =k (1)

+ Nếu 3k - 2aˆ =0 © k= Sa”, khi đó Me]

+ Nếu 3k - 2a” >0 © k> a khi dé tap hợp M là đường

= NA? =NG?+GA’?+2NG.GA

Tương tự: ~ NB? = NG? +GB? +2NG.GB

NC? = NG?+GC? +2NG.GC Suy ra: NA’ +NB’ +NC? = 3NG? +3GA? +2NG(GA+GB+GOC)

Bai 3: Cho ut gidc ABCD

a NXdc dinh diém O sao cho OB+40C = 20D (1)

b Tìm tip hop diém M thoa hé thite |MB + 4MC - 2MD| =|3MA|

Vay tap hop M là đường trung trực của đoạn thăng OA

Bai 4: Cho AABC vuong tai A Điểm M bat ki nam trong tam giác có hình chiêu xuông BC” CA, 4B theo thứ tự là D, E, F

a Tìm tập hợp điểm M biết rằng MD+ME+MF cing phương với

Gọi [là trung điểm của AD

Khi đó: MD+MA = 2MI

Dé MI)+ ME + ME cùng phương với BC thì MI//BC

Suy ra: MI//PQ (PQ la đường trung bình của tam giác ABC

song song với cạnh BC)

Suy ra: |MM] = [mal = IMD}

l= | Vay M la duong trung truc cua MD va vi M'H = 5MD = = a A

Bai 5: Cho diém A, B cé dinh voi AB = a

a Tim tap hop diém M sao cho: MA’ +MB.AB =a?

6 Tìm tập hợp điềm N thoả: MAT + 2MB° = k (k là hằng số thực

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn đường kính AB

b Goil la điểm sao cho IA +2IB=0 vì A, B, cố định nên I cố định

(Ni+ TA)? + 2(Ni + 1BY =k

NE +2NL1A +IA?+2NÏ +4NHB+ 21B? =k 3NI +2NIŒA +2IB)IA? +2IB? =k

Tìm tập hợp điểm M thoá' (MA + MB)(MA +MC) =0

Tìm tập hợp điềm N thoả: NA? + NB? + NC? = 4a’

Tim tap hop diém P thoa: 3PA’ = 2PB° + PC’

Giải:

Gọi I là trung điểm của AB, J là trung điểm AC ta có L, J cố định

Tacé: (MA+MB)(MA+MC)=0

<> 2MI.2MJ =0 MLMJ=0

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn đường kính IJ

Gọi G là trọng tâm AABC

Tacó: NA? +NB? NC?= 4a’

Do đó tập Hợp điểm N là đường tròm tâm G bán kính bằng a

(vi GA = GB =GC) A

< PG(3GA-2BG-GC) =0 Mặt khác: 3GA -2GB~GC

= 3GA —2(GA + AB) -(GA+ AC)

= -(2AB+ AC)

Gọi H là điểm sao cho 2HB+HC =0

Khi đó 2AB+ AC = 2(AH + HB)+(AH+ HC) =3AH

Suy ra, đăng thức đã cho trở thành PG.3AH =0 © PG.AH =0

Vậy tập hợp điêm P là đường thăng qua G và vuông góc với AH

DANG 3: DUNG PHUONG PHAP VECTO DE GIAI MOT SO DANG

BAI TOAN HINH HOC PHANG

Phwong phap:

1 Đề giải một số bài toán hình học bằng phương pháp vectơ ta tiến

hành:

Bước l: — Lựa chọn một vectơ "cốc "

- Chuyển đổi giả thiết, kết luận bài toán từ ngôn ngữ hình học

sang Ngon nett vecto

Bước 2: Thực hiện các phép biến đổi cdc biéu thitc vecto theo yêu cầu

bài toán

Bước 3: Chuyển các kết luận từ ngôn ngữ vectơ sang ngôn ngữ hình hoc tttong tng

2 Một số dạng bài toán:

Bài toán 1: Chứng mình 3 điềm 4, B, C thắng hàng

~ Đề chứng minh A, B, C thang hang tc ta can chung minh AB cung phương với AC (hoặc AB cùng phương BC hoặc AC cùng phương với BC) tức là chứng mình đăng thức vecto AB =kAC voik ER

- Ngoài ra đề chứng mình A, B, C thẳng hàng ta có thề chứng minh

đăng thức vectơ MB =kMC+(1—k)MA với M bắt kì, k e R

- Đặc biệt nếu 0 <k < 1 thì B nằm trên đoạn AC

Bài toán 2: Chứng mình ba đường thăng a, b, e đồng quy thì quy về bài

toán | bang cach :

35

1

- Gọi A là giao điểm của a va b

- Chứng mình A4 e e tức là A, B, C thang hang voi B, C la 2 điểm nằm

trên đường thăng C_

Bài toán 3: Chứng mình AB song song voi CD, ta ching minh A, B, C,

D không thăng hàng và AB=kCD

Bai toadn 4: Ching minh AB vuéng géc CD, ta chứng mìỉnh

Đề chứng minh M, N, P thang hàng ta cần chứng minh PM =kPN,k e R

Biểu thị PM,PN theo hai vectơ AB, AC (hệ vectơ "gốc")

Vay PM =3PN hay M,N, P thang hang

Bai 2: Cho AABC, goi O, G, H lan luot la tam đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC Chứng mình răng Q@, Œ, H thăng hàng

Giải:

36

Gọi D là điểm đối xứng với A qua O

E là trung điềm của BC

Nhu vay OG = 50H hay O, G, H thang hang

Bai 3: Cho hai hình bình hanh ABCD va A,BiCD; sap xép sao cho Bị thuộc

thuộc cạnh AB, Dị thuộc cạnh 4D Chứng mình răng các đường thắng DB),

Goi P là giao điểm cua DB, va D\B

Vì Bị, P, D thăng hàng nên AP =œAB,+(I-œ)AD @)

Vì B.P, Dị thang hang nén AP =$AB+(1-B)AD, (4)

từ (1) và (3) suy ra AP =œka+(I—œ)b

từ (2) va (4) suy ra AP =.a+(1—B).hb

Vì avà b không cùng phương nên ta suy ra được ,

37

I-h

Suy uyra: ra: œ =——— io kh

— k(l-h)- h(l-k)- Vậy AP= ( Vee ( )§

Suy ra: CC =C,E+€,F =(I-k)a+(I-h)b

Vậy C,C=(1—kh)PC Hay C¡, C, P thắng hàng tức là CC đi qua P

Do vay DB), DB và CC; đồng quy tại P

Bài 4: Cho tứ giác ABCD và điểm M Gọi N, P, Q, R lần lượt là các điểm

đôi xứng của M qua trung điêm của các cạnh của tứ giác Chứng mình răng MPOR là hình bình hành

Bài 5: Cho A4BC cân tai A và D là trung điểm của cạnh BC H là hình

chiêu vuông góc của D trên cạnh AC và Ï là trung điêm của đoạu DH