CÁCH CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Trong toán học, bất đẳng thức được định nghĩa như sau: Bất đẳng thức là một phát biểu về quan hệ thứ tự giữa hai đối tượng. Đó là kết quả của phép so sánh hai đối tượng a và b với nhau, nó được viết lại thành một trong các dạng sau: a b, a

WWW.ToanCapBa.Net

§1.GIỚI THIỆU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

1.1.ĐỊNH NGHĨA BẤT ĐẲNG THỨC

Trong toán học, bất đẳng thức được định nghĩa như sau: Bất đẳng thức là một phát biểu về quan

hệ thứ tự giữa hai đối tượng Đó là kết quả của phép so sánh hai đối tượng a và b với nhau, nó được viết lại thành một trong các dạng sau: a > b, a < b, a � b, a � b.

Trong đó các kí hiệu >, <, �, � được hiểu theo nghĩa:

-Ta có a > b khi và chỉ khi a – b là một số nguyên dương Hai đại lượng a, b có thể là những số

cụ thể hoặc là những biểu thức chứa biến

-Nếu một bất đẳng thức đúng với mọi giá trị của biến thì được gọi là Bất đẳng thức không điều

kiện Còn nếu nó chỉ đúng với một số giá trị của biến thì được gọi là Bất đẳng thức có điều kiện.

1.2.CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA BẤT ĐẲNG THỨC

Đây là một phần rất quan trọng của bất đẳng thức

Bất đẳng thức gồm có những tính chất cơ bản như sau:

1)Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳngthức đã cho:

a > b, c > d � a + c > b + d

2)Trừ từng vế hai bất đẳng thức ngược chiều, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ

3)Tính chất đơn điệu của phép nhân:

a)Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương:

b) |a|�0 Xảy ra đẳng thức khi a=0

|a|�a Xảy ra đẳng thức khi a �0

|a+b| �|a| + |b|.Xảy ra đẳng thức khi ab �0

|a-b| �|a| - |b|.Xảy ra đẳng thức khi ab �0

Chứng minh bất đẳng thức |a+b| �|a| + |b|như sau:

Chứng minh bất đẳng thức|a-b| �|a| - |b| (3) như sau:

Nếu |a|<|b| thì (3) hiển nhiên đúng

Nếu |a| �|b| thì (3) tương dương với

Bất đẳng thức cuối cùng đúng, suy ra điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 2b = 2c = 2d = 2e

Ví dụ 1.1.2.Chứng minh rằng với mọi số thực x, y ta có:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1

Ví dụ 1.1.3.Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z ta có:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z

Ví dụ 1.1.4.Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0 Chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 0

Ví dụ 1.1.5.Chứng minh rằng với mọi số thực x ta có:

Bất đẳng thức cuối đúng nên ta có điều chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1

Ví dụ 1.1.6.Chứng minh rằng với mọi a > 0 ta có:

2 2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 1

Ví dụ 1.1.7.Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:

Suy ra điều phải chứng minh.

Nhận xét Ngoài ra, ta cũng có một số hằng đẳng thức tương tự (mà từ chúng có thể suy ra được những bất đẳng thức rất khó)

Khi nào có dấu đẳng thức ?

Bài 1.1.6 Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng:

-Bất đẳng thức đúng với giá trị đầu tiên của n.

-Từ giả thiết bất đẳng thức đúng với n = k k�� suy ra được bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Các bước chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp:

Bước 1: Chứng minh bất đẳng thức với giá trị đầu tiên của n

Bước 2:Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k (gọi là giả thiết quy nạp), sau đó chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1

Bước 3: Kết luận bất đẳng thức đã cho đúng

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k k �,k 5, tức là 2k k2

Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, hay

Hay bất đẳng thức đúng với n = k + 1, nên theo nguyên lý quy nạp suy ra điều phải chứng minh.

Ví dụ 1.3.3.Chứng minh với mọi số thực a, b thỏa mãn a + b 0� ta có:

Mà (*) tương đương với      

(Đề chọn đội tuyển dự thi Toán quốc tế, Rumani năm 1999)

2.4.PHƯƠNG PHÁP LÀM TRỘI, DÙNG TỔNG SAI PHÂN

A.Kiến thức cần nhớ:

Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức : A < B

Ý tưởng của phương pháp là làm trội A < C rồi chứng minh C < B

Đôi khi để chứng minh một bất đẳng thức dạng

Làm tương tự rồi cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 1.4.2.Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:

Ví dụ 1.4.3.Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:

Để giải bài toán này ta cần có bổ đề sau:

Bổ đề: Với mọi số thực dương x, y ta có: x yy x �x x y y

Chúng minh: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương

Vậy bài toán được chứng minh

Ví dụ 1.4.4.Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi n��*

Ví dụ 1.4.5 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n 2� ta có:

 

2 2

2 2

n n

n e

n b

n c

2.5.PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG

A.Kiến thức cần nhớ.

Xét bài toán phải chứng minh khẳng định (*) đúng

Phương pháp phản chứng tức là giả sử ngược lại, khẳng định (*) sai Sau đó bằng suy luận và cácphép toán đi đến một mâu thuẫn Như vậy khẳng định (*) đúng, hay ta có điều phải chứng minh

Do đó: a(2 – a).b(2 – c).c(2 – c) 1� (mâu thuẫn)

Vậy bài toán được chứng minh

Ví dụ 1.5.2.Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 2 2

0

a  b ab bc ca  Chứng minh 2 2 2

a b c

ab bc ca abc

Lời giải:

Giả sử rằng ba số a, b, c có một số không dương Không giảm tính tổng quát, ta xem a� 0

Mà abc > 0 nên a�0, do đó a < 0

Lại có a + b + c > 0 nên b + c > 0, suy ra a( b +c ) < 0

Theo giả thiết thứ hai ab + bc + ca > 0 ta có a b c   bc0�bc0

Vì thế a.bc < 0 (Mâu thuẫn với giả thiết thứ ba)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 1.5.4.Cho ba số a, b, c đôi một khác nhau Chứng minh rằng tồn tại một trong các số 9ab, 9bc, 9ca nhỏ hơn (a + b + c)2

Vì (1) và (2) mâu thuẫn với nhau nên ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 1.5.5.Cho bốn số thực dương a, b, c, d Chứng minh rằng ba bất đẳng thức sau không thể cùng xảy ra

1.5.2.Cho a, b, c là các số nguyên dương thỏa mãn 2 2 2 

1

a b c ab Chứng minh rằng a c�

và b c�

1.5.3.Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b+ c abc� Chứng minh rằng có ít nhất hai trong số các bất đẳng thức sau đúng 2 3 6 6,2 3 6 6,2 3 6 6

2.6.1.PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC KINH ĐIỂN

A.Giới thiệu bất đẳng thức CAUCHY.

Nếu a1, a2, … , an là các số thực không âm thì

   � Bất đẳng thức này có tên gọi chính xác là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân Ở nhiều nước trên thế giới, người ta gọi bất đẳng thức này theo kiểu viết tắt là bất đẳng thức AM – GM (AM là viết tắt của arithmetic mean và GM là viết tắt của geometric mean)

Ở nước ta, bất đẳng thức này được gọi theo tên của nhà Toán học người Pháp Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857), tức là bất đẳng thức Cauchy Thật ra đây là một cách gọi tên không chính xác vì Cauchy không phải là nguời đề xuất ra bất đẳng thức này mà chỉ là người đưa ra một phépchứng minh đặc sắc cho nó Tuy nhiên, để cho phù hợp với chương trình sách giáo khoa, trong tài liệu này chúng ta cũng sẽ gọi nó là Bất đẳng thức Cauchy

Đây là một bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng và quen thuộc đối với phần lớn học sinh nước ta Nó ứng dụng rất nhiều trong các bài Toán về bất đẳng thức và cực trị

Trong phạm vi chương trìnhToán THCS, chúng ta quan tâm đến ba trường hợp riêng của bất đẳng thức Cauchy là:

-Trường hợp n = 2 Lúc này bất đẳng thức được viết lại rằng: Nếu a, b là các số thực không âm, thì:

2

a b

ab

 �Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b

Bất đẳng thức này còn được viết ở hai dạng khác tương đương là

3

a b c

abc

  � Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b

Trong thực tế khi áp dụng, ta còn sử dụng một dạng khác tương đương của bất đẳng thức này là:

-Trường hợp n = 4 Trong trường hợp này, ta có bất đẳng thức Cauchy cho bốn biến không âm: Nếu a, b, c, d là các số thực không âm, thì

Tương tự như hai trường hợp khác, ta cũng thường hay sử dụng bất đẳng thức này dưới dạng

B.1.Kỹ thuật sử dụng Cauchy trực tiếp.

Ví dụ 1.6.1 Cho các số dương a, b thỏa mãn 12 12 2

2 2

12

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z

Ví dụ 1.6.4.Cho các số dương a, b, c Chứng minh rằng

Ý tưởng Nếu ta chứng minh được X + Y � 2A Sau đó, tương tự hóa để chỉ ra Y + Z � 2B và

Z + X � 2C (Nhờ tính chất đối xứng của bài toán)

Sau đó cộng ba bất đẳng thức trên lại theo vế rồi rút gọn cho 2, ta có ngay điều phải chứng minh.-Dạng 2.Chứng minh XYZ � ABC với X, Y, Z � 0

Ý tưởng: Nếu ta chứng minh được XY � A2 Sau đó tương tự hóa để chỉ ra YZ � B2 và

ZX � C2 (nhờ tính chất đối xứng của bài toán) Sau đó nhân ba bất đẳng thức trên vế theo vế rồi lấy căn bậc hai , ta có 2 2 2

XYZ� A B C = ABC �ABC

Ví dụ 1.6.5.Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương ta có

Bài toán được giải quyết xong Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Ví dụ 1.6.6.Cho a, b, c là ba số thực dương Chứng minh rằng:

Từ đó, bài toán được giải quyết hoàn toàn

Ví dụ 1.6.7.Một tam giác có độ dài ba cạnh là a, b, c thỏa mãn

24

Điều này chứng tỏ tam giác đã cho là tam giác đều

Ví dụ 1.6.8.Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng:

Ví dụ 1.6.9.Cho x, y là hai số thực khác 0 Chứng minh rằng:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x2  y2 �x�y

Ví dụ 1.6.10 Cho x, y, z > 2 và 1 1 1 1

x   Chứng minh rằng :y z

x2 y2 z � 2 1

Lời giải:

Với giả thiết x, y, z đều lớn hơn 2, ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để đưa bài toán về dạng đơn giản

và quen thuộc hơn Hãy xét lời giải sau:

Đặt x = a + 2, y = b + 2, z = c + 2 với a > 0, b > 0, c > 0 Bài toán quy về chứng minh abc � 1 với a, b, c > 0 thỏa mãn

Để ý rằng nếu đặt x = a + b, y = c + d, thì bất đẳng thức bốn biến cần chứng minh tương đương

đã được quy về dạng hai biến đơn giản hơn là:

B.4 Kỹ thuật Cauchy ngược dấu.

Ví dụ 1.6.13.Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng:

Vậy chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ được rằng: ab + bc + ca 3�

Điều này hiển nhiên đúng vì  2

33

Bài toán được chứng minh xong

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

B.5.Kỹ thuật đánh giá điểm biên.

đánh giá này, dễ thấy chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được

x x 2y z  �x y z x     � y x z  � hiển nhiên đúng theo giả sử x z0 � Bài toán được chứng minh xong

A.Giới thiệu về bất đẳng thức Bunyakovsky.

Trong lĩnh vực Toán sơ cấp, cùng với bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunyakovzky là hai bất đẳng thức thông dụng và phổ biến nhất bởi tính đơn giản và hiệu quả của chúng

Ở phần trước, chúng ta đã tìm hiểu về bất đẳng thức Cauchy và các kỹ thuật sử dụng nó trong giải toán Trong phần này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu thêm về bất đẳng thức thứ hai, đó là bất đẳng thức Bunyakovsky

Bất đẳng thức này được phát biểu như sau: Với hai bộ số thực bất kì a a1, , 2 a và n

b b1, , ,2 b ta có n  2 2 2  2 2 2  2

1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n

a   a a b   b b �a b a b  a b (*)Trong đó đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho a1kb1 với mọi i = 1, 2,…,n Bất đẳng thức (*) được nhà Toán học Augustin Louis Cauchy đề xuất đầu tiên vào năm 1821 Sau đó, vào năm 1859, học trò của ông là Viktor Yakovlevich Bunyakovesky (1804 – 1889, nhà Toán học người Nga) đã mở rộng được kết quả cho tích phân Và đến năm 1885, nhà Toán học người Đức Hermann Amandus Schwarz (1843 – 1921) đã chứng minh được kết quả tổng quát của bất đẳng thức này trong trường hợp không gian tích trong Do vậy, cũng như bất đẳng thức Cauchy, cụm từ “Bất đẳng thức Bunyakovesky” mà ta vẫn thường dùng thật ra là một cách gọi tên không chính xác mà phải gọi là bất đẳng thức Cauchy – Bunyakovesky - Schwarz Tuy nhiên, để phù hợp với chương trình sách giáo khoa của nước ta, trong xuyên suốt tài liệu này, tôi vẫn sẽ gọi tên bất đẳng thức trên là bất đẳng thức Bunyakovesky

Ngoài ra, từ bất đẳng thức (*) ta có thể suy ra được một hệ quả khác rất hay được sử dụng cho các bài toán bất đẳng thức dạng phân thức, đó là bất đẳng thức Bunyakovesky dạng phân thức

Bất đẳng thức này được phát biểu như sau :Cho a a1, , 2 a và n b b1, , ,2 b là hai dãy số thực n

Bài toán được chứng minh xong.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Bất đẳng thức được chứng minh xong

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1.6.24.Chứng minh rằng với mọi a, b, c, d > 0, ta có ab cd � a d b c    

1.6.25.Cho a, b, c, d là các số thực dương Chứng minh rằng 1 1 4 16 64

  1.6.26.Cho x, y, z > 0 và 2 2 2

1 1 1 3 1 1 1

  � ��     ��

1.6.32.Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng

  

MỤC LỤC

§1.Giới thiệu về bất đẳng thức……… 1

§2.Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức……… 2

2.1.Phương pháp biến đổi tương đương……… 2

2.2.Phương pháp dùng định nghĩa ……… 8

2.3.Phương pháp quy nạp……… 8

2.4.Phương pháp làm trội, dùng tổng sai phân………11

2.5.Phương pháp phản chứng……… 18

2.6.Phương pháp dùng bất đẳng thức kinh điển……… 20