SKKN: Sử dụng phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số chứng minh bất đẳng thức

Trong môn Toán có nhiều đơn vị kiến thức giáo viên phải thực sự tích cực trau dồi mới đạt hiệu quả khi truyền tải kiến thức cho học sinh. Hơn nữa, với cấu trúc thi đại học mới ban hành, nhiều phần kiến thức giáo viên phải tìm tòi sáng tạo để học sinh có thể giải quyết các bài toán trong các đề thi. Bài SKKN dạng toán chứng minh bất đẳng thức, mời các bạn tham khảo.

Sử dụng phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số chứng minh bất đẳng thức

Phần 1: MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Việc nâng cao phương pháp dạy học là cần thiết và thường xuyên đối với giáo viên của tất

cả các bộ môn Trong môn toán có nhiều đơn vị kiến thức giáo viên phải thực sự tích cực trau dồi, bồi dưỡng kiến thức và phương pháp thì mới đạt hiệu quả khi truyền tải kiến thức cho học sinh Hơn nữa, trong thời điểm hiện nay, với cấu trúc thi đại học mới ban hành, nhiều phần kiến thức giáo viên phải tìm tòi sáng tạo, tìm ra phương pháp mới để học sinh có thể giải quyết các bài toán mới trong các đề thi học sinh giỏi, thi đại học cao đẳng Và bài toán chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng trong môn toán THPT không phải là ngoại lệ Khi gặp dạng toán chứng minh bất đẳng thức, giáo viên thường củng cố nêu kiến thức và các phương pháp kinh điển, các phương pháp có sẵn để giải quyết bài toán đó Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm này giới thiệu một phương pháp chứng minh bất đẳng thức mà tác giả đã tìm tòi, học hỏi trang bị cho học sinh Qua đó học sinh có thêm một công cụ giải bài tập, có hướng tìm ra và sử dụng các phương pháp chứng minh các bất đẳng thức

Bên cạnh đó, xuất phát từ thực tế giảng dạy nhiệm vụ giải bài tập chứng minh bất đẳng thức (nhất là trong đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng của bộ giáo dục và đào tạo) là nhiệm vụ rất khó khăn Nhu cầu của mỗi học sinh trước khi giải bài tập dạng này có cách nhìn khái quát, định hướng phương pháp giải Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm này đó là nêu rõ phương pháp và cách áp dụng khi chứng minh các bất đẳng thức

Với nội dung nêu trên, đề tài sáng kiến của tôi là:

“Sử dụng phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số chứng minh bất đẳng thức”

2 Mục đích nghiên cứu :

Khi kết thúc chương trình lớp 12, khi gặp bài toán chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng đòi hỏi học sinh phải nhận dạng được bài toán chứng minh bất đẳng thức vận dụng theo phương pháp nào Sự kết hợp các phần kiến thức khác nhau giữa đại số, hình học, giải tích sẽ cho ta các phương pháp chứng minh thích hợp Vận dụng tính chất của tiếp tuyến đường cong, ứng dụng của nó cùng với tính chất của các bất đẳng thức cơ bản sẽ cho ta một phương pháp chứng minh mới, phù hợp là mục đích của sáng kiến kinh nghiệm này

3 Nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu:

Kết quả lớn nhất của sáng kiến này là đã tìm ra thêm một phương pháp chứng minh bất

đẳng thức, ngoài việc tổng hợp các 10 phương pháp chính làm bài tập chứng minh bất đẳng thức

Từ đó phân biệt các phương pháp giải các bài toán về bất đẳng thức, liên quan đến bất đẳng thức (tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, ) trong các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng và thi học sinh giỏi các cấp Khi đó giáo viên sẽ rút ra kinh nghiệm khi giảng bài và sáng tạo các bài toán mới

Phương pháp nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm này là phân tích, tổng hợp hiệu quả của các phương pháp chứng minh bất đẳng thức thông thường Từ đó sáng tạo ra phương pháp mới, đồng thời phân tích, tổng hợp để làm rõ hiệu quả của phương pháp mới này

4 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:

Về con người là các thầy cô giáo giảng dạy môn toán THPT và các em học sinh đang học

tại trường THPT của tôi Trong phần toán học, ở đây đối tượng nghiên cứu là các phương pháp chứng minh bất đẳng thức mà học sinh được học trong chương trình phổ thông

5 Điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm:

Là nêu một phương pháp mới chứng minh bất đẳng thức, vận dụng tổng hợp các kiến

thức về tính chất bất đẳng thức, các ứng dụng cơ bản của đạo hàm

Nội dung chính của sáng kiến kinh nghiệm này bao gồm:

Chương 1: Cơ sở lý luận (Phương pháp dạy học chứng minh bất đẳng thức)

1) Phân bậc hoạt động chứng minh bất đẳng thức

2) Rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh qua chứng minh bất đẳng thức

3) Hướng dẫn học sinh tìm ra nhiều phương pháp chứng minh một bất đẳng thức

4) Phát hiện, khắc phục và sửa chữa sai lầm trong chứng minh bất đẳng thức

Chương 2: Cơ sở thực tiễn (Giải pháp cũ thường làm) 10 phương pháp chứng minh bất

đẳng thức thường gặp

Chương 3: (Giải pháp mới) Phương pháp mới chứng minh bất đẳng thức

Chương 4: Kết quả thực nghiệm tại trường tôi công tác

Phần 2: NỘI DUNG

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN

Bất đẳng thức là một dạng toán khó ở bậc trung học phổ thông đối với đại trà học sinh Điều đó đồng nghĩa với việc dạy học bất đẳng thức là một nội dung không hề đơn giản Nhiều giáo viên xác định không cần dành quá nhiều thời gian để củng cố ôn tập cho học sinh phần kiến thức này, chấp nhận từ bỏ bài toán chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng của nó Chưa hẳn điều đó đã đúng, nếu chúng ta nghiêm túc phân bậc đối tượng học sinh và chỉ cần bồi dưỡng năng lực giải bài tập bất đẳng thức tùy theo mức độ các nhóm học sinh khác nhau

1) Phân bậc hoạt động chứng minh bất đẳng thức:

Điều này rất quan trọng, có thể căn cứ vào số lượng biến, sự phức tạp của đối tượng, căn cứ vào mức độ tường minh, sự phối hợp ít hay nhiều hoạt động để xây dựng hệ thống bài toán từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, nhằm rèn luyện các phương pháp chứng minh bất đẳng thức Nhằm rèn luyện cho học sinh vận dụng Bất đẳng thức Cô-si có thể lấy một hệ thống bài toán

phân bậc như sau Ta lấy một ví dụ: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Trong hệ thống bài tập ở trên mức độ vận dụng ở các bài toán là khó dần:

bài (1) chỉ cần vận dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi cho hai số

bài (2) phải ghép đôi rồi áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số

bài (3) đầu tiên phải biết tách

2 x  y  z  16 x  y  z và tương tự cho hai hạng tử còn lại

2) Rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh qua chứng minh bất đẳng thức:

Bất đẳng thức và các ứng dụng rất thuận lợi để rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh: phân tích, so sánh, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá,… Học sinh cần phải có được cách giải quyết bài toán, đồng thời là cách suy nghĩ để giải quyết bài toán, giải quyết vấn đề

Ví dụ: Giáo viên nêu các dấu hiệu gợi ý cho học sinh nghĩ đến bất đẳng thức Côsi (đây là hoạt động phân tích, so sánh) như: các số tham gia bất đẳng thức dương; Có căn bậc 2, bậc 3; Vì sao phải sáng tạo, đặc biệt hoá khi dấu bằng xảy ra để làm gì?; Áp dụng bất đẳng thức (1) cho bất đẳng thức (2) hay ngược lại một cách linh hoạt

(1) Cho a b c  , , 0 và 3

4

a    b c CMR: 3a  3 b 3b  3 c  3c  3 a  3

(2) Cho a b c  , , 0 và abc  1.CMR: 3a  3 b 3 b  3 c  3c  3 a  3

3) Hướng dẫn học sinh tìm nhiều phương pháp chứng minh một bất đẳng thức:

Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau, bất đẳng thức không phải là ngoại lệ do cách nhìn khác nhau, từ nhiều phương diện khác nhau Ta có thể tìm hiểu qua các ví dụ sau đây:

a) Ví dụ 1: Cho 0  x y ,  1 Chứng minh rằng: 1

4

x y  y x 

Cách 1: Dựa vào điều kiện 0  x y ,  1ta có:VT  xy ( x  y )  y (1  y )

4) Phát hiện, khắc phục và sửa chữa sai lầm cho học sinh:

a) Ví dụ 1: Chứng minh rằng: a2 b2  c2 d2 e2 a b (   c d  e ) với mọi số thực

Cộng các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh

Đánh giá: Ở đây học sinh đã nhầm ví dụ này với ví dụ 3 của phần I.1, vận dụng bất đẳng thức

Cô-si là sai, vì các số có thể âm Tuy nhiên, mỗi bất đẳng thức trên đều đúng nhưng không phải

theo Cô-si, mà do ( )2 0,

2

a b

b) Ví dụ 2: Cho a, b, c, d là 4 cạnh của một tứ giác lồi Chứng minh rằng diện

tích tứ giác không lớn hơn 1

Đánh giá: Lời giải này còn thiếu trường hợp hai cạnh có độ dài a, b đối diện

c) Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M  x a (2  x )(2 b  x ) với a, b dương, phân biệt và 0 < x < 2a, 0 < x < 2b

Lời giải: Vì 1

2

M  x a  x b  x

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số 2x, 2a - x, 2b - x nên M lớn nhất khi chúng bằng

nhau, nhưng điều đó không xảy ra nên M không có giá trị lớn nhất

Đánh giá: Điều này sai logic vì khi 3 số đó bằng nhau thì có giá trị lớn nhất, còn khi không

bằng nhau thì chưa kết luận được gì

18

17

16

15

14

13

12

5

29

14

27

13

25

12

Ta dự đoán sử dụng bất đẳng thức Côsi cho các số 12

, ,

a a a

Chương 2: GIẢI PHÁP CŨ THƯỜNG LÀM

Thực tế các giáo viên đã rất cố gắng để truyền thụ tới các học sinh phương pháp giải bài tập chứng minh bất đẳng thức Việc thực hiện đầy đủ các phần trên đây theo ý kiến của tôi là cách hợp lý nhất để giải quyết dạng toán này Khi chứng minh bất đẳng thức theo quan điểm của tôi

có 10 phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường được sử dụng Việc phân chia ra phương pháp này hay phương pháp khác chỉ tương đối, tuỳ theo quan niệm của mỗi người Trong

phương pháp này có phương pháp kia, khó rạch ròi phân biệt được Ví dụ đặt a = cosx có thể

hiểu là đặt ẩn phụ, hoặc gọi là phương pháp lượng giác hoá Dưới đây tôi giới thiệu các phương pháp chứng minh bất đẳng thức đó

1 Phương pháp biến đổi tương đương :

Sử dụng các tích chất của bất đẳng thức, phép biến đổi kéo theo, tương đương Có 2 con dường quy nạp hoặc diễn dịch để có được kết quả bài toán

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 hạng tử ở vế trái => ĐPCM

Ví dụ 2: Với mọi a,b,c thì: a2 b2  c2 ab  bc  ca

Giải: Với mọi a,b,c thì: ( a  b )2   0 a2 b2 2 ab

( b  c )2  0 b2 c2  2 bc và ( c  a )2   0 c2  a2  2 ca

Cộng tương ứng 3 bất đẳng thức suy ra ĐPCM

3 Phương pháp quy nạp toán học:

Để chứng minh mệnh đề P(n) với nno Ta làm các bước:

Bước 1: Kiểm tra tính đúng sai của mệnh đề với n=no

Bước 2: Giả sử P(n) đúng đến n = kno Ta chứng minh đúng với n = k+1

Hơn nữa bất đẳng thức cũng là một mệnh đề logic với những điều kiện cho trước Vì vậy hoàn toàn áp dụng được phương pháp này

Giải: Giả sử cả 3 bất đẳng thức đều đúng Nhân lại với nhau ta có:

Mâu thuẫn giữa (1) và (2) Vậy điều giả sử là sai Ta có ĐPCM

5 Phương pháp lượng giác hoá:

Thông thường từ dữ kiện đề bài, ta đạt ẩn phụ theo các giá trị luợng giác, chuyển bài toán

về chứng minh bất đẳng thức luợng giác Lấy một ví dụ:

Ta có:cos( x  y ) 1    1 cos cos x y  sin sin x y

Tương tự: 1 cos cos  y z  sin sin y z

1 cos cos  z x  sin sin z x

Nhân tương ứng ta có:

(1 cos cos )(1 cos cos )(1 cos cos )  x y  y z  z x  sin2x sin2y sin2z

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

6 Phương pháp hình học:

Áp dụng bất đẳng thức liên hệ 3 điểm: AB + BC  AC

Ví dụ 1: CMR với mọi a,b,c,d ta có: a2  b2  c2 d2  ( a  c )2 ( b  d )2

Giải: Trong mặt phẳng toạ Oxy xét các điểm A(a;b), B(-c;-d) ta có:

OA + OB  AB Suy ra điều cần chứng minh

Ta có thể áp dụng các chứng minh trên cho việc chúng minh bất đẳng thức sau:

7 Phương pháp hàm số:

Ví dụ 1: CMR với a,b,c không âm thì:

a2 b2  c2 2(cos a  cos b  cos ) c   6 0

- Thứ nhất: Đề thi tuyển sinh đại học khối A môn toán năm 2009, câu V:

Chứng minh rằng với x y z , , 0 thoả mãn x x( yz)3yz ta có:

- Thứ hai: Đề thi tuyển sinh cao đẳng môn toán năm 2009, câu V :

Cho a b, thoả mãn: 0ab  , chứng minh rằng: 1 a2lnb b 2lnalnalnb

Phương pháp làm bài: BĐT cần chứng minh tương đương với: ln2 ln2



 , t (0;1) Ta chứng minh được f t '( ) 0 do đó hàm f t( ) đồng biến trên khoảng (0;1) Suy ra ĐPCM

Bài toán này có lẽ không còn cách nào khác ngoài việc sử dụng phương pháp

hàm số Tuy nhiên học sinh cần được luyện tập nhiều mới phát hiện được sự tương

đồng trong 2 vế của BĐT (2)

- Thứ ba: Đề thi tuyển sinh đại học khối D môn toán năm 2009, câu V

Cho x y , 0thoả mãn xy1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

S  x  y y  x  xy

Phương pháp làm bài: Ta thấy sự đối xứng của x, y trong biểu thức S và điều kiện bài

toán.Dẫn đến hình thành tư duy liên hệ giữa tổng và tích của x và y Trong đó ở đây xy1 lúc

này gợi ý đặt xy=t

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 2 1

0;

0;

4 4

t t hay không? Từ đó mới kết luận được kết quả của bài toán

Trên đây là 3 câu hỏi trong đề thi đại học, cao đẳng năm 2009 Với các phương pháp đã nêu khi trang bị cho học sinh Tôi tin học sinh của tôi thực hiện tốt những câu hỏi này

- Thứ tư: Đề thi tuyển sinh đại học khối A môn toán năm 2012, câu 6

“Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x  y   z 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  3x y  3y z  3z x  6(x2 y2 z )2 ”

Trước bài toán này, câu hỏi đặt ra là chúng ta sẽ giải quyết nó theo hướng nào? Các phương pháp kể trên có giải quyết được bài toán hay không?

Chương 3: GIẢI PHÁP MỚI

Xuất phát yêu cầu kiến thức của từng giai đoạn khác nhau, giáo viên bổ sung cho học sinh các phương pháp, cách giải phù hợp Dạy học chứng minh bất đẳng thức cũng vậy Người giáo viên tìm tòi, bổ sung phương pháp chứng minh cho các học sinh những phương pháp mới hiệu quả là điều cần thiết Ngoài các phương pháp thường làm kể trên, khi học phần kiến thức Đạo hàm và các ứng dụng Ngay trong chương trình lớp 11, khi có khái niệm đạo hàm chúng ta có ý nghĩa hình học quan trọng về đạo hàm

“Nếu tồn tại, f '(x ) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số 0 yf (x) tại điểm

f (x)  ax    b x D hoặc f (x)  ax    b x D Và đẳng thức xảy ra khi x  x0

Hơn thế nữa ta đều phân tích được f (x) (ax   b)  (x  x ) g(x)0 k với kN, k2

Khi đó ta xét dấu của g(x) để so sánh giữa f (x) và (ax  b)

Từ việc phân tích ở trên ta thấy, để chứng minh bất đẳng thức 2 hay nhiều biến nếu ta biến

là a1 a2   an  x0 Khi đó ta sẽ viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f (x)tại x  x0 và sử dụng nhận xét kể trên



 Lời giải

đọc sẽ giải thích được các câu hỏi như: Tại sao lai có bất đẳng thức đó? Nó xảy ra khi nào? Cách nào để tìm ra nó Thực tế khi giải bài tập, không nhất thiết phải trình bày chi tiết cách tìm

ra bất đẳng thức cơ sở, từ đó suy ra điều phải chứng minh Ta tiếp tục xét một số bài toán thuộc dạng này

Bài 3 Cho 3 số dương a, b,c biết a    b c 3 Chứng minh rằng

a  b  c  ab  bc  ca (1)

Nhận xét (1)  a2 b2 c2 2( a  b  c)  (a   b c)2  9

Do vậy ta xét hàm số f (x)  x2  2 x và viết phương trình tiếp tuyến (PTTT)

của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1 Và làm tương tự như đã làm đối với bài tập 1 và bài tập 2

Lời giải

Ta có: a2 2 a  3a  ( a  1) (a2  2 a )  0  a2 2 a  3a

Tương tự ta có b2 2 b  3b; c2 2 c  3c Cộng 3 bất đẳng thức ta được ĐPCM

(Dấu bằng xảy ra khi a  b   c 1)



 tại điểm có hoành độ

1 x 3