Đề KSCL thi đại học môn Toán lần 1 (năm 2012-2013) của sở giáo dục và đào tạo Vĩnh Phúc sẽ giới thiệu tới các bạn học sinh khối A và A1. Đề thi gồm có phần chung và phần riêng với 9 câu hỏi tự luận có kèm đáp án và lời giải chi tiết. Cùng tìm hiểu để nắm bắt nội dung thông tin tài liệu.
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 LẦN 1
ĐỀ THI MÔN: TOÁN - KHỐI A, A1
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 3 2
2
x y x
, có đồ thị là ( )C
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C), biết tiếp tuyến d tạo với trục Ox một góc sao cho cos 1
17
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình: sin 2 cos 2 5sin cos 3 0
x
Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: (2 )(2 5) 8
( 1) 3
x y xy y
Câu 4 (1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình: mx x 3 m 1 có hai nghiệm thực phân biệt
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hình chiếu vuông
góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABD Cạnh SD tạo với đáy (ABCD) một góc bằng 60o Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBC) theo a
Câu 6 (1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị thực của m để với mọi x thuộc 0;
2
ta đều có
8 8 2
tan xcot x m 64cos 2x
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm) Cho đường tròn 2 2
( ) :C x y 4x6y120 và điểm M(2; 4 3) Viết
phương trình đường thẳng d cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho tam giác MAB đều
Câu 8.a (1,0 điểm) Tìm hệ số của x4 trong khai triển thành đa thức của biểu thức: (1 x 4x2 10)
Câu 9.a (1,0 điểm) Giải phương trình: 2
4 2
x x
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Cho elíp
E và điểm I(1; 1) Viết phương trình đường thẳng d qua I cắt (E) tại hai điểm M, N sao cho I là trung điểm của MN
Câu 8.b (1,0 điểm) Tính giới hạn:
3
1
2 1 3 2 lim
1
x
x
Câu 9.b (1,0 điểm) Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà trong mỗi số đó
luôn có mặt hai chữ số lẻ và ba chữ số chẵn
-Hết -
Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh………
Trang 2SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN - KHỐI A, A1
———————————
I LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó
II ĐÁP ÁN:
1 a 1,0 điểm
TXĐ: D\{2}
Giới hạn, tiệm cận:
4
2
x y x
x
4
2
x y x
x
4 lim lim 3
2
y
x
4 lim lim 3
2
y
x
Đồ thị có TCĐ: x2; TCN: y3
0.25
( 2)
x
, suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng
BBT
y
0.25
Đồ thị:
Giao với Oy tại: (0; 1), giao với
Ox tại: 2; 0
3
Đồ thị nhận giao điểm của hai
b 1,0 điểm
17
Vì y x '( ) 0, x 2suy ra hệ số góc của d bằng 4
0.5
Trang 3Giả sử d tiếp xúc với (C) tại điểm M x( ;0 y0),x0 2.
0
0 0
1 4
3
x
y x
x x
Với x0 1 y0 1; với x0 3 y0 7
0.25
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến d thỏa mãn là: y 4x 3 và y 4x 19 0.25
sin 2 cos 2 5sin cos 3
0 (1)
x
3
x x k k
0.25 (1)sin 2xcos 2x5sinxcosx 3 0
2 cos (2sinx x 1) (2sin x 5sinx 2) 0
(2sinx 1)(cosx sinx 2) 0
2
sin
5 2
2 6
x
Kết hợp điều kiện suy ra phương trình có nghiệm 5 2 ( )
6
x k k
2
2
( )
x y x y xy x I
x y xy x
Đặt x y a
xy x b
2
2
( 5) 8 3
a a b
a b
( 2) 8
a a a
(a 2)(a a 4) 0 a 2 b 1
0.25
x y
2
2
2
2
x y
x y
0.25
Vậy hệ phương trình có nghiệm 3 5; 1 5 ; 3 5; 1 5
Đk: x3
1
x
x
0.25
1
x
f x
x
với x3 Khi đó: '( ) 5 2 32 0
f x
0 7 2 3
x
0.25
Trang 4x 3 7 2 3
f(x) 1
2
1 3 4
0
Từ bảng biến thiên suy ra, để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt thì
(Có thể đặt t x 3, t 0)
0.25
Gọi H là trọng tâm của tam giác ABD, I là trung điểm của AB
.tan
3
a
3 2
S ABCD ABCD
Từ H kẻ đường thẳng vuông góc với BC và cắt BC tại E Trong tam giác SHE kẻ
đường cao HK Do SH (ABCD)SHBCBC(SHE)
( ) ( ; ( ))
HK SBC d H SBC HK
0.25
a
HE AB 1 2 12 1 2 32 92
57
a HK
0.25
Bất đẳng thức tương đương với
tan cot 8cos 2 2 tan cot 8cos 2 tan cot 8cos 2 2
Xét các hàm số 4 4
trên 0;
2
0.25
* Ta có
0.25
E I
K S
O D
C
B A
H
Trang 5
4 tan cot 16sin 2
4 tan 1 tan cot 1 cot 16sin 2
4 tan cot 4 tan cot 16sin 2
4.2 tan cot tan cot 16sin 2 16 1 sin 2 0, 0;
2
Suy ra f x đồng biến trên 0;
2
Lại có
nên g x đồng
biến trên 0;
2
4
x
f x f g x g f x g x
4 2
x
f x f g x g f x g x
0.25
2
x
ta đều có f x g x 0, dấu bằng xảy ra khi
4
x
nên để bất
phương trình đúng 0;
2
x
thì m 2 0 m 2
0.25
7.a 1,0 điểm
Phương trình đường thẳng MI: x2 phương trình AB: ym 0.25
Hoành độ của A, B là nghiệm của phương trình 2 2
4 6 12 0 (1)
x x m m
2
( ; ); ( ; )
A x m B x m
với x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình (1)
0.25
Gọi H là trung điểm của AB H(2;m);
64 4 24
Để tam giác MAB đều thì:
4( 8 3 48) 3(4 24 64) 0 4
MH AB m m m m
0
4 3 9 2
m m
Vậy có hai đường thẳng d thỏa mãn ycbt là: y0 và 4 3 9
2
y
0.25
8.a 1,0 điểm
H
B
A
I M
Trang 6Ta có: 2 10 2 10
10 0
(1 4 ) k 4 k 1 k
k
10
10 20 2 10
0 0
4
k
k i k k i k
k i
C C x
Cho 20 2 k i 4 2k i 16 (0 i k 10)
0.25
Vậy hệ số của 4
x trong khai triển trên là: 4 2C C108 804.C C109 92C C1010 104 2370 0.25
9.a 1,0 điểm
Chia hai vế cho 2 2
2
ta được
4
3 7 3 7
2
0.25
Đặt
2 2
3 7
, 0 2
2
Giải ra
2
2
2
2
t
t
0.25
Suy ra
2 2
2 2 (vo nghiem)
7.b 1,0 điểm
Xét phép đối xứng tâm (1; 1)I : ĐI biến điểm O thành điểm K(2; 2), biến elíp (E)
thành elíp có phương trình
và biến điểm M thành điểm
N, N thành M
0.5
Do vậy M, N là giao điểm của hai elíp (E) và (E’) suy ra tọa độ hai điểm M, N thỏa 0.25
Trang 7mãn hệ phương trình
1
1
Trừ vế cho vế ta được 4x9y130. Vậy phương trình đường thẳng MN là
4x9y130
Cách khác: Xét đường thẳng x 1 qua I cắt (E) tại hai điểm phân biệt, không thỏa
mãn ycbt Gọi là đường thẳng qua I có hệ số góc k Suy ra phương trình của
: y k x ( 1) 1
M, N là giao điểm của và (E), từ điều kiện I là trung điểm
MN suy ra 4
9
k , vậy phương trình : 4x9y130
0.25
8.b 1,0 điểm
( ) 2 1 3 2 (1) 0
f x x x f
2 3
x x
0.5
Ta có:
1
( ) (1) '(1) lim
1
x
f x f f
x
3
1
lim
x
x
Vậy
3
1
x
x
Cách khác: Có thể thêm, bớt 1 vào tử số, tách thành hai giới hạn rồi nhân với biểu
thức liên hợp của tử số
0.25
9.b 1,0 điểm
Giả sử số viết được là abcde với a b c d e, , , , 0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 và a0
Trước hết ta đếm các số dạng abcde có 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ phân biệt tính
cả trường hợp a = 0
0.25
Khi đó ta chọn ra 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ phân biệt rồi hoán vị các chữ số đó, ta
Tiếp theo ta xét các số có dạng 0bcde với 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ phân biệt
Khi đó ta chọn ra 2 chữ số chẵn (khác 0) và 2 chữ số lẻ rồi hoán vị vào các vị trí b, c,
d, e Ta có C C42 52.4!
0.25
Từ đó ta có số các số cần tìm là: 3 2 2 2
5 5.5! 4 5.4! 10560
- Hết -