BÀI 4 bất PHƯƠNG TRÌNH bậc NHẤT HAI ẩn

- Nắm được phương pháp biểu diễn nghiệm của bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.. nghiệm vẫn là Một trong hai nửa mặt phẳng đó không kể bờ gồm các điểm có tọa độ là ng

Trang 1

BÀI 4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN MỤC TIÊU

Kiến thức

-Hiểu được khái niệm bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

- Nắm được phương pháp biểu diễn nghiệm của bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Kĩ năng

-Biết xác định miền nghiệm của bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

-Áp dụng giải các bài toán thực tế

I.LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x,y là mệnh đề chứa hai biến có một trong các dạng ,

ax by c

ax by c

ax by c

ax by c

 



  



  

  



trong

đó a,b,c là các số thực với 2 2

0

a b 

Nghiệm của bất phương trình

Cặp số x y0; 0 để ax0by0 c là bất đẳng thức đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình

ax by c

Biểu diễn miền nghiệm

Đường thẳng ax by c d  chia mặt phẳng tọa độ thành hai nửa mặt phẳng bờ là đường hai nửa mặt

phẳng bờ là (d) nghiệm vẫn là Một trong hai nửa mặt phẳng đó (không kể bờ) gồm các điểm có tọa độ là

nghiệm của bất phương trình ax by c

Nửa mặt phẳng còn lại gồm các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình ax by c

Hệ bất phương trình bậc nhất

Miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là giao của các miền nghiệm của các bất phương trình của hệ đó

Bất phương trình nếu là ax by c  thì miền thì miền nghiệm vẫn là mặt phẳng bờ là đường thẳng (d) và đường thẳng (d)

CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

→ Phương pháp giải

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x;y có dạng tổng quát là ax by c  (1)

(hoặcax by c ax by;  c ax by;  c )

trong đó a,b,c là những số thực đã cho; a và b không đồng thời bằng 0,x và y là các ẩn số

BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Cũng như bất phương trình bậc nhất một ẩn, các bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường có vô số nghiệm

và để mô tả tập nghiệm của chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình (1) được gọi là

miền nghiệm của nó

Từ đó ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của bất

phương trình ax by c  như sau (tương tự cho bất phương trình ax by c  )

Bước 1 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đường thẳng : ax by c

Trang 2

Bước 2 Lấy một điểm M0x y0; 0 không thuộc  (ta thường lấy gốc tọa độ O)

Bước 3 Tính ax0by0 và so sánh ax0by0với c

Bước 4 Kết luận

+) Nếu ax0by0c thì nửa mặt phẳng bờ  chứa M là miền nghiệm của 0 ax0by0c,

+) Nếu ax0by0cthì nửa mặt phẳng bờ .không chứa M là miền nghiệm của 0 ax0by0c

Chú ý:

Miền nghiệm của bất phương trìnhax0by0c bỏ đi đường thẳng ax0by0c là miền nghiệm của bất phương trình ax0by0c

Ví dụ: Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình 2 x y 3

Hướng dẫn giải bất

|

Vẽ đường thẳng : 2 x y 3 Lấy gốc tọa độ

 0;0

O ta thấy Ovà có2.0 0 3 nên nửa mặt phẳng bờ  chứa gốc tọa độ O là miền nghiệm của

bất phương trình đã cho (miền không bị tô đậm trong hình)

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Xác định miền nghiệm của các bất phương trình sau:

x y  x y

Hướng dẫn giải

a) Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng d: 2x y 0. Ta có d chia mặt phẳng thành hai nửa mặt

phẳng Chọn một điểm bất kì không thuộc đường thẳng đó, chẳng hạn điểm M 1;0 Ta thấy  1; 0 là

nghiệm của bất phương trình đã cho Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ chứa d và chứa điểm

 1;0

M (miền không được tô màu trên hình vẽ)

b) Ta có

Trang 3

3( 2 ) 2(2 1) 0

x y x y

x y

x y

    

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng A : x4y 2 0 Xét điểm O 0;0 , ta thấy  0;0 không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho, do đó miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ  (không

kể đường thẳng ) và không chứa điểm O 0, 0 (miền không được tô đậm như hình vẽ)

Ví dụ 2 Xác định miền nghiệm của các bất phương trình sau:

2

x y

x y

   

Hướng dẫn giải

a) Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng d x: 3y0. Ta có d chia mặt phẳng thành hai nửa mặt

phẳng Chọn một điểm bất kì không thuộc đường thẳng đó, chẳng hạn điểm N 1;0 Ta thấy  1; 0 là

nghiệm của bất phương trình đã cho Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ chứa d và chứa điểm

 1;0

A (miền không được tô đậm trên hình vẽ)

2

x y

         

3x  y 2 0

Trang 4

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng : 3x  y 2 0 Xét điểm O 0;0 , ta thấy  0, 0 là nghiệm của bất phương trình đã cho, do đó miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ  (không kể đường thẳng ) và chứa điểm O 0, 0 (miền không được tô đậm trên hình vẽ)

Ví dụ 3 Miền nghiệm của bất phương trình 2x x 3y3x2y2y1 là nửa mặt phẳng chứa điểm

A. 1;1 B. 1; 2  C.0; 1   D  3; 1 

Hướng dẫn giải

Ta có 2x x 3y3x2y2y1 2 x  y 2 0.(1)

Thay lần lượt cặp số (x; y) ở các phương án vào bất phương trình (1) ta được

Phương án A. 1,1 , ta có 2 7 2  0 (đúng)

Phương án B.(-1; -2), ta có –2 –14 2 0  (sai)

Phương án C.0; 1 ,  ta có 7 2 0 (sai)

Phương án D. 3; 1 , ta có    6 7 2 0(sai)

Chọn A

Ví dụ 4 Miền nghiệm của bất phương trình 4 2 3 3 x    x  y 3 3 – 4x là nửa mặt phẳng chúa điểm nào trong các điểm sau?

A.1; 1   B.2;1  C.1; 1   D. 4; 2

Hướng dẫn giải

Ta có 4x + 2 – 3(3x + y)<3(3 – 4x)+7x - 3y -7<0 (1)

Thay lần lượt cặp số (x, y) ở các phương án vào bất phương trình (1) ta được

Phương án A.(1 -1) , ta có 7 3 – 7 0  (sai)

Phương án B.(-2; 1), ta có 14 3 7 0    (đúng)

Phương án C.(1 - 1), ta có 7 3 7 0   (sai)

Phương án D.(4; 2), ta có 28 – 6 7 0  (sai)

Chọn B

Ví dụ 5 Trong các cặp số sau đây, cặp nào không thuộc miền nghiệm của bất phương trình

3x4y 8 0?

A.4;1  B.1; 4  C.2;3  D  1;1

Hướng dẫn giải

Thay lần lượt cặp số  x y ở các phương án vào bất phương trình 3; x4y 8 0ta có

Phương án A 4;1 , ta có 12 – 4 8 0  (đúng)

Phương án B 1 4 , ta có –3 –16 8 0  (đúng)

Phương án C 2;3 , ta có 6 –12 8 0  (đúng)

Phương án D. 1,1 , ta có 3 – 4 8 0 (sai)

Chọn D

Bài tập tập tự luyện dạng 1

Câu 1 Trong các cặp số (x;y) sau đây, cặp số nào không là nghiệm của bất phương trình 2 x y 1?

A.2;1  B.3; 7   C. 0;1 D. 0;0

Câu 2 Trong các cặp số (x;y) sau đây, cặp số nào không là nghiệm của bất phương trình x4y 5 0?

A.5;0  B.2;1  C.1; –3  D  0;0

Trang 5

Câu 3 Cặp số 1; 1  là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

A.x  y 3 0 B.x y 0 C.x3y 1 0 D  x 3y 1 0

Câu 4 Cặp số  2;3 là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

A 2x3y 1 0 B.x y 0 C 4x3y D.x3y 7 0

Câu 5 Cặp số (x;y) nào sau đây là nghiệm của bất phương trình 2– (x  y y 3?

A.4; 4   B. 2;1 C. 1; 2  D  4; 4

Câu 6 Bất phương trình 3x2y  x 1 0 tương đương với bất phương trình nào sau đây?

A 5x2y 2 0 B 5 – 2x y 2 0 C 5 – 2x y 1 0 D 4x2y 2 0

Câu 7 Cặp số (x;y) nào sau đây không là nghiệm của bất phương trình5x2y 1 0 ?

Câu 8 Bất phương trình x3 2 y3x20tương đương với bất phương trình nào sau đây?

A 4x3y 3 0 B 4x3y 3 0 C 4x3y 1 0 D 4x3y 3 0

Câu 9 Cho bất phương trình x2y 3 0, 1   Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A Bất phương trình (1) chỉ có một nghiệm duy nhất

B Bất phương trình (1) vô nghiệm

C Bất phương trình (1) luôn có vô số nghiệm

D Bất phương trình (1) có tập nghiệm là

Câu 10 Phần tô đậm trong hình vẽ sau biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào trong các bất

phương trình sau?

A 2x  y 3 B 2x  y 3 C.x2y 3 D 2x  y 3

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

Câu 9 Chọn C

Trên mặt phẳng tọa độ, đường thẳng d x: 2y 3 0 chia nửa mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng Chọn điểm (0; 0)O không thuộc đường thẳng d Ta thấy ( ;x y 0;0 là nghiệm của bất phương trình đã

cho Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d chứa điểm (0; 0) O kể cả d

Vậy bất phương trình (1) luôn có vô số nghiệm

Trang 6

Câu 10 Chọn B

Từ đồ thị ta thấy, phương trình đường thẳng là 2x  y 3

Vẽ đường thẳng d: 2x  y 3 Chọn điểm O 0, 0 và thay cặp  0;0 vào bất phương trình 2x  y 3,

ta có 0 3 sai, do đó phần tô đậm là miền nghiệm của bất phương trình 2x  y 3

Dạng 2 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

→ Phương pháp giải

Tương tự hệ bất phương trình một ẩn, ta có hệ bất phương bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Trong mặt phẳng tọa độ, ta gọi tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn mọi bất phương trình trong hệ là miền nghiệm của hệ Vậy miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong

hệ

Để xác định miền nghiệm của hệ, ta dùng phương pháp biểu diễn hình học như sau:

- Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ (tô màu) miền còn lại

- Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phẳng tọa

độ, miền còn lại không bị gạch (tô đậm) chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho

Ví dụ: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình sau 2 0

3 3 0

x y

x y

  



   

Hướng dẫn giải

Vẽ các đường thẳng :d x  y 2 0, ' :d x3y 3 0 trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Xét điểm O 0;0 , ta thấy  0, 0 không phải là nghiệm của bất phương trình x  y 2 0 và

x y  do đó miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô đậm trên hình vẽ kể cả hại

đường d và d'

→Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho hệ bất phương trình 2 4 0

10 0

x y

x y

  



   

 Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của

hệ bất phương trình?

Hướng dẫn giải

Thay lần lượt cặp số (x;y) trong các phương án vào hệ bất phương trình ta có

Trang 7

Phương án A. M 1;1 ,ta có 2 1 4 0

1 1 10 0

  



   

Phương án B N 2; 1 , ta có 4 1 4 0

2 1 10 0

   



   

Phương án C P4;3 , ta có : 8 3 4 0

4 3 10 0

   



   

Phương án D Q4; 3  ta có 8 3 4 0

4 3 10 0

  



   

Chọn D

Ví dụ 2 Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình sau:

0

x y

x y

x y

 



   



   



Hướng dẫn giải

Vẽ các đường thẳng :d x y 0, ' : 2d x3y 6 0 và ":d x2y 1 0 trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Xét điểm O 0;0 , ta có  0;0 là nghiệm của bất phương trình 2x3y 6 0vàx2y 1 0 Do đó

 0;0

O thuộc miền nghiệm của các bất phương trình 2x3y 6 0 và x2y 1 0 Xét điểm M 1;0

là nghiệm của bất phương trình x y 0 do đó điểm M 1;0 thuộc miền nghiệm của bất phương trìnhx y 0 Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô đậm trên hình vẽ kể cả đường thẳng ".d

Ví dụ 3 Xác định miền nghiệm của bất phương trình  3 3

(xy) x y 0

Hướng dẫn giải

(xy) x y  0 (xy x)( y) x xyy  0 (xy x)( y)0

 

0

0

x y

x y x y

x y

 



0

x y

x y

 



  

Như vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là gồm hai miền nghiệm của hệ bất phương trình (1) và (2)

Vẽ các đường thẳng :d x y 0 và d x:  y 0 trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Xét điểm M 1;0 ,ta có  1; 0 là nghiệm của các bất phương trình của hệ (1) do đó M 1;0 thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình (1) Xét điểm N1;0 , ta có 1; 0 là nghiệm của các bất phương trình của hệ (2) do đó N1;0 thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình (2) Vậy miền nghiệm cần

tìm là phần mặt phẳng không được tô đậm trên hình vẽ kể cả hai đường thẳng d và ' d

Trang 8

Ví dụ 4 Miền nghiệm của hệ bất phương trình

4

4

x y

x y

y

 



  



  



 



chứa điểm nào trong các điểm sau đây?

A.O 0;0 B.M 1; 2 C.N 2;1 D.P 8; 4

Hướng dẫn giải

Thay lần lượt cặp số (x,y) trong các phương án vào hệ bất phương trình ta có

Phương án A O 0;0 , ta có

0 6

0 6

0 4





  



 



 



(sai)

Phương án B M 1; 2 , ta có

2 2 6

1 2 4

4 6 1

2 4

 



  



  



 



(sai)

Phương án C N 2;1 , ta có

4 1 6

2 1 4

2 6 2

1 4

 



  



  



 



(sai)

Phương án D P 8; 4 , ta có

16 4 6

8 4 4

8 6 4

4 4

 



  



  



 



(đúng)

Chọn D

Ví dụ 5 Giá trị lớn nhất Fmax này của biểu thức F x y , 2xy trên miền xác định bởi hệ

0

1 0

x y

x y

y

  



  



  



là

A.Fmax 8 B.Fmax 3 C.Fmax 9 D Fmax 2

Hướng dẫn giải

Trang 9

Trong mặt phẳng Oxy ta vẽ các đường thẳng có phương trình: 2 x  y 9 0;x y 0;y 1 0

Khi đó miền nghiệm của hệ là miền tam giác ABC kể cả biên, được tô đậm, với

     3;3 , 4;1 , 1;1

Ta có F 3;3 9;F 4;1 9; F 1;1 3

Vậy giá trị lớn nhất là Fmax 9 khi x4;y1hoặcx3;y3

Chọn C

Bài tập tập tự luyện dạng 2

Câu 1 Miền nghiệm của hệ bất phương trình 2 1 0

3

x y

x y

  



   

 không chứa điểm nào sau đây?

Câu 2 Miền nghiệm của hệ bất phương trình

3

6

x y

x y

y

 



  



  



 



chứa điểm nào trong các điểm sau đây?

A.O 0;0 B.M 1; 2 C.N 2;1 D P 8; 4

Câu 3 Điểm M0; 3 thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?

x y

 



   

x y

 



   

x y

  



   

x y

  



   

Câu 4 Cho hệ bất phương trình  

 

x y

x y

 



  

Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình 1  1 , S là tập nghiệm của bất phương trình (2) và S là tập 2 nghiệm của hệ thì

A.S1S2 B.S2S1 C.S2 S D.S1S

Câu 5 Phần tô đậm trong hình vẽ sau biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào trong các bất

phương trình sau?

Trang 10

A 2x y 3 B 2x y 3 C.x2y3 D x2y3.

Câu 6 Miền nghiệm của hệ bất phương trình

1 0 2

x y y

x y

  



 



  



là phần không tô đậm của hình vẽ nào trong

các hình vẽ sau?

Câu 7 Phần không tô đậm trong hình vẽ dưới đây (không chứa biên) biểu diễn tập nghiệm của hệ bất

phương trình nào trong các hệ bất phương trình sau?

x y

x y

 



   

x y

x y

 



   

x y

x y

 



   

x y

x y

 



   

Trang 11

Câu 8 Giá trị lớn nhất của biểu thức F x y ;  x 2y với điều kiện

0

1 0

2 10 0

y x

x y

x y

 



 



   



   



là

Câu 9 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F x y ;  x 2y với điều kiện

0

2 0

2 0

y x

x y

x y

 



 



   



   



là

Câu 10 Biểu thức L y x , với x và y thỏa mãn hệ bất phương trình

x y x

x y

  



 



   



đạt giá trị lớn nhất

là a và đạt giá trị nhỏ nhất là b Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau

8

a b  B. 2; 11

2

a b  C.a3;b0 D. 3; 9

8

a b 

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Chọn A

Trước hết ta vẽ đồ thị của hai hàm số 1 và 3

x

y  x

Ta thấy 2;0 là nghiệm của hai bất phương trình Điều đó có nghĩa điểm 2;0thuộc cả hai miền nghiệm của hai bất phương trình Sau khi tô đậm phần không thích hợp, phần không tô màu là miền nghiệm của hệ

Quan sát ta thấy trong các điểm đã cho, chỉ có điểm A1;1 không nằm trong miền nghiệm của hệ

Câu 2 Chọn D

Thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình

- Với O 0;0 , ta có

0 9

0 8

0 6





  



 



 



Bất phương trình thứ nhất và thứ ba sai nên A sai