BÀI 3 PTVÀ hệ PT bậc NHẤT NHIỀU ẩn

PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN MỤC TIÊU: Kiến thức - Nắm được khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn và ý nghĩa hình học của c

Trang 1

BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

BẬC NHẤT NHIỀU ẨN MỤC TIÊU:

Kiến thức

- Nắm được khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn và ý nghĩa hình học của chúng

- Nắm được phương pháp cộng đại số, phương pháp thế và phương pháp đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình

- Nắm được công thức tính định thức cấp hai để giải hệ phương trình

Kĩ năng

- Biết cách giải phương trình bậc nhất hai ẩn và áp dụng một cách linh hoạt các phương pháp thế để giải

hệ phương trình

- Tính thành thạo định thức cấp hai để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

- Biết cách giải và biện luận hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có chứa tham số

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn ( x và y ) có dạng: ax by c (1) trong đó a, b, c là các số đã cho, với

0

ab Nếu có cặp số x y sao cho 0; 0 ax0by0c thì x y0; 0được gọi là một nghiệm của phương trình (1)

Phương trình (1) luôn có vô số nghiệm Tập nghiệm của phương trình biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là đường thẳng ax by c

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dang tổng quát là: 1 1

1

a x b y c

a x b y c

 



  

Phương pháp giải:

Phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số

Khi a = b = 0 ta có phương trình 0x0yc. Nếu c0 thì phương trình vô nghiệm; nếu c = 0 thì phương trình vô số nghiệm

Khi b0 phương trình ax by c trở thành y a x c 2

Cặp số x y là một nghiệm của phương trình (1) khi và chỉ khi điểm 0; 0 M x y 0; 0 thuộc đường thắng (2) Ta có thể sử dụng định thức cấp hai để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

;

;

x

y

a b

a b

c b

c b

a c

a c

Nếu D0 thì hệ có nghiệm duy nhất là

x

y

D

x

D

D

y

D

 





 



Trang 2

Nếu D0;D x 0;D y 0, hệ có vô số nghiệm

Nếu D0;D x 0 hoặc D y 0, hệ vô nghiệm

Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn

Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là:

a x b y c z d

a x b y c z d

a x b y c z d

  



   



   



Phương pháp giải:

Dùng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế để khử dần ẩn số đưa về giải hệ phương trình dạng tam giác

Ví dụ:

2 3 4 1

3 2

2 4

x y z

y z z

  



  





là hệ phương trình dạng tam giác

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1 Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp giải

Phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô số nghiệm

Bước 1 Xác định hai nghiệm của phương trình

Trang 3

Bước 2 Biểu diễn hai nghiệm trên hệ trục tọa độ để vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương

trình

Ví dụ: Biểu diễn tập nghiệm của phương trình 3x2y6 trên trục số

Hướng dẫn giải

Tập nghiệm của phương trình 3x2y6là đường thẳng

Vì hai cặp số ( ; )x y (0; 3) và ( ; ) x y (2; 0) là nghiệm của phương trình nên tập nghiệm là đường thẳng

đi qua hai điểm 0; 3  và (2;0)

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cặp số nào sau đây không là nghiệm của phương trình x2y 3 0?

A 2t 3; t B 4 ; 2 3

2

t t

   

 

C t t; 3  D  4t 3; 2 t

Hướng dẫn giải

Thay lần lượt từng cặp số vào phương trình ban đầu, ta có

Đáp án A 2t     3 2( t) 3 0 0t0 đúng với mọi t

Đáp án B 4 2 2 3 3 0 0 0

2

t  t    t

  đúng với mọi t

Đáp án C t2(t        3) 3 0 3t 9 0 t 3 (không đúng với mọi t)

Đáp án D   4t 3 2(2 ) 3t   0 0t0 đúng với mọi t

Do đó các cặp số ở đáp án A, B, D là nghiệm của phương trình và cặp số ở đáp án C không là nghiệm của

phương trình

Chọn C

Ví dụ 2 Tập hợp các nghiệm của hệ phương trình 5

3 3 15

x y

x y

 



  

 là tập hợp nào sau đây?

Hướng dẫn giải

3 3 15

x y

x y

x y

 



  

  

Tập hợp các nghiệm của hệ là một đường thẳng

Chọn B

Bài tập tự luyện dạng 1

Trang 4

Câu 1 Cho các hình sau

Trong các hình trên, hình nào biểu diễn tập nghiệm của phương trình x  y 3 0?

A Hình 3 B Hình 1 C Hình 2 D Hình 4

Câu 2 Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào?

A x2y4 B x2y 4 C  x 2y4 D x2y4

Câu 3 Cặp số (x;y) nào sau đây không là nghiệm của phương trình x y 3?

A ( ;t t3) B t3; t C 2t1; 2t2  D t  5; t 2 

Câu 4 Cặp số (x;y) nào sau đây không phải là nghiệm của phương trình x3y 4?

A 3x0 4; x0 B 3x02;x02  C 6x04; 2x0 D 2 3 ;1 x0 x0

Câu 5 Tập hợp các nghiệm (x;y) của hệ phương trình 2 3 4

6 9 12

x y

x y

 



   

 là tập hợp nào sau đây?

A Một đường thẳng B Toàn bộ mặt phẳng Oxy

Câu 6 Tập hợp các nghiệm (x; y) của hệ phương trình 3 4

x y

x y

 



   

 , là tập hợp nào sau đây?

Trang 5

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

1-C 2-B 3-D 4-D 5-A 6-A

Câu 5 Chọn A

Ta có 2 3 4 2 3 4

6 9 12

x y

x y

x y

 



  

   

 Suy ra tập nghiệm của hệ là một đường thẳng

Câu 6 Chọn A

Ta có 3 4

2 6

x y

x y

 



  

Nghiệm của hệ phương trình là giao điểm của hai đường thẳng Dễ thấy hai đường thẳng cắt nhau nên tập nghiệm của hệ là một điểm

Dạng 2 Giải và biện luận hệ phương trình

Bài toán 1 Giải và biện luận hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp giải

- Phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số

- Sử dụng định thức cấp hai:

;

;

x

y

a b

a b

c b

c b

a c

a c

• Nếu D0 thì hệ có nghiệm duy nhất là

x

y

D

x

D

D

y

D

 





 



• Nếu D0;D x 0;D y 0 hệ có vô số nghiệm

• Nếu D0;D x 0 hoặc D y 0, hệ vô nghiệm

Ví dụ: Giải hệ phương trình  

 

2 1 1

3 2 2 2

x y

  





 

Hướng dẫn giải

Từ (1) ta có y 1 2 x

Thay vào (2) ta có 3x 2(1 2 )x 2

2 2 3 2 2

     

Vậy hệ phương trình có nghiệm là:

( ; )x y  (2 2;3 2 2).

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Hệ phương trình 2 1

3 6 3

x y

x y

 



  

 có bao nhiêu nghiệm?

Hướng dẫn giải

Trang 6

Ta có 1 2 1

3 6 3 nên hệ phương trình có vô số nghiệm

Chọn C

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình:

6 5

3

9 10

1

x y

x y

  





  



Hướng dẫn giải

Điều kiện: x0;y0

Đặt ẩn phụ: u 1,v 1

 

Hệ phương trình trở thành

1

5

u

v

        

        







Vậy hệ phương trình có nghiệm là    x y;  3;5

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình | 1| 0

x y

  



  

Hướng dẫn giải

Từ phương trình thứ hai, ta có y2x5

Thay vào phương trình thứ nhất, ta được:

5 2 0

1 5 2

x

 





            



    



Vậy nghiệm của hệ phương trình là   x y;  2; 1  

Bài toán 2 Giải và biện luận hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn

Phương pháp giải

Bằng phương pháp cộng đại số và phương pháp thế, khử bớt ẩn số để đưa về hệ phương trình tam giác

Ví dụ: Giải hệ phương trình

3

x y z

x y z

x y z

  



    



    



Hướng dẫn giải

Cộng hai vế phương trình thứ nhất và thứ hai ta được:

       

     

         





3 3 3 9

x y z

x z

x y z

  





  

    



Cộng hai vế phương trình thứ nhất và thứ ba ta được:

Trang 7

       

     





     

     

   



Vậy nghiệm của hệ là 1;3; 1  

Ví dụ mẫu

Ví dụ Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ

 

 

 

1 1

1 2

1 3

mx y

my z

x mz

  

  



  



có nghiệm duy nhất?

A m1 B m1. C m 1. D m 1

Hướng dẫn giải

Từ (2) suy ra z 1 my Thay vào (3) ta có: 2 1

1

mx y

 



   

Hệ có nghiệm duy nhất khi 12 1

1

m

m m

   

Chọn đáp án D

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1 Hệ phương trình 2 3 5

4 6 10

x y

x y

 



  

 có bao nhiêu nghiệm?

Câu 2 Nghiệm của hệ phương trình 2 1

x y

  





 

 là

A ( 2 2;2 2 3).  B ( 2 2, 2 2 3). 

C (2 2;3 2 2). D (2 2;2 2 3).

Câu 3 Nghiệm của hệ phương trình ( 2 1) 2 1

2 ( 2 1) 2 2

x y

    





  

A 1; 1

2

  

 

  B

1 1; 2

 

 

  C (1;2) D (1; 2).

Câu 4 Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng  d1 :x2y1 và  d2 : 2x3y 5 là

A 13;7  B 13; 7   C 13;7  D 13; 7  

Câu 5 Hệ phương trình

7 2 5 2

x y xy

x y xy

   





  



có nghiệm là

A ( ; ) {(3; 2); ( 2;1)}.x y   B ( , ) {(0;1); (1; 0)}.x y 

C ( ; ) {(0; 2);(2;0)}.x y  D ( , ) 2;1 ; 1; 2

2 2

x y     

   

 

Trang 8

Câu 6 Hệ phương trình 2 1 1

x y

y x

   





  

 có bao nhiêu cặp nghiệm (x;y)?

Câu 7 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ phương trình 1

( 2)

mx y

 



   

 vô số nghiệm

A m 2 B m2 C m1 D m 1

Câu 8 Tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình 3 1

x my

mx y m

 



   

 có đúng một nghiệm

A m3 hoặc m 3 B m3 và

C m3 D m3 và m 3

Câu 9 Cho hệ phương trình ( 4) 2

( ) 1

  



   

Tìm tất cả các giá trị thực của m để hệ phương trình vô nghiệm?

A m0 B m1 hay m2

C 1 hay 1

2

2

m  m

Câu 10 Cho hai đường thẳng d x1: (m2y3; d2:mx y m d 1 cắt d 2 khi nào?

A m 1 B.m0 C m 1 D m1

Câu 11 Biết rằng hệ phương trình 3 2

x ay

x y b

 



   

 có vô số nghiệm Tính giá trị của biểu thức

2 3

T a b

A T7 B T10 C T 10 D T  7.

Câu 12 Cho hệ phương trình 3

2 1

mx y

x my m

 



   

Các giá trị thích hợp của tham số m để hệ phương trình có nghiệm nguyên là

A m0, m 2 B m1, m  2, m3

C m0,m2 D m1,m 3,m 4

Câu 13 Cho hệ phương trình ( 2) 5

2 3

x my m

  



   

Để hệ phương trình có nghiệm âm, giá trị cần tìm của tham số m là

A 5 1

2 m

2

m

 

C 5 hay 2

2

m  m  D 2 hay 5

2

m m

Câu 14 Nghiệm của hệ phương trình

4 3 2 15

x y z

x y z

  



   



    



là

A 10;7;9  B (5; –7;8) C 10; –7;9  D   5; 7; 8 

Câu 15 Bộ số x y z, ,   1;0;1 là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây?

Trang 9

A

2 3 6 10 0

4 17

x y z

x y z

y z

   



    



   



2 0

x y z

x y z

x y z

   



   



   



C

2 2

x y z

x y z

x y z

  



   



    



4

x y z

x y z

x y z

   



   



   



Câu 16 Hệ phương trình

2 1

2 2

2 3

x y

y z

z x

 



  



  



có nghiệm là x y z thì giá trị của biểu thức 0; 0; 0

F x  y z là

Câu 17 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ

3 1 0

2 3 1 ( 1) 2 2 1

x y

x y z

  



   



    



có đúng một nghiệm

A m1 B m 1 C m 3 D m3

Câu 18 Nghiệm x y z của hệ phương trình , , 

9

1 1 1

1

27

x y z

x y z

xy yz zx

   



   





   



là

A 1;1;1  B (1;2;1) C (2:2,1) D (3;3;3)

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

1-D 2-C 3-D 4-C 5-D 6-B 7-D 8-D 9-A 10-C

11-D 12-A 13-A 14-D 15-C 16-B 17-C 18-D

Câu 5 Chọn D

Ta có :

7 2 , 5

2

S P

S P SP

  

 



 



là nghiệm của phương trình 2 7 5 0 1; 5

X      

Khi 1; 5

2

S  P (loại)

Khi 5; 1

2

S  P thì ,x y là nghiệm của phương trình 2 5 1 0 2; 1

X  X    X  X 

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; ) 2;1 ; 1; 2

2 2

x y     

   

 

Câu 6 Chọn B

Điều kiện: ,x y1

Trang 10

y x

          



  

  

1

x y

    

  

Khi xy thì

1 (1 2 ) 4 5 2 0

        

       



(vô nghiệm)

Khi 1 1 1

2

y  x  thì2 2 1 2 3

x y    x y (vô nghiệm vì ,x y1)

Vậy hệ phương trình vô nghiệm

Câu 7 Chọn D

1

2 1 2 2

y mx

             





Hệ có vô số nghiệm khi

2

2 1 0

1

2 2 0

m m

   

  



 

Câu 9 Chọn A

1

3 3

y

mx m

 



       

        





Hệ vô nghiệm khi

0

0

2 1

0

3 3

m

m m





  

Câu 10 Chọn C

Hai đường thẳng d1:xm2y3; d2:mx y m

1

d cắt d khi hệ 2 x (m 2)y 3

mx y m

  



  

 có nghiệm duy nhất, nghĩa là

hay 1

1

m

m m



Câu 11 Chọn D

Hệ phương trình 3 2 6 2 4 (2 3) 10 3

         

          



Để hệ vô số nghiệm thì

3

10

10 3 0

3

a a

b

b

 



 



   



Vậy T3 –10 7

Câu 12 Chọn A

1, x 1, y 2 3

Dm  D  m D  m  m

Vớim1, , hệ phương trình có nghiệm 1 2 1

y



Hệ phương trình có nghiệm nguyên khi m0;m 2

Trang 11

Câu 13 Chọn A

Ta có Dm2 m 2,D x  2m22m6,D y 2m23m5

Hệ phương trình có nghiệm khi D   0 m 1;m2

Hệ có nghiệm

   

Hệ phương trình có nghiệm âm khi

2 2

2 0

2 3 5 0

   



   



1

5 2

1

2 5

1 2

m m

m m

  



      



  



Câu 18 Chọn D

Ta có 1 1 1

1 xy yz zx xyz xyz 27

x   y z     

, ,

x y z

 là nghiệm của phương trình X39X227X27 0 X 3

Vậy hệ phương trình có nghiệm x y z, ,   3;3;3 

Dạng 3 Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Phương pháp giải

Bước 1 Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

Bước 2 Thiết lập hệ phương trình thể hiện mối quan hệ giữa các ẩn

Bước 3 Giải hệ phương trình

Bước 4 So sánh nghiệm với điều kiện của ẩn và kết luận bài toán

Ví dụ 1 Hai vật chuyển động trên một đường tròn có đường kính 20m, xuất phát cùng một lúc từ cùng

một điểm Nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây lại gặp nhau Nếu chúng chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây lại gặp nhau Tính vận tốc của mỗi vật

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc của vật I là x m s và vận tốc của vật II là  /  y m s /  x y, 0; yx

Sau 20s hai vật chuyển động được quãng đường là 20 , 20 ( )x y m

Vì nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây lại gặp nhau do đó ta có phương trình

20x20y20 Sau 4 s hai vật chuyển động được quãng đường là 4 , 4 x y m  

Vì nếu chúng chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây lại gặp nhau do đó ta có phương trình

4x4y20 

Từ hai phương trình trên ta có hệ phương trình:

20 20 20

4 4 20

x y





 



  

Giải hệ phương trình ta được 3

2

x y









 

 thỏa mãn

Vậy vận tốc của hai vật là 3 (m / s) và 2 (m / s). 

Ví dụ mẫu

Ví dụ Trong một kỳ thi, hai trường A và B có tổng cộng 350 học sinh dự thi Kết quả là hai trường có

tổng cộng 338 học sinh trúng tuyển Tính ra thì trường A có 97% và trường B có 96% học sinh dự thi trúng tuyển Số học sinh dự thi của trường A và B lần lượt là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Trang 12

Gọi số thí sinh tham dự của trường A và trường B lần lượt là

Theo đề ra, ta có hệ phương trình

350

200

97 96

150 338

100 100

x y

x y

 

    

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy số học sinh dự thi của trường A là 200, trường B là 150 học sinh

Bài tập tự luyện dạng 3

Câu 1 Nhà trường phát thưởng cho học sinh khá, học sinh giỏi của hai lớp 10A và 10B Lớp 10A có 3

học sinh giỏi và 8 học sinh khá, lớp 10B có 4 học sinh giỏi và 5 học sinh khá Số vở phát thưởng cho hai lớp 10A10B lần lượt là 125 quyển và 110 quyển Hỏi mỗi học sinh khá và mỗi học sinh giỏi được thưởng bao nhiêu quyển vở? (Biết rằng phần thưởng cho mỗi học sinh khá ở hai lớp là như nhau và học sinh giỏi cũng thế)

A Học sinh giỏi 15 quyển, học sinh khá 10 quyển

B Học sinh giỏi 18 quyển, học sinh khá 12 quyển

C Học sinh giỏi 17 quyển, học sinh khá 11 quyển

D Học sinh giỏi 15 quyển, học sinh khá 8 quyển

Câu 2 Hiện tại tuổi mẹ của Nam gấp 3 lần tuổi của Nam, 5 năm trước tuổi mẹ Nam gấp 4 lần tuổi Nam

Hỏi mẹ Nam sinh Nam lúc bao nhiêu tuổi?

A 30 tuổi B 25 tuổi C 35 tuổi D 28 tuổi

Câu 3 Tìm vận tốc và chiều dài của 1 đoàn tàu hoả biết đoàn tàu ấy chạy ngang qua văn phòng ga từ đầu

máy đến hết toa cuối cùng mất 7 giây Cho biết sân ga dài 378m và thời gian kể từ khi đầu máy bắt đầu vào sân ga cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga là 25 giây

A Vận tốc của tàu là 21 m/s và chiều dài đoàn tàu là 147m

B Vận tốc của tàu là 23 m/s và chiều dài đoàn tàu là 145 m

C Vận tốc của tàu là 21 m/s và chiều dài đoàn tàu là 145 m

D Vận tốc của tàu là 23 m/s và chiều dài đoàn tàu là 147m

Câu 4 Một dung dịch chứa 30% axit nitơric (tính theo thể tích) và một dung dịch khác chưa 55% axit

nitơric Cần phải trộn thêm bao nhiêu lít dung dịch loại 1 và loại 2 để được 100 lít dung dịch 50% axit nitơric?

A 80 lít dung dịch loại 1 và 20 lít dung dịch loại 2

B, 20 lít dung dịch loại 1 và 80 lít dung dịch loại 2

C 30 lít dung dịch loại 1 và 70 lít dung dịch loại 2

D 70 lít dung dịch loại 1 và 30 lít dung dịch loại 2

Câu 5 Có hai loại quặng sắt: quặng loại A chứa 60% sắt, quặng loại B chứa 50% sắt Người ta trộn một

lượng quặng loại A với một lượng quặng loại B thì được hỗn hợp chứa , sắt Nếu lấy tăng hơn lúc đầu là

10 tấn quặng loại A và lấy giảm hơn lúc đầu là 10 tấn quặng loại B thì được hỗn hợp quặng chứa sắt Khối lượng (tấn) quặng A và quặng B ban đầu lần lượt là

A 10; 15 B 10; 20 C 10; 14 D 10; 12

Câu 6 Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không chứa nước thì C sau 2 giờ 15 phút đầy bể Nếu để chảy

một mình thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ Thời gian vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy một mình đầy bể lần lượt là

A 4 giờ 30 phút và 6 giờ 30 phút

B 4 giờ và 6 giờ

C 5 giờ 30 phút và 7 giờ 30 phút

D 5 giờ và 7 giờ