Tìm a để đồ thị của hàm số trên cắt trục tung tại điểm A, cắt trục hoành tại điểm B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 2.. Từ một điểm A nằm ngoài đờng tròn, kẻ các tiếp tuyến AB và
Trang 1ubnd huyện nam sách
phòng giáo dục và đào tạo kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyệnmôn thi: Toán lớp 9
Thời gian làm bài 120 phút (không tính thời gian phát đề)
Ngày thi 11 tháng 01 năm 2011
-Câu 1 (2,5 điểm):
a/ Tính giá trị của biểu thức: P = 14 6 5+ + 14 6 5−
c/ Cho x= +3 2 ; y= −3 2 Không dùng bảng số và máy tính, hãy tính giá trị của biểu thức A = x5 + y5
Câu 2 (2 điểm):
a/ Giải phơng trình: 2x− x+ =1 4
b/ Tìm m để hệ phơng trình 4 10
4
x my
+ = −
+ =
có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho x > 0; y > 0.
Câu 3 (1 điểm):
Cho hàm số y = (a – 1)x + a với a ≠ 1
Tìm a để đồ thị của hàm số trên cắt trục tung tại điểm A, cắt trục hoành tại điểm
B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 2.
Câu 4 (3 điểm):
Cho đờng tròn (O; R) Từ một điểm A nằm ngoài đờng tròn, kẻ các tiếp tuyến AB
và AC vuông góc với nhau (B và C là các tiếp điểm) M là một điểm trên cung nhỏ BC, tiếp tuyến tại M cắt AB và AC lần lợt tại E và F
a/ Tính số đo góc EOF ?
b/ Biết EF = 5
6R, tính diện tích tam giác OEF và diện tích tam giác AEF.
c/ Tìm vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC sao cho EF có độ dài nhỏ nhất.
Câu 5 (1,5 điểm):
a/ Cho a; b; c là các số nguyên, biết rằng a + b + c chia hết cho 6
Chứng minh a3 + b3 + c3 chia hết cho 6.
b/ Chứng minh x2+ +4 x2+2x+ ≥10 26
-Hết -Họ và tên: SBD
Chữ kí GT 1:
Đề thi chính thức
Trang 2Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2010-2011
môn: toán 9; ngày thi 11/1/2011
Câu 1
(2,5 đ)
14 6 5+ + 14 6 5− = 3+ 5 + 3− 5
3+ 5 + −3 5 = +3 5 3+ − 5 6=
0,5 0,5 b/
2 9 ( 3)( 3) (2 1)( 2)
( 2)( 3)
=
2 ( 2)( 3)
x x
− −
=
3
1 )
3 )(
2 (
) 2 )(
1 (
−
+
=
−
−
− +
=
x
x x
x
x x
0,25 0,25
0,25 0,25
c/ Tính đợc x + y = 6 và xy = 7
Tính đợc x2 + y2= 22
Và x3 + y3 = 90
Tính đợc x5 + y5 = (x2 + y2)(x3 + y3) – x2y2(x + y) = 1686
HS có thể làm cách khác, GV xác định biểu điểm cho phù hợp, chi tiết đến
0,25 đ
0,25 0,25
Câu 2
(2 đ)
a/ Đa đợc về dạng x+ =1 2x−4
ĐK có nghiệm x ≥ 2
Biến đổi về PT (x – 3)(4x – 5) = 0
4 (loại)
HS có thể làm cách khác, GV xác định biểu điểm cho phù hợp, chi tiết đến
0,25 đ
0,25 0,25 0,25 0,25
b/
Từ pt (2) ta có x= 4- my Thay vào (1) => m (4-my) + 4y = 10- m
=> 4m – m2y + 4y = 10- m <=> (4-m2)y = 10-5m
<=> (2-m)(2+m)y =5(2-m) (*)
Để hệ pt có nghiệm duy nhất thì pt (*) có nghiệm duy nhất
=> (2- m)(2+m) ≠0 => m ≠ ±2
=> y = 5
2 m+ ; x=
8 2
m m
− +
Giải điều kiện y > 0 tìm đợc m > -2
Với m > -2 và x > 0 tìm đợc m < 8
Kết luận -2 < m < 8 và m ≠ 2
HS có thể làm cách khác, GV xác định biểu điểm cho phù hợp, chi tiết đến
0,25 đ
0,25
0,25 0,25 0,25
Câu 3
(1 đ) a/ Tìm đợc OA = a; OB = 1−a a ;
diện tích của tam giác OAB có diện tích bằng 2 =>a
1
a a
− = 4
0,25
0,25
Trang 3Đa đợcvề PT : a2 = 4(1 – a)±
Tìm đợc a = 2
và a=2 2 2;− a= −2 2 2−
0,25 0,25
Câu 4
(3 đ)
a/
2
MOE= MOB; ã 1ã
2
MOF= MOC
2
EOF = BOC
Chứng minh đợc BOCã =900 => ãEOF =450
b/
12
R
Chứng minh SOEF = 1
2SOBEFC
=> SOBEFC = 5 2
6R
Ta có SABOC = R2
=> SOEF = 1 2
6R
c/ Đặt AE = x vàAF = y Suy ra EF= x2+y2
Chu vi tam giác AEF = 2a
2 2
2
x y+ + x +y = a
2 2
2 x +y ≥ +x y
2a x y= + + x +y ≤ x +y 1+ 2 =EF 1+ 2
1 2
a
cung BC
0,5 0,25 0,25
0,75 0,25
0,25
0,25
0,25 0,25
Câu 5
(1,5 đ)
a/ Ta có: (a3 + b3 + c3 ) – (a + b + c )
= a(a-1)(a+1) + b(b-1)(b+1) + c(c-1)(c+1)
Tích của 3 STN liên tiếp chia hết cho 2 và 3 nên chia hết cho 6
Từ đó suy ra a3 + b3 + c3 chia hết cho 6
0,25 0,25 0,25 b/Chứng minh đợc a2+b2 + c2+d2 ≥ (a c+ )2+ +(b d)2
Từ đó suy ra x2+ +4 x2+2x+ =10 x2+22 + − −( x 1)2+32 ≥ 26
0,25 0,25 0,25
O
M
A C
B
E
F
Trang 4DÊu = x¶y ra khi x = 5
2
−