[r]
Trang 1GIẢI TÍCH 12 NGUYÊN HÀM
15.1: Chứng minh rằng hàm số F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) ,với :
a) F(x) = ln x x2 1 C; f(x) = ,( )
1
1
b) F(x) = ln
2
x
tg C ; f(x) = , ( , )
sin
c) F(x) = ln
2 4
x
tg C
2 ( ,
d) F(x) =1
2
15.2: Chứng tỏ rằng hàm số F(x) = x ln(1 x ) là một nguyên hàm trên R của
hàm số: f(x) =
1
x x
15.3
: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) ,sao cho F(x) thoả một điều kiện cho trước:
a) f(x) = sinx.cos2x.sin3x , biết F ( /6) = 0
b) f(x) = cos5x , biết F(0) = 1
c) f(x) = sin6x + cos6x , biết F(/12) =
d) f(x) = (tgx – cotgx)2 , biết F(/4) = 5
e) f (x) = sin2x.esin x2 , biết F(0) = 0
15.4: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :
a)
2 3
5 ( ) 2
x
; b)
(3 2) ( )
4
x
f x
x
)2 d) f (x) = 2x3x4x
; e) f (x) = 2x.22x.23x ; f) f(x) = (3x – 22 x)2
15.5: Tìm nguyên hàm của các hàm số :
a) f (x) = (2x3+x2+1)4 (3x2+x) ; b) f (x) = (4x+6)5 ( x2 3 x 4)3 ;
c) f (x) = 2 1
x
; d) f (x) =
2
h) f (x) = tg3x+tg5x; k) f(x) = cos3xcos3x ; l) f(x) = cos2x.cos2x
15.6: Tìm một nguyên hàm của hàm số sau:
a) f(x) = cos3x + cos3x ; b) f(x) = cos4xtg3x ; c) f(x) = sin4xsin32x;
d) f(x) = 5/(1 - cos6x) ; e) f(x) = 16sin3x - 12x ; f) f(x) = sin4x + cos4x
g) f(x) = sin4(x/2) ; h) f(x) = tg5x k) f(x) = sin6x + cos6x
15.7: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số :
a)f(x) = 2 2
1
x
x x ; b) g(x) = cosxcos2xsin4x ; c) f(x) = cos3x.sin8x
15.8: Tìm nguyên hàm của các hàm số :
a) f(x) =
sin(x-4
)(2+sin2x) ; b) f(x) = 1
x x ;c) f(x) = ln( )
3 ln
ex
15.9: a) Xác định các hằng số A,B sao cho : 3 13 3 2
( 1) ( 1) ( 1)
b) Dựa vào kết quả trên ,tìm nguyên hàm của f (x) = (3x + 1)/(x + 1)3
15.10: a) Tìm các hằng số A,B,C để: f(x) =
2 3
3 3 3
3 2
x x
x x
b) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)
15.11: Chứng minh rằng hàm số : f (x) = sin cos
sin cos
(với c2+ d2 0) có họ nguyên hàm dạng : F (x) = Ax + Blnc sin x d cos x + C
15.12: Tìm nguyên hàm của hàm số : f (x) = 21 2
( x a ) ( x b ) (a,b,hằng số)
15.13: Định a,b,c để hàm số F (x) là một nguyên hàm của f (x) :
a)F (x) = (ax2+bx+c) x2 4 x ; f (x) = (x-2) x2 4 x b) F (x) = (ax2+bx+c) ex ; f(x) = (x-3) ex
15.14: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số :
a) f (x) = cos5xtgx; b) cos3xtgx; c) f (x) = cotg2 (2x+/4) d)
x
x x
f
2 sin 1
sin )
(
2001 ) 1 ( ) (
x
x x
f
cos sin
2
1 )
(
XVI TÍCH PHÂN
A .Dùng định nghĩa,tính chất tích phân ,bảng nguyên hàm:
16.1: Tính các tich phân sau :
a) 1 2
0( x 1)(2 x 3) dx
3 5 2
x dx x
; c)
2 1 0
1
dx x
d)
2 2
1
2 1 2
x dx x
; e)
2 2
1 2
1 2
dx x
xdx
Trang 216.2: Tính các tích phân sau:
a) 4
3 2
1
dx
x x x
0 x 2x 3 xe x dx
dx
; f)
4
01
tgx dx
16.3: Tính các tích phân :
a) 4 2
1 x 4 x 3 dx
0 max x ,5 x 6 dx
2min x 2, x dx
16.4: Tính: I( 1
0
,rồi vẽ đồ thị của hàm số I( ) theo biến
16.5: Tính các tích phân :
a) 3
4
cos 2
sin cos
xdx
0 cos 2
x dx
4 sin
dx x
;
0
8cos
1 sin
xdx
x
4
cot g xdx
0 (sin x cos ) x dx
16.6: Tính các tích phân :
a)
0cos cos 2 sin 4 x x xdx
; b)0cos3x sin 8 xdx; c)0cos3x sin xdx
d) 2
0 1 sin xdx
; e) 3
0 1 sin
dx x
; f) 02 1 cos 2xdx .
16.7: Tính các tích phân :
a) 0 2
2
3 1
x
dx
2 3
x dx
dx
16,8: Tính các tích phân :
a) I = 2
0
sin
sin cos
xdx
cos sin cos
xdx
b) I = 1
0
x
e dx
và J = 01
x
e dx
.
16.9: a) Tính đạo hàm của hàm số F(x) = ln 22 2 1
2 1
2 1 4 0
1 1
x dx x
16.10: a) Chứng minh rằng nếu y = ln x x2 a2 thì y/= 21 2
x a (a > 0)
b) Tính tích phân I = 32
2
a a
dx
16.11: a) Chứng minh rằng hàm số F(x) =
2
x
(x0)
là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 1 2
1
b) Tính: I = 1 3 2
1
dx
16.12: Tính tích phân: f (t) = 4
0
3 (4sin )
2
t
16.13: a) Tìm hai số a,b sao cho: f (x) = 2
( 2)( 1)
x
b) Tính F (t) =
0t f x dx ( )
với t > 0 Suy ra : lim ( )t
F t
B.Phương pháp đổi biến số
16.14: Tính các tích phân :
0
a dx
0
a dx
(a > 0); c) 1
dx
e
4
dx
e) 44
2
xdx
x
0x 1 x dx
g) 01 5x (1 x3 6) dx; h)
1
2 2
dx x
16.15: Tính các tích phân :
a) I = 2 24
1
1 1
x x
dx; b) J =
3 2
1
16.16: Tính các tích phân :
a) 2 0
sin cos
3 sin 2
dx x
; b) 01 3x 1 x dx2 ; c)
2
dx
x x
16.17: Tính các tích phân :
a) 22 0
1 1
x dx x
; c)01 2x (1 x dx )8 ; b) 11 2 2 cos 1
dx
0
16.18: a) Chứng minh rằng nếu f (t) là hàm số liên tục trên đoạn 0;1 thì :
2 2
0 f (sin ) x dx 0 f (cos ) x dx
b) Tính các tích phân : I = 2 3
0
sin sin cos
xdx
5 2
0
cos sin cos
xdx