Cach giai phuong mot so pt

* Phương trình bất phương trình bậc 3: Nếu nhẩm được 1 nghiệm thì việc giải theo hướng này là đúng, nếu không nhẩm được nghiệm thì ta có thể sử dụng phương pháp h[r]

PHƯƠNG TRÌNH-BÂT PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

A Phương trình - bất phương trình chứa căn thức

I Phương pháp biến đổi tương đương

1 Kiến thức cần nhớ:

1.

n

n

n n

2 Các dạng cơ bản:

* Dạng 1: f x g x g x 02

f x g x (Không cần đặt điều kiện f x 0)

* Dạng 2: f x g x xét 2 trường hợp:

0

g x

f x g x

* Dạng 3:

2

( ) 0 0

f x

f x g x

Lưu ý: + g(x) thường là nhị thức bậc nhất (ax+b) nhưng có một số trường hợp g(x) là

tam thức bậc hai (ax2

+bx+c), khi đó tuỳ theo từng bài ta có thể mạnh dạn đặt điều kiện

cho g x 0 rồi bình phương 2 vế đưa phương trình bất phương trình về dạng quen thuộc

+ Chia đa thức tìm nghiệm: Phương trình 1 2

a x a x a x  a x a có

nghiệm x= thì chia vế trái cho cho x– ta được 1 2

tương tự cho bất phương trình

* Phương trình bất phương trình bậc 3: Nếu nhẩm được 1 nghiệm thì việc giải theo hướng này là đúng, nếu không nhẩm được nghiệm thì ta có thể sử dụng phương pháp hàm số để giải tiếp và nếu phương pháp hàm số không được nữa thì ta phải quay lại sử dụng phương pháp khác

* Phương trình bất phương trình bậc 4, lúc này ta phải nhẩm được 2 nghiệm thì việc giải phương trình theo hướng này mới đúng, còn nếu nhẩm được 1 nghiệm thì sử dụng như phương trình bất phương trình bậc 3 và nếu không ta phải chuyển sang hướng khác

“Cũng như không ?!”

Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x 1 x2 3x 1 0(ĐH Khối D – 2006)

Biến đổi phương trình thành: 2

2x 1 x 3x 1 (*), đặt điều kiện rồi bình phương 2 vế

ta được: x4 6x3 11x2 8x 2 0 ta dễ dạng nhẩm được nghiệm x = 1 sau đó chia đa

thức ta được:

(*) (x – 1)2(x2 – 4x + 2) = 0

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 2 2

4 x 1 2x 10 1 3 2x , ĐK:

2

3

x

2

2

x hai vế (1) đều

không âm nên ta bình phương 2 vế: x3

– x2 – 5x – 3 0 x 3 x 12 0

b) Tương tự với 2 dạng: * f x g x * f x g x

Ví dụ 1: Giải bất phương trình 2

2x 6x 1 x 2 0 1

Giải

2

1 2x 6x 1 x 2 bất phương trình tương đương với hệ:

2

2

2

2 0

x x

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình 2

Giải

* Nếu m < 2 phương trình vô nghiệm

* Nếu m 2 phương trình x2

2mx m2+4m 3=0 Phương trình này có

=2m2 4m+3>0 với mọi m

Vậy với m 2 thì phương trình đã cho có nghiêm

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình 2x2 mx 3 x 1 có hai nghiệm phân biệt

Giải:

2 4 0, (*)

x PT

x m x , phương trình (*) luôn có 2 nghiệm:

2

4

m

Chú ý: + x1 > 0, x2 < 0 vì x1 > x2 và a.c < 0 nên pt có 2 nghiệm trái dấu

+ Cách 1 thường dùng khi hệ số a luôn dương hoặc luôn âm

+ Cách 2: Đặt t = x + 1 suy ra x = t – 1, khi đó với x 1 t 0 (*) trở thành: 2

t m t (**) Để (*) có 2 nghiệm x 1thì (**) phải có 2 nghiệm t 0

Ví dụ 4: (ĐH Khối B – 2006) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt

2

x mx x , (1)

Giải: 2 2 1 0

x pt

x m x để (1) có hai nghiệm thực phân biệt thì (2) có hai

nghiệm lớn hơn hoặc bằng 1

2hay

2

4 12 0

0

1

m

S

Chú ý : Cách 2: đặt 1

2

t x , khi đó để (2) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng 1

2 thì

2

t m t có hai nghiệm thực lớn hơn hoặc bằng 0

3 Các kỹ năng:

a Để bình phương 2 vế phương trình – bất phương trình thì một là ta biến đổi cho 2 vế không âm hai là đặt điều kiện cho 2 vế không âm

Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 5x 1 x 1 2x 4 (ĐH Khối A – 2005)

Vế phải không âm, nhưng vế trái chưa nhận xét được do đó ta phải biến đổi thành:

5x 1 x 1 2x 4 khi đó ta bình phương 2 vế rồi đưa về dạng cơ bản để giải

Giải

Điều kiện:

1

2 * 0

x x x

2

2

x x Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=0, 9

8

x

(Hãy tìm thêm cách giải khác)

Ví dụ 3:Tìm m để phương trình 2 2

2x mx x 4 0 có nghiệm

HD: Chuyển vế, đặt điều kiện, bình phương hai vế tìm được

2

1,2

16 2

với điều kiện ta tìm được |m| 4

b Chuyển về phương trình – bất phương trình tích:

- Đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức

Lưu ý: Để sử dụng phương pháp này ta phải chú ý đến việc thêm, bớt, tách, phân tích

Ví dụ :Giải phương trình: 2

7 7

HD:

Bình phương hai vế

Dùng hằng đẳng thức a2

b2=0

Nghiệm 2, 1 29

2

Ví dụ 5: Giải các bất phương trình: a 2 2 4

x

x x

ĐS: a 1 x<8, b ; 1 2 3;

Ví dụ 6: (Khối B – 2007): Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m,

phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: 2

Giải: ĐK:x 2, do m > 0

) 2 ( , 32 6

2 2

4

m x

x

x x

m x

x

trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì chỉ cần chứng minh phương trình (2) có một nghiệm khác 2

Thậvậy: đặt f x x3 6x2 32,x 2, ta có f(2) = 0,

x f x f x x x x nên f(x) là hàm liên tục trên 2; và đồng biến trên khoảng đó suy ra m 0 phương trình (2) luôn có nghiệm x0 mà 2 < x0 <

Một số dạng chuyển thành tíc

-m

Ta biến đổi thành: m( ax b cx d) ax b cx d

Ví dụ: Giải phương trình: 4 1 3 2 3

5

x

Ví dụ: Giải phương trình: 3x 1 3 x 2 1 3x2 3x 2 ĐS: x=0,

x= 1

Ví dụ: Giải phương trình: 4x 1 x 1 4x3 x2 ĐS: x=0,

x=1

Ví dụ 1: Giải phương trình x 3 2x x 1 2x x2 4x 3 ĐS: x=0,

x=1

c Chuyển về dạng: A 1 + A 2 + + A n = 0 với A i 0 1, i n khi đó pt tương đương với: A1 0, A2 0,  A n 0

Ví dụ 1: Giải phương trình : 2

4x 3x 3 4x x 3 2 2x 1 HD: Phương trình tương đương 2

4x 4x x 3 x 3 1 2 2x 1 2x 1 0 ĐS: x=1

Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 2

4x y y 2 4x y Giải

2

d Sử dụng lập phương:

Với dạng tổng quát 3a 3b 3c ta lập phương hai vế và sử dụng hằng đẳng thức

3

a b a b ab a b khi đó phương trình tương đương với hệ

3

3

Giải

hệ này ta có nghiệm của phương trình

Ví dụ: Giải bất phương trình 3 x 1 3x 2 3 2x 3 ĐS:

3 1; 2;

2

e Nếu bất phương trình chứa ẩn ở mẩu:

- TH1: Mẩu luôn dương hoặc luôn âm thì ta quy đồng khử mẩu:

Ví dụ 1: Giải bất phương trình:

2

x

Giải

ĐK: x 4 1 2 x2 16 x 3 7 x 2 x2 16 10 2x

2 2

4

5

10 2 0

10 2 0

x

x x

x

x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: x 10 34

- TH2: Mẩu âm dương trên từng khoảng thì ta chia thành từng trường hợp:

Ví dụ 2: Giải các bất phương trình: a x 3 x2 4 x2 9 b

2

51 2

1 1

x x

HD: a Xét ba trường hợp x=3, x>3 và x<3 ĐS: 5 3

6

1 52 x 5 x 1

Bài tập

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a x 2 x 1 x x 1 x2 x 0

HD: Bình phương 2 vế và biến đổi thành: 2 2 3 2

2x x x 4 x x x 4x 6x 4 0

(x 2)(2 x x x 2x 2) 0

4x 5x 1 2 x x 1 9x 3 HD: Nhân lượng liên hợp

Bài 2: Giải bất phương trình sau: 2

1 2x 1 2x 2 x .

HD: Cách 1: Đặt

16

dạng: A1+A2 = 0, với A1,A2 0

Bài 3: Giải phương trình 4 3 10 3x x 2 (HD: Bình phương hai lần ra phương trình

bậc 4 đầy đủ_nhẩm nghiệm (x=3) chia đa thức)

Bài 4: Giải phương trình 2 2

Bài 5: Giải phương trình 2

2x 6x 1 x 1 Bài 6: Giải các phương trình sau:

1 2

3 3 2x 2 3 x 2 3 9x 4 3x 1 3 x 1 x3 2

5

2

4

x

4

x

7 5x 3 3x 1 x 1 (HD:Bình phương rồi sử dụng dạng: A1+A2 = 0, với A1, A2 0)

Bài 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: m x m x m

Bài 8: Tìm m sao cho phương trình: 2

4x x x m

a Có nghiệm

b Có hai nghiệm phân biệt

Bài 9: Giải các bất phương trình sau:

a

2

1 1 4

3

x

Bài 10: Giải các phương trình:

3

x

c 4 x 3 1 4x 3

2 x 3 9x x 4

2x x x 1 4 3x 1 2x 2x 6

II Phương pháp đặt ẩn phụ:

Ví dụ 1: Giải các phương trình: a x2 x2 11 31 b

2

HD: a Đặt 2

11, 0

b Đặt 2

3 , 0

2

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 2 2

Giải

Khi đó phương trình trở thành 2 2

nghiệm khi (*) có nghiệm t 0; 6 hay 0 5 6 5 6 5

Ví dụ 3: Tìm m để bất phương trình: 2

nghiệmx 0;1 3

t x x x x t Nếu x 0 ; 1 3 thì t x 12 1 1 ; 2

Khi đó ta có 2 2

1

t

m

t , với 1 t 2 Đặt 2 2

1

t

f t

t , dùng đồ thị ta tìm được 2

3

m

Dạng 2:

m f x g x n f x g x n f x g x p , đặt t f x g x , bình phương

hai vế để biểu diễn các đại lượng còn lại qua t

Ví dụ 1: Cho phương trình 3 x 6 x m 3 x 6 x

a Giải phương trình khi m=3

b Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm

Giải

Đặt: t 3 x 6 x t2 9 2 3 x 6 x * Áp dụng bất đẳng thức Cauchy

2 3 x 6 x 9 nên từ (*) ta có 3 t 3 2

Phương trình đã cho trở thành t2

2t 9= 2m (1)

a Với m=3 (1) t2

2t 3 t =3 Thay vào (*) ta được x= 3, x=6

b PT đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm t 3; 3 2 Xét hàm số

f t t t với t 3; 3 2 , ta thấy f(t) là một hàm đb nên:

6 f(3) f t f 3 2 9 6 2 với t 3; 3 2 Do vậy (1) có nghiệm t 3; 3 2 khi và chỉ khi 6 2 9 6 2 6 2 9 3

2

Chú ý: Để tìm miền giá trị của t ta có 2 cách thương dùng như sau:

Cách 1: dùng BĐT như bài trên 2: dùng pp hàm số ( xem phần

PP hàm số )

Ví dụ 2: Giải phương trình x3 35 x3 x 3 35 x3 30

3

t

t ĐS: x=2, x=3

7x 7 7x 6 2 49x 7x 42 181 14x HD: Đặt t 7x 7 7x 6 0 … 6 6

7 x

F f x g x , trong đó F(t) là một phương trình đẳng cấp bậc k

TH1: Kiểm tra nghiệm với g x 0

TH2: Giả sử g x 0 chia hai vế phương trình cho g k x và đặt n

f x t

g x

Ví dụ 1: Giải phương trình 3 2

5 x 1 2 x 2

1

x

x x Phương trình trở thành 2

2

2

t

t t

t

Với t=2: Phương trình đã cho vô nghiệm

Với 1

2

t : Phương trình đã cho có nghiệm 5 37

2

Ví dụ 2: Giải phương trình 2 2

5x 14x 9 x x 20 5 x 1 Giải

ĐK: x 5 5x2 14x 9 x2 x 20 5 x 1 5x2 14x 9 5 x 1 x2 x 20

Bình phương hai vế: 2 x2 4x 5 3 x 4 5 x2 4x 5 x 4

Đặt 2 4 5, 0.

4

2

Với t = 1: Phương trình đã cho có nghiệm 5 61 5, 5 61 5

Với 3

2

t : Phương trình đã cho có nghiệm 8 5, 7 5

5

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: 5 61, 8

2

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 4 2

3 x 1 m x 1 2 x 1 HD: ĐK x 1 Xét hai trường hợp x = 1 và x ≠ 1, Chia hai vế phương trình cho 4x2 1

1

x

t

3

m

Dạng 4: (Đặt ẩn phụ không triệt để)

0

af x g x f x h x Đặt t f x , khi đó phương trình trở thành

2

0

at g x t h x

2 1 x x 2x 1 x 2x 1

HD

(Phương pháp này có thể áp dụng cho các phương trình, bất phương trình lượng giác,

mũ, logrit,… rất hay!)

Bài tập

Giải các phương trình sau:

2x 5x 2 4 2 x 21x 20 ĐS: 9 193, 17 3 73

3 2 x2 3x 2 3 x3 8 ĐS: x 3 13

4 2x x 1 1 1 3 x 1

x, ĐS: 1 5

2

Dạng 5: (Đặt ẩn phụ với hàm lượng giác)

Khi giải các phương trình, bất phương trình lượng giác chúng ta thường tìm mọi cách đặt ẩn phụ để chuyển về phương trình, bất phương trình đại số Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp cách là ngược lại tỏ ra khá hiệu quả, bằng những tính chất của hàm lượng giác ta sẽ đưa các bài toán đại số về bài toán lượng giác và giải quyết bài toán lượng giác này

Lưu ý vài tính chất cơ bản:

* sina 1, cosa 1 * 2 2

2

1

1 tan

cos

a

2

1

1 cot

sin

a

a

Ví dụ 1: Giải phương trình 2 2

1 1 x 2x Giải

ĐK x 1 Đặt x cos ,t t 0; Khi đó phương trình trở thành

1 1 cos t 2cos t 2sin t sint 1 0. Ta tìm được: sin 1

2

t Khi đó

cos 1 sin

Nhận xét: * Nếu bài toán có tập xác định u x a Ta có thể nghĩ đến cách đặt

2 2

u x a t t hoặc đặt u x acos ,t t 0;

* Nếu u x 0;a ta có thể đặt 2

sin , 0;

2

Ví dụ 2: Giải phương trình 3 2 3 2

HD: Đặt x cos ,t t 0; dưa về phương trình lượng giác

sint cost 1 sin cost t 2 sin cost t Để gải phương trình này ta lại đặt

sin cos , 2

Ví dụ 3: Giải phương trình 2 3

1 x 4x 3x ĐS: 1 , 2 2

4 2

Dạng 6: (Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình)

* Khi gặp phương trình có dạng F f x ,n a f x ,m b f x 0

Đặt u n a f x , v m b f x Khi đó ta được hệ phương trình sau: , 0

n m

F u v

u v a b Giải

hệ này tìm u, v rồi ta lại tìm x Khi tìm x ta chỉ giải một trong hai phương trình

n

u a f x hoặc v m b f x

Ví dụ 1: Giải phương trình: 3 x 6 x 3 3 x 6 x ĐS: x 0, x 3

Ví dụ 2: Giải phương trình: 3 24 x 12 x 6 ĐS:

Ví dụ 3: Giải phương trình: 4x 4 17 x 3 ĐS: x 1, x 16

Ví dụ 4: Giải phương trình: 3 2 3 2

3

Ví dụ 5: Giải phương trình: 3 x 1 3 x 3 3 2, đặt u 3x 1,v 3 x 3, pt trở thành:

3

2

2

u v

u v

Ví dụ 6: Giải phương trình: 3 1 1

1

,

Ví dụ 7: Với giá trị nào của a thì phương trình: 3 x 3 x a

1

Đặt u 3 1 x,v 3 1 x Phương trình trở thành:

2

a u v uv

u v a TH1: a = 0 hệ phương trình vô nghiệm

TH2: a 0, hệ phương trình trở thành 1 2 2

3

u v a

a

Hệ có nghiệm khi

2

S P a Vậy phương trình có nghiệm khi 0 a 2

* Khi gặp phương trình có dạng n n

Đặt t f x , y n af x b ta có hệ

n

n

t b ay

y b at

Ví dụ 1: Giải phương trình 2x3 1 2 2 3 x 1 ĐS: 1, 1 5

2

Ví dụ 2: Giải phương trình 2 3

2

x

Giải

x

2

2

1 1 2 1 1 2

Giải

,

Chú ý: bài này không thể sử dụng phương pháp bình phương vì không nhẩm được

nghiệm, nên ta phải biến đổi để xuất hiện những biểu thức giống nhau và từ đó ta đặt ẩn phụ

Ví dụ 3: Giải phương trình 2

4x 7x 1 2 x 2 ĐS: 1, 7, 1

Chú ý: Bài này có thể sử dụng phương pháp bình phương

Bài tập:

Bài 1: Giải các phương trình sau:

2

Bài 2: Giải cácbất phương trình sau:

3 2 2

2

4

x

Bài 3: Giải các phương trình sau:

5

2

4

x

III Phương pháp hàm số

Các tính chất:

Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (k R) có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b)

Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì u, v (a,b) ta có

( )

f u f v u v

phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b)

Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì c a;b :F c' F b F a

b a Khi áp dụng giải phương trình: nếu có F(b) – F(a)

= 0 thì c a b; :F c' 0 F' x 0 có nghiệm thuộc (a;b)

Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoăc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm thuộc D

Từ các tính chất trên ta có 3 phương án biến đổi như sau:

Phương án 1: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = k, nhẩm một nghiệm rồi chứng

minh f(x) đồng biến (nghịch biến) suy ra phương trình có nghiệm duy nhất

Phương án 2: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = g(x), nhẩm một nghiệm rồi dùng

lập luận khẳng định f(x) đồng biến còn g(x) nghịch biến hoặc hàm hằng suy ra phương

trình có nghiệm duy nhất

Phương án 3: Biến đổi phương trình về dạng: f(u) = f(v) chứng minh f(x) đơn điệu khi

đó ta có: u = v

Ví dụ: Giải phương trình: 2

4x 1 4x 1 1

ĐK: 1

2

2

x , '

2

0

x

f x

Do đó hàm số đồng biến với 1

2

x , nên phương trình nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất Thấy 1

2

x là nghiệm của phương trình

Đối với phương trình chứa tham số ta thực hiện như sau:

Xét phương trình f(x,m) = g(m), (1)

B1: Lập luận số nghiệm phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C ): y = f(x,m) và

đường thẳng

d: y = g(m)

B2: Lập bảng biến thiên cho hàm số y = f(x,m)

B3: Kết luận: * phương trình có nghiệm: min , max ,

x D f x m g m x D f x m

* phương trình có k nghiệm: d cắt (C) tại k điểm

* phương trình vô nghiệm khi: d không cắt (C )

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: 2 2

TXĐ: R

Xét hs: y f x x2 x 1 x2 x 1, Df = R,

'

y

(v.nghiệm)

Mặt khác: f’(0) = 1 > 0 suy ra y’ > 0 nên hàm số đồng biến

2

2

x

x

BBT: x

1

Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1 < m < 1

Chú ý: Trong bài toán trên nếu không thực hiện việc xác định giới hạn hàm số, rất có

thể chúng ta ngộ nhận tập giá trị của hàm số là R và dẩn đến việc kết luận sai lầm rằng phương trình có nghiệm với mọi m Do đó việc tìm giới hạn trong bài toán khảo sát là

rất cần thiết để tìm ra tập giá trị

Ví dụ 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: mx x 3 m 1, ĐK: x 3

1

x

x y và f(3)

= 1

2

BBT:

1

2

0

Vậy bất phương trình có nghiệm 5 3 1

4

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình: x x x 12 m 5 x 4 x có nghiệm

Giải: ĐK: 0 x 4

pt x x x x x m xét hs y f x (x x x 12) 5 x 4 x Miền xác định: D 0; 4

Nhận xét: Hàm số h x x x x 12 đồng biến trên D

Hàm số g x 5 x 4 x đồng biến trên D

Suy ra y = f(x) = h(x).g(x) là hàm đồng biến trên D Vậy phương trình có nghiệm khi và

chỉ khi f 0 m f 4

Ví dụ 4: Biện luận theo m số nghiệm phương trình: 2

Giải: Phương trình được viết lại dưới dạng:

2

3 1

x

m x

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của (C):

2

3 1

x y x

và đường thẳng: y = m

Lập BBT :