Nhưng đôi khi phím CALC có lợi hơn bởi vì ở bước n thì ta có thể thay đổi giá trị của A nhập từ bàn phím, còn cách dùng lập trình nhập từ bàn phím thì không thay đổi giá trị của A được m[r]
Trang 1DÙNG MÁY TÍNH CASIO FX570MS
ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ
Ở cấp II học sinh đã làm quen “Đồng Dư”, khi lên đại học sinh viên ngành Toán gặp lại “Đồng Dư” ở môn “Số Học” Nhưng việc tìm nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình “Đồng Dư” đôi lúc gặp khó khăn Ở đây tôi giới thiệu phương pháp dùng máy tính để giải phương trình và hệ phương trình đồng dư nhờ máy tính bỏ túi Casio 570MS
1 Phương trình đồng dư bậc nhất:
Dạng: ax ≡≡ b(modm)
Ví dụ: Giải phương trình đồng dư: 9 ≡x≡6(mod15)
Giải:
Ta biến đổi x≡6(mod15)⇔ x≡2(mod5), tìm x nhờ máy tính bỏ túi như sau : Dùng phím CALC
Cách 1
Ta dùng ô nhớ A để giải
Ta nhập vào máy biểu thức: (A→→0)
5 ) 2 A 3 ( 1 A
Nhấp phím Calc màn hình hiện A? ta nhập A ban đầu là 1 rồi nhấn dấu = liên tiếp đến khi A+1 có giá trị bằng 4 thì (3A-2) ÷÷5 có giá trị 2 là số nguyên Do
đó ta được x ≡≡ 4(mod5)
Nên phương trình có nghiệm:
≡
≡
≡
) 15 (mod 14 x
) 15 (mod 9 x
) 15 (mod 4 x
là xong
: Dùng lập trình nhập từ bàn phím máy tính
Cách 2
Ta nhập vào máy biểu thức: (A→→0)
5 ) 2 A 3 ( 1 A
A= + − ÷ rồi nhấn dấu = liên tục khi nào (3A-2) ÷÷5 có giá trị
là số nguyên thì ta chọn giá trị A+1 khi đó
Do đó ta được x ≡≡4(mod5)
Nên phương trình có nghiệm:
≡
≡
≡
) 15 (mod 14 x
) 15 (mod 9 x
) 15 (mod 4 x
Chú ý : Thông qua việc giải phương trình đồng dư thì ta có thể áp dụng giải bài toán như sau “Tìm số nguyên dương nhỏ nhất x để nx chia cho m thì được dư
là r, trong đó n, m, r đề bài đã cho)
2 Hệ phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn
Dạng:
≡
≡
≡
) m (mod a
x
) m (mod a
x
) m (mod a
x
n n
2 2
1 1
(m 1 , m 2 , ,m n ) nguyên tố sánh đôi
Ví dụ 1: Bài toán điểm binh của “Hàn Tín”:
≡
≡
≡
) 7 (mod 4 x
) 5 (mod 3 x
) 3 (mod 2 x
Giải:
: Dùng phím CALC
Cách 1
Trang 2Cho ô nhớ A chứa số 0
Ta nhập biểu thức như sau:
7 ) 4 A ( 5 ) 3 A ( 3 ) 2 A
(
1
A
Nhấn CALC thì màn hình hiện A? ta nhập 1 rồi nhấn các lần bằng thì ta
có kết quả (A – 2)÷÷3 là 0; (A – 3)÷÷5 là −0,2; (A – 4)÷÷7 là )
7
2 (
285714285
Nhấn = liên tiếp cho đến khi các giá trị của (A – 2)÷÷3, (A – 3)÷÷5 và (A – 4)÷÷7 là những số nguyên thì ta chọn A+1 khi đó
Ta có: A+1=53 thì các giá trị của (A – 2)÷÷3, (A – 3)÷÷5 và (A – 4)÷÷7 là những số nguyên
Do đó x ≡≡ 53(mod105) trong đó 105 == x5 7
: Dùng lập trình nhập từ bàn phím máy tính
Cách 2
Cho ô nhớ A chứa số 0
Ta nhập biểu thức như sau:
7 ) 4 A ( 5 ) 3 A ( 3 ) 2 A ( 1 A
khi các giá trị của (A – 2)÷÷3, (A – 3)÷÷5 và (A – 4)÷÷7 là những số nguyên thì ta chọn A+1 khi đó
Do đó x ≡≡ 53(mod105) trong đó 105 == x5 7
Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất x thoả đồng thời các điều kiện
≡
≡
≡
≡
≡
≡
≡
) 8 (mod 7 x
) 7 (mod 6 x
) 6 (mod 5 x
) 5 (mod 4 x
) 4 (mod 3 x
) 3 (mod 2 x
) 2 (mod 1 x
Giải:
Ta cũng có hai cách giải giống như trên nhưng tôi chỉ nêu một cách giải như sau:
Ta cho ô nhớ A ban đầu là 15 (có thể lớn hơn miễn sao đừng sai số tự nhiên nhỏ nhất thoả điều kiện)
Nhập biểu thức:
8 ) 7 A ( 7 ) 6 A ( 6 ) 5 A (
: 5 ) 4 A ( 4 ) 3 A ( 3 ) 2 A ( 2 ) 1 A ( 1 A A
÷
−
÷
−
÷
−
÷
−
÷
−
÷
−
÷
− +
=
Rồi nhấn dấu bằng liên tục đến khi (A – 1)÷÷2; (A – 2)÷÷3; (A – 3)÷÷4; (A – 4)÷÷5; (A – 5)÷÷6; (A – 6)÷÷7; (A – 7)÷÷8 có giá trị nguyên thì ta nhận A+1 khi đó
Ta có số nguyên cần tìm là 839
Máy tính bỏ túi không dừng ở hai loại phương trình trên, nó còn có thể giải phương trình đồng dư bậc cao rất gọn và nhanh
3 Phương trình đồng dư bậc cao
Dạng: (x) a x a xn 1 an 0(modm)
1 n
= − trong đó , n>1, m>1
Ví dụ: Giải phương trình (x) x4 x3 x 1 0(mod53)
≡ +
− +
=
Giải:
: Dùng phím CALC
Cánh 1
Ta cũng cho ô nhớ A chứa số 0
a0 ≡≡0(modm)
Trang 3Nhập vào máy biểu thức: A=A+1 (A +2A −9A+1)÷5
Nhấn phím CALC trên màn hình xuất hiện A? nhập 1 ta có
12 0 5 ) 1 A 9 A 2 A ( 2
1
A
=
÷ +
− +
=
+
giá trị của (A4 +2A3 −9A+1)÷53 là số nguyên thì ta chọn A+1 khi đó
Ta có x 57(mod53)
: Dùng lập trình nhập từ bàn phím
Cách 2
Ta cũng cho ô nhớ A chứa số 0
Nhập vào máy biểu thức: A=A+1 (A4 +2A3 −9A+1)÷53
Rồi ta dùng liên tiếp dấu bằng cho đến khi giá trị của 4 3 3
5 ) 1 A 9 A 2 A
số nguyên thì ta chọn A+1 khi đó
Ta cũng có x 57(mod53)
≡
: Dù dùng phím CALC hay lập trình từ bàn phím đưa vào thì kết quả
Tóm lại
như nhau Nhưng đôi khi phím CALC có lợi hơn bởi vì ở bước n thì ta có thể thay đổi giá trị của A nhập từ bàn phím, còn cách dùng lập trình nhập từ bàn phím thì không thay đổi giá trị của A được mà nó tuân thủ theo lập trình đã lập Bài tập áp dụng:
Bài 1: Giải các phương trình đồng dư sau
a 6 ≡x≡27(mod33) b 9 ≡x≡42(mod52) c 91 ≡x≡84(mod143)
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau
a
≡
≡
≡
) 9 (mod 1 x
5
) 5 (mod 3 x
2
) 7 (mod 5 x
3
b
−
≡
≡
≡
) 15 (mod 5 x
) 6 (mod 4 x
) 3 (mod 1 x
c
≡
≡
≡
) 30 (mod 19 x 17
) 12 (mod 5 x 7
) 6 (mod 5 x
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a 2x2 x 1 0(mod27)
≡ + +
b x3 x2 x 2 0(mod27)
≡
− + +
c x3 x2 x 1 0(mod125)
≡
− + +
d x3 x2 x 9 0(mod27)
≡ + + +