Su dung CT nghiem giai PT bac hai

Môc tiªu cña ®Ò tµi... Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò..[r]

Phòng GD-ĐT Quốc Oai

Trường THCS Phú Cát Độc lập tự do Độc lập tự do tự do hạnh phúc hạnh phúc hạnh phúc

đề tài sáng kiến kinh nghiệm

đề tài sáng kiến kinh nghiệm

I Sơ yếu lý lịch

II Nội dung đề tài

A Đặt vấn đề:

1 Tên đề tài: “ một số gợi ý khi tìm nghiệm của phương trình bậc hai một số gợi ý khi tìm nghiệm của phương trình bậc hai một số gợi ý khi tìm nghiệm của phương trình bậc hai ”

2. Lý do chọn đề tài

- Trong quá trình dạy học bộ môn toán, việc giúp học sinh giải quyết một

số bài toán là rất quan trọngTrong dạy học môn Toán việc giúp học sinh tìm ra hướng giải quyết cho một lớp các bài toán là một việc rất quan trọng Đặc biệt đối với dạng bài có nhiều ứng dụng trong đại số như

"Giải phương trình", việc đó càng trở nên cần thiết

- Khi dạy các bài toán về giải phương trình trong chương III của đại số 9 tôi nhận thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc giải các bài tập

về phương trình có dạng phức tạp hoặc những dạng câu hỏi khác trong SGK Chính vì lý do đó mà tôi đF suy nghĩ, mạnh dạn đưa ra một số hướng dẫn cho các em sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai vào giải các dạng toán khác trên cơ sở những kinh nghiệm của bản thân tôi trong khi giải các dạng toán này và rất nó đF thu được kết quả nhất định

3. Phạm vi và đối tượng

Đề tài này tôi thực hiện trong khi dạy các tiết 46, 47 trong chương trình

đại số 9 với nội dụng là luyện tập vận dụng hai công thức nghiệm của phương trình bậc hai trên cơ sở nội dung chính là kiến thức SGK, ở mỗi dạng tôi có đưa ra một vài gợi mở cho học sinh hoặc phương pháp giải đối với dạng đó

Đối tượng để tôi thể nghiệm đề tài này là lớp 9C, 9D Trường THCS Phú Cát Đây là lớp có nhiều em có học lực từ trung bình trở lên, các em có hứng thú học tập đối với bộ môn này

4. Mục tiêu của đề tài

Đề tài này tôi muốn cung cấp cho các em các phương pháp khi giải các dạng bài tập về phương trình bậc hai, qua đó giúp các em nắm được và vận dụng được vào làm bài tập

B Giải quyết vấn đề

1 Tình trạng trước khi thực hiện đề tài

1 Tình trạng trước khi thực hiện đề tài

Sau khi dạy xong tiết 47 trong chương trình đại số 9 về giải phương trình bậc hai sử dụng công thức nghiệm, tôi cho học sinh làm bài kiểm tra 15' với nội dung

Không tính ∆ hFy giải thích tại sao phương trình có hai nghiệm phân biệt

0 )

3 1 ( 2

)

0 3 2 )

3 2 ( 2 3

)

0 3 2 2 )

2 1

(

)

2 2

2

2

=

ư +

ư

=

ư + +

ư

= +

ư

ư

m x m x

c

x x

b

x x

a

Kết quả như sau:

Điểm Lớp Số

HS 0 1 -> 3 4 -> 5 6 -> 7 8 -> 9 10

Qua bài làm của các em, tôi nhận thấy các em chưa vận dụng tốt được công thức nghiệm của phương trình bậc hai, một số em còn chưa biết nên vận dụng kiến thức nào để làm dạng toán này Do vậy người thầy cần chỉ ra con đường để giúp các em đi đến kết quả của bài toán một cách tất yếu, nhanh và chính xác

a) Mục đích của đề tài

Tôi suy nghĩ và thể nghiệm đề tài này với mong muốn giúp các em học sinh áp dụng nhanh và chính xác công thức nghiệm của phương trình bậc hai trên cơ sở đó giải tốt các dạng toán về phương trình

b) Các bước tiến hành

Sau khi dạy xong các tiết 46, 47 tôi cho kiểm tra và thu được kết quả như trên, tôi nhận thấy trong tiết luyện tập sau cần nhắc lại cho các em hiểu rõ hai công thức nghiệm và khi nào có nghiệm, cần xác định được

các hệ số a, b, c chính xác để tránh sai sót khi vận dụng công thức nghiệm vào làm bài tập

Dạng 1 : Xác định số nghiệm của phương trình bậc hai

ax2+bx+c=0 (a≠0)

 Phương pháp giải :

- Xác định các hệ số a,b,c của phương trình ax2+bx+c=0 (a≠0)

- Tính ∆ = b2-4ac hoặc ∆' = (b')2-ac

+ Nếu ∆<0 phương trình vô nghiệm

+ Nếu ∆=0 phương trình có nghiệm kép

+ Nếu ∆>0 phương trình có hai nghiệm phân biệt

 Ví dụ :

Xác định số nghiệm, hệ số a, b, c của các phương trình sau a) 2x2+3x+1=0

b) 3x2+2x+5=0

c) 4x2-4x+1=0

d) 3x2 ư2 3xư2=0

 Hướng dẫn :

a) Hệ số a=2, b=3, c=1, ∆=9-8=1>0 -> phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Hệ số a=3, b=2, c=5, ∆=4-60=-56 < 0 -> phương trình vô nghiệm

c) Hệ số a=4, b=-4, c=1, ∆=16-16= 0 -> phương trình có nghiệm kép

d) Hệ số a=3, b=ư2 3, c=5, ∆=12+24=36 > 0 -> phương trình có hai nghiệm phân biệt

Dạng 2 : Giải phương trình bậc hai ax2+bx+c = 0 (a≠0)

 Phương pháp giải :

- Khi giải phương trình bậc hai trước hết biến đổi phương trình đF cho về phương trình có hệ số đơn giản nhất tương đương với phương trình đó để việc tính toán gọn hơn

- Nếu phương trình có hệ số a<0 thì nhân cả hai vế của phương trình với

-1 để có hệ số a>0

- Đối với phương trình bậc hai khuyết b, c ta không sử dụng công thức nghiệm của phương trình

- Đối với phương trình bậc hai đầy đủ thì sử dụng công thức nghiệm tổng quát và công thức nghiệm thu gọn

- Xác định các hệ số a,b,c của phương trình ax2+bx+c=0 (a≠0)

- Tính ∆ = b2-4ac hoặc ∆' = (b')2-ac

- Xét các trường hợp :

 Ví dụ 1:

Giải các phương trình bậc hai sau : a) x2-10x+21=0

b) -x2-5x+14=0

c) x2 ư2(1+ 2)x+4+3 2 =0

d) 4x2 ư2(1+ 3)x+ 3 =0

 Hướng dẫn :

a) Hệ số a=1, b=-10, c=21,b'=-5, ∆'=25-21=4 >0

-> phương trình có hai nghiệm phân biệt

x1=5+2=7

x2=5-2=3 b) -x2-5x+14=0 <-> x2+5x-14=0

Hệ số a=1, b=5, c=-14, ∆=25+56=81 > 0

-> phương trình có hai nghiệm phân biệt

7 2

9 5

2 2

9 5

1

1

ư

=

ư

ư

=

= +

ư

=

x x

Hệ số a=1, b=ư2(1+ 2), c=4 +3 2,

 4x2 ư2(1+ 3)x+ 3 =0

Hệ số a=4, b=ư2(1+ 3), c= 3 5, b'= ư( +1 3),

∆'=[ư( +1 3)] 2 -4 3 =1+2 3+3ư4 3=( 3 ư1)2 >0⇒

phương trình có hai nghiệm phân biệt

2

1 4

1 3 3 1

2

3 4

1 3 3 1

1

1

= +

ư +

=

=

ư + +

=

x x

 Ví dụ 2:

H(y tìm giá trị của a hoặc b để :

a b+0.6 = b2+(0.6)2

b 3a+0.5= (3a)2+(0.5)2

 Hướng dẫn :

Đối với dạng câu hỏi như thế này ta cần vận dụng kiến thức nào ? a) ⇔ b2+0.36-0.6-b =0 ⇔ b2-b-0.24 =0

Hệ số a=1, b=-1, c=-0.24, ∆=(-1)2+1.4.0,24=1,96 > 0

-> phương trình có hai nghiệm

2 , 0 2

4 , 1 1

2 , 1 2

4 , 1 1

2

1

ư

=

ư

=

=

+

=

b b

b) ⇔ 9a2-3a+0,25-0,5=0 ⇔ 9a2-3a - 0,25=0

∆=9+4.9.0,25=18= 2

) 2 3 ( > 0

6

2 1 18

2 3 3

6

2 1 18

2 3 3

2

1

ư

=

ư

=

+

=

+

=

a a

Dạng 3 : Không tính ∆ chứng minh phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt

 Phương pháp giải :

- Xác định các hệ số a,b,c của phương trình ax2+bx+c=0 (a≠0)

- Nếu ac < 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt vì ∆ = b2-4ac > 0

 Ví dụ :

H(y giải thích tại sao không cần tính mà có thể kết luận ngay mỗi phương trình sau có hai nghiệm phân biệt

 Hướng dẫn :

a) (1ư 2)x2 ư2(1+ 2)x+1+ 2=0

Hệ số a=1 ư 22, b=ư2(1+ 2), c=1 + 2,

⇒ a < 0, c > 0 ⇔ ac < 0 -> phương trình có hai nghiệm phân biệt

 mx2 ư2(m+1)xư2m=0 (m≠0)

Hệ số a=m, b=-2(m+1), c=-2m

⇒ ac = -2m2 < 0 ∀ m ≠ 0 -> phương trình có hai nghiệm phân biệt

Dạng 4 : Định tham số để phương trình bậc hai thoả m?n

điều kiện về nghiệm số

 Phương pháp giải :

- Cho phương trình ax2+bx+c=0 (a≠0) (1)

(1) có nghiệm ⇔ ∆≥ 0 (∆'≥ 0) (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆> 0 (∆'> 0) (1) có nghiệm kép ⇔ ∆= 0 (∆'= 0)

(1) vô nghiệm ⇔ ∆ < 0 (∆'< 0)

 Ví dụ 1 :

Với giá trị nào của m phương trình sau vô nghiệm

a) 3x2 ư4x+2m=0 vô nghiệm ⇔ ∆'< 0

∆'=4-6m < 0 ⇔ m > 2/3 Phương trình vô nghiệm khi m > 2/3

b) m2x2 +mx +5=0 (m≠0) vô nghiệm ⇔ ∆< 0

∆ = m2 - 4.5.m2 = -19m2 < 0 ∀ m ≠ 0 Phương trình vô nghiệm với mọi m ≠ 0

 Ví dụ 2 :

Tìm m để phương trình sau có nghiệm kép

a) 2x2 - 10x + m - 1 = 0 b) 5x2 - 12x + m - 3 = 0

 Hướng dẫn giải :

a) 2x2 - 10x + m - 1 = 0 có nghiệm kép ⇔ ∆'= 0

∆' = 25 - 2m+2 = 27 - 2m = 0 ⇒ m = 27/2 Vậy m = 27/2 thì phương trình có nghiệm kép

b) 5x2 - 12x + m - 3 = 0 có nghiệm kép ⇔ ∆'= 0

∆' = 36 - 5(m-3) = 51 - 5m = 0 ⇒ m = 51/5 Vậy m = 51/5 thì phương trình có nghiệm kép

 Ví dụ 3 :

Chứng minh rằng (x-a)(x-b)+ (x-b)(x-c)+ (x-c)(x-a)=0 (1) có nghiệm ∀ a, b, c

 Hướng dẫn giải :

(1) ⇔ 3x2 - 2(a+b+c)x + ab+bc+ca = 0

∆'= a2+b2+c2-(ab+bc+ca) = [(a b) (b c) (c a) ] 0 a,b,c

2

∀

≥

ư +

ư +

ư Vậy phương trình (1) có nghiệm ∀a,b,c

Dạng 5 : Giải và biện luận phương trình ax2+bx+c=0

 Phương pháp giải :

- Nếu a = 0 phương trình trở thành bx+c=0

+ Nếu b ≠ 0 thì phương trình có một nghiệm x = -c/b

+ Nếu b = 0 và c ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu b = 0 và c = 0 thì phương trình có vô số nghiệm

- Nếu a ≠ 0 phương trình trở thành phương trình bậc hai

∆ = b2 - 4ac + Nếu ∆<0 phương trình vô nghiệm

+ Nếu ∆=0 phương trình có nghiệm kép

a

b x

x

2 2 1

ư

=

= + Nếu ∆>0 phương trình có hai nghiệm phân biệt

a

b x

2 2

, 1

∆

±

ư

=

 Ví dụ :

Giải và biện luận phương trình sau :

0 )

1 ( 2 )

2 (mư x2 ư m+ x+m=

 Hướng dẫn giải :

* Nếu m - 2 = 0 hay m = 2 thì phương trình trở thành -6x+2 = 0

⇔ x = 1/3 Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x = 1/3

* Nếu m - 2 ≠ 0 hay m ≠ 2

Khi đó ta có :

∆'=(m+1)2 - m(m-2) = 4m+1

+ Nếu ∆'<0 ⇔ 4m + 1 < 0 ⇔ m < -1/4 ⇔ phương trình vô nghiệm

+ Nếu ∆'=0 ⇔ 4m + 1 = 0 ⇔ m = -1/4 ⇔ phương trình có

nghiệm kép

3

1

2 4 1

1 4 1 2

1 2

1

ư

=

ư

ư

+

ư

=

ư

+

=

=

m

m x x

+ Nếu ∆'>0 ⇔ 4m + 1 > 0 ⇔ m > -1/4 ⇔ phương trình có hai nghiệm phân biệt

1 4 1 2

, 1

ư

+

± +

=

m

m m

x

Dạng 6 :Hệ phương trình chứa hai ẩn x và y gồm 1 phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai

 Phương pháp giải :

- Từ phương trình bậc nhất của hệ tìm y theo x

- Thay biểu thức đó vào phương trình bậc hai của hệ, ta được phương trình bậc hai đối với ẩn x

- Giải phương trình tìm x, rồi thay vào biểu thức của y để tìm y

 Ví dụ 1:

Giải hệ phương trình sau :







= +

= +

) 2 ( 4

) 1 ( 5 2

2

x y x

y x

 Hướng dẫn giải :

Từ (1) -> y = 5 - 2x, thay vào (2) ta được x2+5-2x=4x

⇔ x2 - 6x + 5 = 0

⇔ x1 = 1 và x2 = 5 Với x1=1 ⇒ y1 = 3 ⇒ nghiệm (1;3) Với x2=5 ⇒ y2 = -5 ⇒ nghiệm (5;-5)

 Ví dụ 2:

Cho hệ phương trình sau :







= +

= +

) 4 (

) 3 ( 6 2 2

a y x

y x

định a để

a) Hệ vô nghiệm b) Hệ có nghiệm duy nhất

c) Hệ có 2 nghiệm phân biệt

 Hướng dẫn giải :

Từ (3) -> y = 6 - x, thay vào (4) ta được x2+(6-x)2=a

⇔ 2x2 - 16x +36 - a = 0

Ta có ∆' = 2(a- 18)

a) Hệ vô nghiệm ⇔ ∆' < 0 ⇔ a < 18

b) Hệ có nghiệm duy nhất ⇔ ∆' = 0 ⇔ a = 18

c) Hệ có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆' > 0 ⇔ a > 18

Dạng 7 :Định tham số để hai phương trình có nghiệm chung

 Phương pháp giải :

- Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phương trình thay x = x0 vào hai phương trình ta được hệ với ẩn là các tham số

- Giải hệ tìm tham số

- Thử lại với tham số vừa tìm hai phương trình có nghiệm chung hay không

 Ví dụ :

Cho hai phương trình sau :

0 1

0 2

2

= + +

= + +

ax x

a x x

a) Định a để hai phương trình có nghiệm chung b) Định a để hai phương trình tương đương

 Hướng dẫn giải :

Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phương trình đF cho, khi đó ta có hệ

) 2 ( 0 1

) 1 ( 0 0

2

0

0

2

0

= + +

= +

+

ax

x

a x

x

Lấy (1) - (2) : x0 (1-a)+a-1 = 0 ⇔ (1-a)( x0 -1) = 0 ⇔ a =1 , x0 = 1

Với a =1 ta có phương trình :

x2+x+1=0 ( vô nghiệm)

Với x0 = 1, thay vào (1) -> a = -2, ngược lại với a = -2 thì

phương trình x2+x-2 = 0 có nghiệm x1=1 và x2 = -2

phương trình x2-2x+1 = 0 có nghiệm kép x= 1

Vậy với a = -2 thì phương trình đF cho có nghiệm chung x = 1

Hai phương trình tương đương khi chúng có cùng tập hợp nghiệm, nếu chúng có nghiệm chung thì theo (a), hai phương trình có tập ngiệm khác nhau Vậy để hai phương trình tương đương thì chúng cùng vô nghiệm Khi

đó :

0 4

0 4

1

2

2

1

<

ư

=

∆

<

ư

=

∆

a

a

4

1

<

< a

Dạng 8 : Phương trình có hai ẩn số

 Phương pháp giải :

- Trong một phương trình có hai ẩn số, ta xem một ẩn là tham số rồi giải phương trình ấy theo ẩn còn lại Phương pháp này gọi là phương pháp

đặt tham số mới

 Ví dụ 1:

Chứng minh rằng chỉ có một cặp số (x;y) duy nhất thoả phương trình

) 1 ( 0 13 6

4

2 ư x+ y ư y + =

 Hướng dẫn giải :

Đặt tham số mới, xem x là ẩn, y là tham số (y≥0), ta có

) 3 (

) 9 6

( ) 13 6

(

4ư y ư y + =ư yư y + =ư y ư

) 3 ( ư

ư y ≤ 0 nên phương trình chỉ có nghiệm khi ∆' = 0 ⇔

9

3⇔ =

y khi đó phương trình có nghiệm kép x = -b'/a = 2

Cặp số (2;9) là cặp số duy nhất thoả mFn phương trình đF cho

 Ví dụ 2:

Giải hệ phương trình







=

ư + +

= +

) 2 ( 0

) 1 ( 2 2 2

2 3

y y xy x

y x

 Hướng dẫn giải :

Giả sử hệ đF cho có nghiệm khi đó (2) có nghiệm với ẩn y

( x là tham số)

Phương trình (2) ⇔ y2+(x-1)y+x2=0 có nghiệm

⇔ ∆1=(x-1)2-4x2 ≥ 0

⇔ (x+1)(3x-1) ≤ 0

⇔ -1≤ x ≤ 1/3 (*) Viết (2) dưới dạng phương trình theo x : x2 + yx + y2 - y = 0

Phương trình này có nghiệm ⇔ ∆2=y2 - 4(y2-y) ≥ 0

⇔ y(3y-4) ≤ 0

⇔ 0 ≤ y ≤ 4/3 (**)

Từ (*) và (**) ta có :

x3 + y 2 ≤ (1/3)3+(4/3)2 = 49/27 < 2

⇒ (1) vô nghiệm vậy hệ đF cho vô nghiệm

IV Kết quả thực hiện đề tài có so sánh đối chứng

Sau khi cung cấp cho học sinh một số chý ý khi giải các dạng phương trình kết hợp với bài tập minh hoạ và củng cố trong các giờ luyện tập, cuối tiết 49 tôi có ra một đề kiểm tra với thời gian 15' cho hai lớp 9C, 9D như sau :

a) Tìm m để phương trình sau có nghiẹm kép

(m-2)x2 - 2 (m+1)x + m = 0

b) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt

2x2 + mx - m2 = 0

Kết quả như sau:

Điểm Lớp Số

HS 0 1 -> 3 4 -> 5 6 -> 7 8 -> 9 10

Kết quả trên cho thấy việc định hướng đối với mỗi bài toán, với mỗi học sinh đặc biệt là các em học sinh trung bình đF đem lại những kết quả nhất định Điều này đF tạo cho tôi sự lạc quan, giúp tôi thêm niềm tin để tích cực tìm tòi dạy học

V Bài học kinh nghiệm

- Qua việc đưa ra một số chú ý trong các giờ luyện tập về các dạng phương trình, tôi nghĩ rằng với những dạng phương trình khó việc định hướng tổng quát cho các em sử dụng các phương pháp giải là một việc làm hết sức cần thiết, không chỉ giúp các em tìm ra con đường đi đến kết quả cuối cùng của một bài toán mà giúp các em tính một cách nhanh nhất Do vậy theo tôi khi dạy hia bài công thức nghiệm của phương trình bậc hai cần khắc sâu cho các em công thức, các hệ số và các dạng phương trình có liên quan

Phần kết

- Trên đây là những biện pháp suy nghĩ, kết quả những bài học kinh nghiệm mà bản thân tôi đF làm, đF đặt ra rút ra trong quá trình giảng dạy Nội dung cơ bản của đề tài này giúp các em có phương pháp tư duy rèn kỹ năng định hướng tìm tòi lời giải cho từng dạng toán cụ thể

- Tôi luôn mong được sự trao đổi góp ý của các đồng chí và bạn đồng nghiệp để đề tài này được sử dụng rộng rFi hơn,

Phú Cát, ngày 30 tháng 04 năm 2005

Người viết

Nguyễn Tuấn Thắng