Ph−¬ng tr×nh bËc bèn.[r]
Trang 1Giải bài kỳ trước
Bài 1.Giải hệ phương trình
a)
ư = ư ư
5
5 2 2
2
x xy y
0 0
Giải
a)
ư = ư ư
5
5 2 2
2
x xy y
Điều kiện: x π 0; y π 0
Viết lại hệ đã cho dưới dạng:
5 5
2
Đây là hệ phương trình đẳng cấp bậc hai, giải theo một trong hai cách ở dạng 4
Đáp số: (thoả mãn điều kiện)
2 1 2 1
x
y
x
y
=
=
= ư
= ư
b) ư + =
0 0
Đây là hệ phương trình đẳng cấp bậc hai
+) Nếu x=0 thì hệ có dạng:
2
2
0
y
y y
Vậy (0,0) là một nghiệm của hệ phương trình
+) Nếu x π 0 Đặt y=kx, thay vào hệ ta có:
2 2
(3 8 4 ) 0
(5 7 6 ) 0
2
k
với 1
2
k = suy ra 1
2
y = x , thay vào hệ ban đầu ta thấy hệ luôn đúng Vậy nghiệm của hệ là 1
) 2
( ,
Bài 2 Giải hệ phương trình
Trang 2a) = +
3
3
2
2
b) ư = +
c)
+ = +
3
3
3 4
2 3 4
2
Các hệ trên là hệ đối xứng loại II
a) = +
3
3
1) 2) Trừ hai phương trình cho nhau ta được:
x3 -y3=2(x-y)+(y-x)=x-y
Ô (x-y)(x2+y2+xy-1)=0
+) x=y thay vào (1) ta có: x3=2x+x=3x Ô
0 3 3
x x x
=
=
= ư
+) x2+y2+xy-1=0, kết hợp với phương trình (1)ta được:
⇔
2 2
3
3
3
3
2 3
3 2
1 0 2
2 ( 2 ) ( 2 ) 1
2
2 ( 1) 0
1 1
x
y x
= ư
⇔
= ư
= ư
⇔
⇔ = ⇔ = ∓
0
Vậy nghiệm của hệ phương trình là : (0,0);(1, 1);( 1,1),( 3, 3);( ư ư ư 3 ư 3)
b) ư = +
Đáp số: (0,0); (-3,-3)
c)
+ = +
3
3
3 4
2 3 4
2
áp dụng cách giải như trên, trừ hai phương trình cho nhau ta được hệ phương trình tương đương
Trang 33
2 2
3 4
(1)
3
=
Giải phương trình (1):
Đặt x= 2t thì (1) có dạng:
+ =
3 3
3 3
3
4
t t
t t
t
)
Vậy hệ có nghiệm duy nhất:
= ư
3 3
3 3
1 2 2 1 2 2
x y
Chú ý: Nếu phương trình bậc ba có dạng:
3 1 3 13
2
a
thì phương trình có nghiệm duy nhất là 1 1
2
a
Bài 3
a) Xác định a để các phương trình sau có nghiệm chung
+ + + =
và x 4 (3 ) 2 0
b)Xác định m để hai phương trình sau có nghiệm chung:
x2+mx+1=0 và x2+x+m=0
c) Chứng minh rằng nếu hai phương trình
x2+ax+b=0 và x2+cx+d=0
có nghiệm chung thì: (b-d)2+(a-c)(ad-bc)=0
d)Xác định m để hai phương trình sau có nghiệm chung
x(x-1)=m+1 và x4+(x+1)2=m2
Giải
( 2) 0 (1)
và x 4 (3 ) 2 0 (2)
Nếu a=0 thì các phương trình 91) và (2) có nghiệm chung là x=0 Vậy a=0 là một giá trị cần tìm
Xét a π 0 Vì x=-2 không là nghiệm của (1) và (2) nên
3 2
(3 4) (1)
a x x
Trang 4Đặt =
+ 2
x
y
khi đó (2) có dạng x(x+2)=y+a
(1) có dạng y(y+2)=x+a
Vậy điều kiện để các phương trình có nghiệm chung là hệ:
+ = +
( 2)
(4) ( 2)
phải có nghiệm
(4 + = +
⇔
2
2
2 )
2
đây là hệ phương trình đẳng cấp bậc hai
Trừ hai phương trình cho nhau ta được hệ tương đương:
=
+ ư =
⇔
ư + + + = = ư ư
+ + ư =
2 2
2
0 2
3 3
y x
x x a
Kết hợp với (3) ta được các phương trình (1) và (2) có nghiệm chung khi và chỉ khi một trong hai hệ sau phải có nghiệm:
=
+ ư = ⇔
+
= ư ư
+
∓
∓
2
1,2 2
0; 0 loại 0
x=-1;a=0 loại
2
3
6 3 3 2
x
y
x
x
a x
y
x
kết luận: với a= 0;a= ∓ 6 3 3thì các phương trình (1) và (2) có nghiệm chung b)Xác định m để hai phương trình sau có nghiệm chung:
x2+mx+1=0 và x2+x+m=0
Xem cách giải ở ví dụ 1, dạng 1 Đáp số: m=-2
c) Chứng minh rằng nếu hai phương trình
x2+ax+b=0 và x2+cx+d=0
có nghiệm chung thì: (b-d)2+(a-c)(ad-bc)=0
đặt x2=y, y ≥ 0, khi đó ta cần hệ sau có nghiệm ( với y ≥ 0)
+ + =
+ + =
0 0
= ư
= ư
= ư
y
x
D c a
D ad bc
D b d
+)Nếu D=0 Ô a=c, khi đó hệ muốn có nghiệm thì b=d,do đó đẳng thức cần chứng minh là hiển nhiên
Trang 5+)Nếu D π 0, ta có
ư
=
=
y
x
Từ điều kiện y=x2 ta có: ư = ư ⇔ ư + ư ư
2
1
2
d)Xác định m để hai phương trình sau có nghiệm chung
x(x-1)=m+1 (1)và x4+(x+1)2=m2 (2)
Đặt x2=u, x+1=v fi u=(v-1)2 (3)
Khi đó
Từ (1) và (2) có: u-v=m; u2+v2=m2
Xét hệ đối xứng loại 1
⇔
ư =
⇔ + + = ⇔ + = ±
1) + = =
⇔
Thế vào (3) ta được m=(0-1)2=1
Với m=1 thì hai phương trình có nghiệm chung là x=-1
2) + = ư tương tự ta được m=-1
ư =
Với m=-1 ta được x=0 là nghiệm chung của (1) và (2)
Kết luận: Hai phương trình có nghiệm chung khi và chỉ khi m=±1
Bài 4 Giải các hệ phương trình
x y z
x y xy z
+ + =
b) + + = +
≥
+ =
2
2 (với a 0) 2
c)
+ + =
+ + =
+ + =
x y z
x y xy z
+ + =
Coi z như tham số, ta được hệ đối xứng loại I đối với x và y
1
2 2
Điều kiện để có nghiệm x,y là
Trang 6
ư +
2 2
2
1 2
2
z
Vậy nếu z π 1 thì hệ vô nghiệm
Với z=1 thay vào hệ ta có x=y=0
Vậy hệ chỉ có nghiệm x=0, y=0,z=1
b)
+ + = +
≥
+ =
2
2 (với a 0) 2
Nhận xét : Nếu x, y là nghiệm của hệ thì
x4 +y4 ≥ 2x2y2
hay 2a4 ≥ 2x2y2 fi xy Ê a2
Do (x+y)2 Ê 2(x2+y2) nên (x+y)4 Ê [2(x2+y2)]2 Ê 4.2(x4+y4)=16a4
Khi đó ta có: + ≤
≤
2
x y a
xy a
Vậy khi a ≥ 0 thì x+y+xy Ê a2+2a, kết hợp với phương trình đầu tiên của hệ ta được hệ
có nghiệm duy nhất x=y=a
c)
+ + =
+ + =
+ + =
2
Đặt xy+yz+zx=b
xyz=c
Ta có đẳng thức + + = ư ⇒ =
( 3 ) 3
Do đó
+ + =
⇔ + + =
0
x y z a
xy yz zx xyz
từ đó hệ có các nghiệm là (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a)
Bài 6 Phương trình bậc ba và Phương trình bậc bốn
I Phương trình bậc ba
Trong phần này sẽ nêu phương pháp giải phương trình bậc ba tổng quát
ax 3 +bx 2 +cx+d=0 (1)
Dạng1. Giải phương trình khi biết một nghiệm x=x 0
Theo giả thiết x=x0 là một nghiệm nên ax03+bx02+cx0+d=0
(1) Ô ax3+bx2+cx+d= ax03+bx02+cx0+d
Ô a(x3-x03)+b(x2-x02)+c(x-x0)=0
Ô (x-x0)[ax2+(ax0+b)x+ax02+bx0+c]=0
1)Nếu D =(ax0+b)2-4a(ax02+bx0+c)<0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất x=x0 2) Nếu D ≥ 0 thì phương trình có các nghiệm:
Trang 7
0 0
2
x
a
=
=
∆
0 0
*Nhận xét:
1)Nếu biết trước x 0 là một nghiệm của phương trình (1) thì điều kiện cần và đủ để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt là:
2 2
2) Nếu x 0 là một nghiệm của phương trình (1) thì có thể phân tích
ax 3 +bx 2 +cx+d=(x-x 0 ).f(x) (2)
Trong đó f(x) là một tam thức bậc hai
3) Nếu x 1 ;x 2 ;x 3 là các nghiệm của phương trình (1) thì ta có phân tích
ax 3 +bx 2 +cx+d=a(x-x 1 )(x-x 2 )(x-x 3 ), từ đó ta có công thức Viet cho phương trình bậc ba:
1 2 2 3 3 1
1 2 3
b
x x x
a c
x x x x x x
a d
x x x
a
+ + = ư
Dạng 2.Phương trình hồi quy bậc ba
Đó là phương trình ax 3 +bx 2 +cx+d (3)
với ac 3 =bd 3 (a ,d π 0) (4)
Từ (4) suy ra
1) Nếu c=0 fi b=0 , khi đó phương trình (3) trở thành ax3+d=0Ô 3 d
x
a
= ư 2) Nếu c π 0fi b π 0 và d ( )c 3
Đặt c 0
x
b = ư thì c=-bx0, d=-ax03
Thay vào phương trình (3) ta được
ax3+bx2-bx0x-ax03=0
Ô a(x3-x03)+bx(x-x0)=0
Ô (x-x0)[ax2+(ax0+b)x+ax02]=0
b
= = là một nghiệm
Nếu D =(ax0+b)2-4a2x02 ≥ 0 thì phương trình còn có nghiệm
( 0 )
2
x
a
Nhận xét: Nếu phương trình bậc ba là hồi quy thì nó luôn có một nghiệm là
0 c
x b
=
Dạng 3
Phương trình có dạng 3 ư = ≤
4x 3x mvới m 1
Trang 8Đặt m= cosa =cos(a ±2p )
cos cos(3 ) 4 cos 3 cos
Do đó phương trình có ba nghiệm là
α α ± π
2 cos ; cos
Dạng 4
Phương trình dạng 3 ư = >
4x 3x mvới m 1 Trước hết dễ thấy rằng phương trình
3 ư = 3 + ≠
3
2
luôn có nghiệm là =1( +1)
2
a
Mặt khác phương trình 3 ư = >
với
4 3 1 chỉ có một nghiệm duy nhất
Thậ vậy, phương trình không có nghiệm trong [-1,1] vì nếu trái lại x=x0 Œ [-1,1] là nghiệm thì đặt x= cos a Khi đó
3 ư = α ≤ ≠ >
4x 3x cos3 1 m (vì m 1)
Giả sử phương trình có nghiệm x=x1 với x1 > 1
Khi đó 4x13-3x1=m Vậy ta có phương trình:
4x3-3x=4x13-3x1
Ô 4(x3-x13)-3(x-x1)=0
Ô (x-x1)[4x2+4x1x+4x12-3]=0
Có D' =4x12-4(4x12-3)=12-12x12< 0 do x1 > 1
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=x1 ( chú ý rằng một phương trình bậc ba luôn
có ít nhất một nghiệm
3
( ) với
2
a
2 1
Khi đó theo (*) nghiệm duy nhất x1 của phương trình là:
= 1 + 1 = 1 3 + 2 ư + 3 ư 2 ư
Dạng 5:
Phương trình dạng: 4x 3 +3x=m
Nhận xét rằng nếu x=x0 là nghiệm của phương trình thì nghiệm đó là duy nhất
Thậy vậy, xét x>x0, khi đó
4x3+3x>4x03+3x0=m nên x không là nghiệm
Tương tự với x<x0 cũng không là nghiệm
Đặt =1( ư1
2
a) , khi đó dễ dạng kiểm tra rằng: 3 + = 3 ư
3
2
a
Từ đó suy ra cách giải như sau:
3
( ) với a
2
a
2 1
Khi đó theo (**) nghiệm duy nhất của phương trình đó là:
Trang 9
= 1 ư 1 = 1 3 + 2 + + 3 ư 2 +
Dạng 6: Dạng tổng quát
a t 3 +bt 2 +ct+d=0
Bằng cách chia cả hai vế cho a, ta có thể coi a=1 Viết lại phương trình dưới dạng
t 3 +at 2 +bt+c=0
1) Đặt = ư
3
a
t y , khi đó có thể viết phương trình dưới dạng:
3
trong đó p= ;
0
Nếu p=0 thì phương trình có nghiệm duy nhất: x = 3 q
Nếu p>0.Đặt = 2
3
p
y x
Khi đó phương trình sẽ có dạng :4x 3 -3x=m với 3 3
2
q m
p p
= đó là phương trình dạng 4
Nếu p<0, đặt 2
3
p
y= x ư
, khi đó phương trình sẽ có dạng: 4x 3 +3x=m đó là phương trình dạng 5
II Phương trình bậc bốn
Trong phần này sẽ đưa ra phương pháp giải phương trình bậc bốn với hệ số tuỳ
ý Các dạng phương trình đặc biệt đã được đề cập ở bài trước ở đây đưa ra cách giải những phương trình tổng quát hơn
1.Phương trình x4=ax2+bx+c (1)
Viết lại phương trình đã cho dưới dạng:
(x2+ a )2=(a+2a)x2+bx+c+a2 (2)
Chọn a để vế phải có D =0 tức là b2-4(a+2a)(c+a2)=0 Luôn có số a như vậy vì đó là một phương trình bậc ba đối với ẩn a Khi đó vế phải là bình phương của một nhị thức và ta có thể đưa phương trình (2) về tích của hai phương trình bậc hai
2 Phương trình tổng quát :t4+at3+bt2+ct+d=0
Đặt
4
a
t= ưx , thay vào phương trình, sau khi biến đổi ta sẽ được phương trình dạng
x4=Ax2+Bx+C áp dụng cách giải ở trên ta tìm được nghiệm của phương trình đã cho
III Bài tập tự giải
Bài 1 a) Giải phương trình x4=3x2+10x+4
b) x3=6x2+1
Bài 2 Giải phương trình a(ax2+bx+c)2+b(ax2+bx+c)+c=x
Bài 3 (ĐH Ngoại thương-2000).Giải phương trình (x2+3x-4)2+3(x2+3x-4)=x+4
Bài 4.Giải hệ phương trình
Trang 103
3
2 2
2 2
b)
3
3
3 3
3 3
= −
c)
0 3 4 1
8
x y z
xy yz zx
xyz
+ + =
+ + = −
Bµi 5 Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh
4x -3x=
2
4
c)x4=4x+1