MỤC TIÊU: - HS nắm vững các dạng toán về phương trình bậc hai: dấu của các nghiệm; mối quan hệ giữa các nghiệm; về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn - Rèn luyện kỷ năng giải các bài toán
Trang 1Chủ đề 3: PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH (06 tiết)
I MỤC TIÊU:
- HS nắm vững các dạng toán về phương trình bậc hai: dấu của các nghiệm; mối quan hệ giữa các nghiệm; về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Rèn luyện kỷ năng giải các bài toán có tham số m và các điều kiện của nghiệm, Giải các hệ phương trình
- Biết cách chứng minh một phương trình bậc hai luôn luôn có nghiệm và biết tìm các hệ thức giữa các nghiệm độc lập đối với m
II NỘI DUNG:
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN
1) Hệ phương trình bậc nhất một ẩn:
a x b y c d
Các cách giải:
*) Phương pháp đồ thị:
- Hệ (I) vô nghiệm <=> (d) // (d’) <=>
a b
a b
- Hệ (I) có một nghiệm duy nhất <=> (d) cắt (d’) <=>
a b c
- Hệ (I) có vô số nghiệm <=> (d) (d’) <=>
a b c
*) Giải bằng đại số:
- Phương pháp thế
- Phương pháp cộng đại số
2) Phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 (a 0)
Các cách giải phương trình bậc hai một ẩn:
a) Công thức nghiệm: = b 2 – 4ac
> 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -b +
2a
; x2 = -b -
2a
= 0 phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = b
2a
< 0 phương trình vô nghiệm
b) Công thức nghiệm thu gọn: ’ = b’ 2 – ac
’ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -b' + '
a ; x2 =
-b' - ' a
’ = 0 phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = b'
a
’ < 0 phương trình vô nghiệm
c) Nhẩm theo hệ số a, b, c:
- Nếu phưong trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) có a + b + c = 0 thì x1 = 1; x2 = c
a
- Nếu phưong trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) có a - b + c = 0 thì x1 = - 1; x2 = - c
a
2 Định lý Vi ét:
a) Nếu p.trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có nghiệm x1; x2 thì tổng và tích các nghiệm đó là:
Trang 2S = x1 + x2 = -b
a ; P = x1.x2 = c
a b) Nếu hai số x1; x2 có S = x1 + x2 và P = x1.x2 thì hai số đó là nghiệm của phương trình:
x2 – Sx + P = 0
3 C.minh một phương trình bậc hai luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m
- Bước 1: Lập
- Bước 2: Biến đổi về dạng: = A2 0 với mọi m
hoặc = A2 + k > 0 với mọi m
4 Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn một hệ thức nào đó ta tiến hành:
Lập
Phương trình có nghiệm khi 0 Từ đó suy ra điều kiện của m
Áp dụng định lý Vi ét tính S = x1 + x2 ; P = x1.x2
Biến đổi đề bài thành một dãy các phép tính có chứa tổng và tích
Thay S và P vào suy ra giá trị của m
Đối chiếu điều kiện và kết luận
5 Tìm một hệ thức giữa các nghiệm độc lập đối với m
Khử m từ S và P ta sẽ được hệ thức cần tìm
6 Một số hệ thức khác: Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0) có:
- Hai nghiệm trái dấu a.c < 0 hoặc 0
0
P
- Hai nghiệm đều dương
0
S > 0
P > 0
- Hai nghiệm đều âm
0
S < 0
P > 0
- Một số công thức cần lưu ý: x1 + x2 = (x1 + x2)2 – 2x1.x2;
(x1 - x2 )2 = (x1 + x2)2 – 4x1.x2; x1 + x2 = (x1 + x2)3 – 3x1.x2(x1 + x2)
B LUYỆN TẬP:
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
b)
3
1
4
x y
c)
2
3
4
1
x y
x y x
Giải ra ta được: (x; y) = (11; -3) b)
1 4
Giải ta được (x; y) = (10 ; 4
7 7
)
Trang 3c)
2
1
x y
Giải ra ta được (x; y) = (2; 5) Bài 2: Cho hệ phương trình:
2 10
ax ay
a x y
a) Giải hệ phương trình khi a = -2
b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm
a) khi a = -2 thay vào hệ PT đã cho ta được hệ PT:
x y
x y
Giải ra ta được (x; y) = (-1; 3)
ax ay
a x y
ax ay
a a x ay
Trừ hai PT theo vế, ta được: [a – 2a(1 – a)].x = -10
<=> (2a2 – a).x = -10 (1) Phương trình 91) có nghiệm <=> (2a2 – a) 0 0; 1
2
Vậy với 0; 1
2
a a thì hệ p.trình đã cho có nghiệm Bài 3: Xác định giá trị của a, b để hệ phương
trình 4 5 10
có nghiệm x = 4; y = 3
Vì x = 4; y = 3 là nghiệm của hệ PT đã cho, nên thay vào ta được hệ PT:
Giải ra ta được a = 2 27 ; 2 1
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a) 7x2 -12x + 5 = 0;
1
c) x2 - 2(1+ 3)x + 2 3 = 0
d) x2 - ( 2 3 )x + 6 = 0
a) 7x2 -12x + 5 = 0 (a = 7; b = -12; c = 5)
Ta thấy a + b + c = 7 + (- 12) + 5 = 0 Vậy nghiệm phương trình x1 = 1; x2 = 5
7
1
(1) ĐK: x 0; x -1
(1) <=> x2 + (x + 1)2 = -2x(x + 1) <=> 4x2 + 4x + 1 = 0 Giải ra ta được x1 = x2 = 1
2
c) x2 - 2(1+ 3)x + 2 3 = 0 (a = 1; b = - 2(1+ 3); b’ = - (1+ 3); c = 2 3
’ = b’2 – ac = [- (1+ 3)]2 - 2 3 = 4 > 0 => ' 2
x1 = 3 + 3; x2 = 3 - 1 Bài 5: Giải các phương trình sau:
a)
2
b) (x2 – 6x + 9)2 + x2 – 6x – 3 = 0
c) x 8 2 x 7 x 8 2 x 7 4
d) (8x + 7)2.(4x + 3).(x + 1) = 9
2
a) Đặt t = 1
2
x , ta có phương trình t2 – 10t + 9 = 0 Giải ra ta được t1 = 1; t2 = 9
- Với t1 = 1 thì 1
2
x = 1 => x = 1
2
- Với t2 = 9 thì 1
2
x = 9 => x = 81
2 b) Đặt t = x2 – 6x + 9 ta có phương trình t2 + t - 12 = 0 Giải ra ta được t1 = 3; t2 = -4
Trang 4Kết luận:
c) x 8 2 x 7 x 8 2 x 7 4 (đk: x -7)
*) x 7 1< 0 <=> x + 7 < 1 <=> x < -6
Do đó -7 x < -6, ta có: x 7 1 x 7 1 4
<=> 0 = 2 => phương trình vô nghiệm
*) x 7 1 0 <=> x + 7 1 <=> x -6
ta có: x 7 1 x 7 1 4 x 7 2 <=> x = -3 Vậy phương trình có nghiệm là x = -3
d) (8x + 7)2.(4x + 3).(x + 1) = 9
2
<=> 16.(8x + 7)2.(4x + 3).(x + 1) = 16.9
2
<=> (8x + 7)2.(8x + 6).(8x + 8) = 72 Đặt t = 8x + 7, ta có PT:
t2.(t – 1)(t + 1) = 72 <=> t4 – t2 – 72 = 0 Giải ra ta được t = 3, khi đó x1 = 1 ; 2 5
Bài 6: Cho phương trình
x2 + (2a – 5)x – 3b = 0
Xác định a; b để phương trình có hai
nghiệm là x1 = 2; x2 = -3
Thay x1 = 2; x2 = -3 lần lượt vào phương trình, ta được:
Bài 7: Chứng minh rằng phương trình: x2 –
2(m + 1)x + 2m – 3 luôn có hai nghiệm phân
biệt với mọi m R
Phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m – 3 = 0
’ = [-(m+1)]2 – 2m + 3 = m2 + 4 > 0 với mọi m Điều này chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m R
Bài 8: Cho phương trình:
(m – 1)x2 – 2mx + m + 1 = 0 (m 1)
a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn luôn có
hai hai nghiệm phân biệt với mọi m 1
b) Không giải phương trình, hãy xác định giá
trị của m để tích hai nghiệm bằng 3 Từ đó
tính tổng hai nghiệm ấy
a) Phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m + 1 = 0
’ = (-m)2 – (m – 1)(m + 1) = m2 – m2 + 1 = 1 > 0 với mọi m Điều này chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m 1
b) Theo hệ thức viet, ta có:
1 2
1 2
2 1 1
1
m
x x
m m
x x
m
theo đề bài x1.x2 = 3 ta suy ra 1 3
1
m m
<=> m = 2 Với m = 2, ta lại có x1 + x2 = 4
Bài 9: Cho phương trình
x2 + (k – 1)x – k = 0
a) Xác định k để phương trình có nghiệm
kép Tìm nghiệm kép đó
b) Xác định k để phương trình có hai
nghiệm đều dương
a) = (k – 1)2 + 4k = = (k + 1)2 Phương trình có nghiệm kép <=> = 0 <=> k = -1 Khi đó nghiệm kép là: x1 = x2 = 1
b) Theo hệ thức Viet, ta có: 1 2
1 2
( 1)
x x k
Phương trình có hai nghiệm đều dương <=>
Trang 51 2
1 2
0
k
k
x x k
Bài 10: Cho phương trình:
2x2 – 3mx – 2 = 0 a) CMR rằng với mọi giá trị của m thì
phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương
trình Tìm giá trị của m để S = x1 + x2 đạt
giá trị nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó
c) Tính 3 3
1 2
1 1
x x theo m
a) = (-3m)2 + 16 = 9m2 + 16 > 0 với mọi m Điều này chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt b) Theo hệ thức Viet, ta có: 1 2
1 2
3 2
m
x x
x x
Khi đó S = x1 + x2 = (x1 + x2)2 – 2 x1 x2
= 2 3
2
m
+ 2 2 Dấu “=” xảy ra khi
2 3
2
m
= 0 <=> m = 0 Vậy min S = 2 khi m = 0
c) Ta có:
Bài 11: Cho phương trình
x2 – 2(m – 1)x + m – 3 = 0
a) Giải phương trình với m = 4
b) Chứng minh rằng phương trình luôn
có nghiệm với mọi m
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai
nghiệm không phụ thuộc vào m
d) Xác định giá trị của m sao cho phương
trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị
tuyệt đối và trái dấu nhau
a) Khi m = 4, giải ra ta được nghiệm PT:
x1 = 3 2 2 ; x2 = 3 2 2 b) ’ = (m – 1)2 – (m – 3) = = m2 – 3m + 4
= 3 2 7
m với mọi m Điều này chứng tỏ PT luôn có hai nghiệm với mọi m c) Theo hệ thức Viet, ta có: 1 2
1 2
x x m
Hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m là: x1 +
x2 - 2 x1.x2 = 2(m – 1) – 2(m – 3) = 4 d) Phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau khi và chỉ khi:
1 2
1 2
' 0
0
x x
Bài 12: Cho phương trình:
x2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0
a) Giải phương trình khi m = 5
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai
nghiệm phân biệt với mọi m
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái
dấu
d) Chứng minh rằng biểu thức
S = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) không phụ thuộc
vào m
a) Giải ra ta được x1 = 6 35; x2 = 6 35 b) ’ = (m + 1)2 – (m – 4) = = m2 + m + 5
= 1 2 19
m với mọi m Điều này chứng tỏ PT luôn có hai nghiệm với mọi m c) phương trình có hai nghiệm trái dấu <=> a.c < 0
<=> m – 4 < 0 <=> m < 4 d) Theo hệ thức Viet, ta có: 1 2
1 2
x x m
Khi đó: S = x1(1 – x2) + x2(1 – x1)
= x1 + x2 - 2 x1.x2 = 2m + 2 – 2m + 8 = 10
Trang 6Bài 13: Cho phương trình:
(2m – 1) x2 – 2(m + 4) x + 5m + 2 = 0
a) Giải phương trình khi m = - 1
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm
a) Giải ra ta được x = 1 b) Ta có: ’ = (m + 4)2 – (2m – 1).(5m + 2) =
= -(9m2 - 9m – 18) Phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi:
2
0
m a
C BÀI TẬP VỀ NHÀ:
Bài 1: Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m + 1 = 0 với m là tham số:
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m 1
b) Xác định giá trị của m để phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của phương trình
c) Tìm một hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc m
d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức: 0
2
5 x
x x
x 1
2 2
1
HD: a) Δ ’ = m 2 – (m – 1)(m + 1) = 1 > 0
b) Áp dụng định lý Viét ta có: x 1 x 2 = mm 11
= 5 m = 23 Khi đó: x 1 + x 2 = m2m1
= 6 c) x 1 + x 2 = m2m1
= m2m1
– 1 + 1 = 2m-(m-1) +1= m+1 +1=
m-1 m-1 x 1 x 2 + 1 Vậy hệ thức cần tìm là: x 1 x 2 – (x 1 + x 2 ) + 1 = 0
2
5 x
x
x
x
1
2
2
1
2(x 1 + x 2 ) + 5x 1 x 2 = 0 2[(x 1 + x 2 ) 2 – 2x 1 x 2 ] + 5x 1 x 2 = 0
2(x 1 + x 2 ) 2 + x 1 x 2 = 0 2
1 m 1 m
m 4
2 2
= 0 9m 2 = 1 m = 31
Bài 2: Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 – 4m + 5 = 0
a) Định m để phương trình có nghiệm
b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình Tính x1 + x2 theo m
c) Tìm m sao cho x1 + x2 = 12
HD:a) Ta có ’ = (m + 1) 2 – m 2 + 4m – 5 = 6m – 4
Phương trình có nghiệm khi ’ 0 m 2
3
b) Aùp dụng hệ thức Viet ta có S = x 1 + x 2 = 2(m + 1); P = x 1 x 2 = m 2 – 4m + 5
x 1 + x 2 = (x 1 + x 2 ) 2 – 2x 1 x 2 = 12
<=> 4(m + 1) 2 – 2m 2 + 8m – 10 = 12 <=> 2m 2 + 16m – 6 = 12
<=> m 2 + 8m – 9 = 0 <=> m 1 = 1; m 2 = -9 (loại)
Bài 3: Cho phương trình x2 + 2 mx – m2 + m – 1 = 0
a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m Xác định dấu của các nghiệm b) Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình Tìm m để x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất
HD: a) Vì phương trình có hệ số a = 1 > 0 và c = – m 2 + m – 1 = -(m - 1
2) 2 -
3
4 < 0
nên ac < 0 với mọi m Vậy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu
b) Aùp dụng hệ thức Viet ta có: S = x 1 + x 2 = - 2m; P = x 1 x 2 = – m 2 + m – 1
x 1 + x 2 = (x 1 + x 2 ) 2 – 2x 1 x 2 = 2m 2 + 2m 2 – 2m + 2= 4m 2 – 2m + 2
= (m - 1
2) 2 +
7
7
4 với mọi m.Vậy giá trị nhỏ nhất của x 1 + x 2 là 7
4 khi m =
1 2 Bài 4 : Cho phương trình: x2 - 2x - m2 - 4 = 0
Trang 7a- Chứng tỏ phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2.
b- Tìm m sao cho phương trính nghiệm x = - 2 và tính nghiệm kia
c- Tìm m sao cho : + ) x1 + x2 = 20
+) x1 = -2x2 +) x1 - x2 = 10
Bài 5 : Cho phương trình: x2 - 2(m+1)x + m2 + 2 = 0 a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm số b) Với giá trị nào của m thì hai nghiệm số x1 và x2 của phương trình nghiệm đúng hệ thức x1 - x2 = 4 Bài 6 : Cho phương trình : x2 + 3x + 2 - m = 0 (1) a) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có một nghiệm là 3 b) Giải phương trình (1) khi m = 6 c) Xác định m để hai nghiệm x1 , x2 của phương trình ( 1) thỏa mãn hệ thức:x1 + x2 = 3 d) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu Bài 7 : Cho phương trình có ẩn số x ( m là tham số ) x2 - mx + m - 1 = 0 a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1;x2 với mọi m Tính nghiệm kép ( nếu có) của phương trình và giá trị của m tương ứng b) Đặt A = x1 + x2 - 6x1x2 +) Chứng minh A = m2 - 8m + 8 +) Tìm m sao cho A = 8 +) Tìm gia trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng RÚT KINH NGHIỆM :