Ứng dụng của đạo hàm để giải quyết một số bài toán hàm số trong chương trình toán lớp 12

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN LỚP 12 .... Vận dụng đạo hàm để giải một số bài toán về hàm số trong chương trình Toán lớp 12 là một nội

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận được hoàn thành tại Trường Đại học Tây Bắc Trong quá trình làm khóa luận tốt nghiệp tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ để hoàn thành khóa luận

Trước tiên tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Giảng viên chính

TS Hoàng Ngọc Anh đã tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm cho tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp này

Xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô Khoa Toán – Lý – Tin Trường Đại học Tây Bắc, những người đã truyền đạt kiến thức quý báu cho tôi trong suốt thời gian tôi thực hiện khóa luận

Sau cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia các bạn sinh viên lớp K55 Đại học sư phạm Toán đã luôn đồng hành, giúp đỡ tôi trong quá trình làm khóa luận

Một lần nữa, tôi xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, ngày 10 tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Phan Thị Minh Ngọc

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn khóa luận 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu 1

4.1 Đối tượng nghiên cứu 1

4.2 Phạm vi nghiên cứu 1

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc đề tài 2

NỘI DUNG 2

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 3

1.1 Đạo hàm 3

1.1.1 Định nghĩa 3

1.1.2 Quy tắc tính đạo hàm 4

1.2 Ứng dụng của đạo hàm để nghiêm cứu về hàm số 4

1.2.1 Sự biến thiên của hàm số 4

1.2.2 Cực trị của hàm số 6

1.2.3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 7

1.2.4 Đường tiệm cận 8

1.2.5 Sự tương giao 8

1.2.6 Tiếp Tuyến 9

Chương 2 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN LỚP 12 11

2.1 Bài toán tìm sự biến thiên của hàm số 11

2.1.1 Dạng 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số 11

2.1.2 Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu 15

2.2 Bài toán cực trị của hàm số 18

2.2.1 Dạng 1: Tìm điểm cực đại, cực tiểu của hàm số 18

2.2.2 Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đạt cực đại, cực tiểu 22

2.3 Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 25

2.3.1 Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 25

2.3.2 Dạng 2: Bài toán vận dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 29

2.4 Đường tiệm cận 32

2.4.1 Dạng 1: Tìm phương trình tiệm cận ngang, tiệm cận đứng 32

2.4.2 Dạng 2: Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang

thỏa mãn điều kiện cho trước 36

2.5 Sự tương giao 39

2.5.1 Dạng 1: Tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số 39

2.5.2 Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hai hàm số có giao điểm 42

2.6 Tiếp tuyến 47

KẾT LUẬN 51

TÀI LIỆU THAM KHẢO 52

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn khóa luận

Trong chương trình toán phổ thông hiện nay đặc biệt là chương trình toán lớp 12 “Đạo hàm” là một phần kiến thức không thể thiếu đối với mỗi học sinh Việc nắm vững các kiến thức về đạo hàm như: định nghĩa đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm, các công thức tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm vào giải toán giúp học sinh giải quyết các bài toán hàm số một cách đơn giản và nhanh gọn, từ

đó phát triển được tư duy của học sinh và bồi dưỡng năng lực cho các em

Vận dụng đạo hàm để giải một số bài toán về hàm số trong chương trình Toán lớp 12 là một nội dung trọng tâm trong ôn thi THPT Quốc gia Với mong muốn làm rõ các khía cạnh có thể khai thác được của đạo hàm để giải các bài toán thường gặp trong chương trình Toán lớp 12, qua đó xây dựng cho học sinh những phương pháp chủ đạo và hình thành những kỹ năng cơ bản trong việc giải quyết các bài toán về Hàm số, phục vụ tốt cho việc dạy và học môn Toán lớp 12,

vì vậy, tôi chọn khóa luận: “Ứng dụng của đạo hàm để giải quyết một số bài toán hàm số trong chương trình Toán lớp 12”

2 Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở tổng hợp lại các kiến thức cơ bản về đạo hàm, sử dụng các ứng dụng của đạo hàm để giải một số bài toán hàm số thường gặp trong chương trình Toán lớp 12

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tổng hợp lại các kiến thức cơ bản về đạo hàm;

- Sử dụng các ứng dụng của đạo hàm để giải một số bài toán hàm số thường gặp trong chương trình Toán lớp 12

4 Đối tƣợng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

4.1 Đối tƣợng nghiên cứu

Một số bài toán hàm số thường gặp trong chương trình Toán lớp 12

4.2 Phạm vi nghiên cứu

Ứng dụng của Đạo hàm để giải quyết một số bài toán hàm số trong chương trình Toán lớp 12

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu

NỘI DUNG

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Đạo hàm

1.1.1 Định nghĩa

a) Đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số y f x( ) xác định trên khoảng ( ; )a b và x0(a;b) Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

0

0 0

( ) ( )lim

0

( ) ( )'( ) lim

b) Đạo hàm trên một khoảng

Hàm số y f x( ) được gọi là có đạo hàm trên khoảng ( ; )a b nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x thuộc khoảng đó

c) Đạo hàm bên trái, đạo hàm bên phải

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) bên phải

0

0 0

( ) ( )lim

Tương tự, giới hạn (hữu hạn) bên trái (nếu tồn tại)

0

0 0

( ) ( )lim

gọi là đạo hàm bên trái của hàm số y f x( ) tại xx0 và kí hiệu là f x( 0)

Các đạo hàm bên phải và bên trái được gọi chung là đạo hàm một bên

d) Đạo hàm trên một đoạn

Hàm số y f x( ) được gọi là có đạo hàm trên đoạn  a b nếu thỏa mãn ;

các điều kiện sau:

Có đạo hàm tại mọi x a b;

Có đạo hàm bên phải tại x a

Có đạo hàm bên trái tại x b

u

2

1tan

cos

u u

sin

u u

 

1.2 Ứng dụng của đạo hàm để nghiên cứu về hàm số

1.2.1 Sự biến thiên của hàm số

a) Kiến thức cơ sở

- Điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f x'( )0 với mọi xI thì hàm số f đồng biến trên khoảng I

b) Nếu f x'( )0 với mọi xI thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I

c) Nếu f x'( )0 với mọi xI thì hàm số f không đổi trên khoảng I

f x acb cùng dấu với a 0 trái dấu với a

- Dấu của tam thức bậc hai

Cho f x( )ax2 bxc a( 0), b2 4ac

Nếu  0 thì f x( ) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x

Nếu  0 thì f x( ) luôn cùng dấu với hệ số a, trừ khi

2

b x a

Bước 3: Sắp xếp các điểm x i theo thứ tự tang dần và lập bảng biến thiên Bước 4: Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Khi đó f x( 0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f

b) x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng ( ; )a b chứa điểm x0 sao cho ( ; )a b D và f x( ) f x( 0) với mỗi

   ; \ 0

x a b x

Khi đó f x( 0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f

Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị

Giá trị cực địa và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị

- Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Giả sử hàm số y f(x) lien tục trên khoảng Kx0 h x; 0 h và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ x0 với h0

a) Nếu f x'( 0)0 trên khoảng x0 h x; 0 và f x'( 0)0 trên khoảng

x x0; 0 h thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f x( )

b) a) Nếu f x'( 0)0 trên khoảng x0 h x; 0 và f x'( 0)0 trên khoảng

x x0; 0 h thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f x( )

b) Phương pháp giải

Để giải các bài toán về cực trị của hàm ta áp dụng một trong hai Quy tắc tìm cực trị sau:

Quy tắc 1:

Bước 1: Tìm tập xác định

Bước 2: Tính f x'( ) Tìm các điểm mà tại đó f x'( ) bằng không hoặc không xác định

Bước 3: Lập bảng biến thiên

Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị

f x m với mọi x thuộc D và tồn tại x0D sao cho f x( 0)m

- Định nghĩa đường tiệm cận ngang

Cho hàm số y f x( ) xác định trên khoảng vô hạn (là khoảng dạng

a;, hoăc  ; ) Đường thẳng yy0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y f x( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn lim ( ) 0, lim ( ) 0

- Định nghĩa đường tiệm cận đứng

Đường thẳng xx0 là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y f x( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn

- Định nghĩa đường tiệm cận xiên

Đường thẳng yaxb a, 0 được gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y f x( ) nếu

- Giao điểm của hai đồ thị

Các đồ thị của hai hàm số y f x( ) và yg x( ) cắt nhau tại điểm

Số nghiệm của phương trình trên bằng số giao điểm của hai đồ thị

b) Phương pháp giải

Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm của hai hàm số đã cho Bước 2: Giải phương trình hoành độ giao điểm tìm được x và từ đó suy ra hoành độ y và tọa độ giao điểm

Bước 3: Kết luận số nghiệm của phương trình hoành độ dạo điểm là số giao điểm cần tìm

1.2.6 Tiếp Tuyến

a) Kiến thức cơ sở

- Tiếp tuyến của đường cong

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường cong ( )C Giả sử ( )C là đồ thị hàm số y f x  và M x y( ;0 0); f x( 0) ( ) C Kí hiệu M x f x( ; ( )) là một điểm di chuyển trên ( )C Đường thẳng M M0 là một cát tuyến của (C)

Nhận xét rằng khi xx0 thì M x f x( ; ( ))di chuyển trên ( )C tới điểm

- Phương trình tiếp tuyến

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C của hàm số y f x( ) tại điểm

b) Phương pháp giải

Bài toán 1: Tiếp tuyến tại điểm M x y( ; )thuộc đồ thị hàm số

Bước 1: Tính đạo f x'( ) hàm của hàm số y f x( )

Bước 2: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là f x'( 0)

Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của M có dạng tổng quát là:

y f x xx y

- Bài toán 2: Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

Bước 1: Gọi ( ) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k

Bước 2: Giả sử M x y( ;0 0)là tiếp điểm Khi đó x0 thảo mãn f x'( 0)k(*) Bước 3: Giải (*) tìm ra x0 Từ đó suy ra y0  f x( 0)

Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến

- Bài toán 3: Tiếp tuyến đi qua một điểm

Cho hàm số ( ) :C y f x( ) và điểm A a b( ; ), Viết phương trình tiếp tuyến với (C) và đi qua điểm A

Bước 1: Gọi ( ) là đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k Khi đó

Chương 2 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI

TOÁN HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN LỚP 12

2.1 Bài toán tìm sự biến thiên của hàm số

2.1.1 Dạng 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

x  2 0  y’ + 0 – 0 +

y

4 

 0

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y nghịch biến trên khoảng 2;0

Vậy hàm số yx3 3x2 nghịch biến trên khoảng 2;0





 đồng biến trên các khoảng (;1);(1;)

Ví dụ 4: Cho hàm số y x2 2x3 , tìm khoảng nghịch biến của hàm số?

Lời giải

Tập xác định: D

y

 

2

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng ;1

Vậy hàm số y x2 2x3 nghịch biến trên khoảng ;1

yx  x  x Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng 1;3

B Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 1

C Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 1 ; 3;  

D Hàm số chỉ đồng biến trên khoảng 3;

2.1.2 Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu

yx  x mx luôn đồng biến trên thì phương trình (1) phải

vô nghiệm khi:    ' 0 ( 3)2 3m  0 9 3m  0 m 3

Vậy để hàm số yx33x2 mx1 luôn đồng biến trên thì m > 3

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y x3 3mx5 nghịch biến trong khoảng 1;1

Để hàm số đồng biến trên khoảng 1;1 thì m  1 m 1

Vậy với m = 1 thì hàm số yx33mx5 nghịch biến trong khoảng 1;1

Ví dụ 3: Tìm điều kiện để hàm số

2

x m y

x y

Đáp án: C

Câu 7: Các giá trị thực nào của tham số m để hàm số

1

x m y

x





 đồng biến trên từng khoảng xác định của nó

x m





 nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó

A 5  m 5 B 5   m 1 C 5  m 5 D m 1

Đáp án: B

2.2 Bài toán cực trị của hàm số

2.2.1 Dạng 1: Tìm điểm cực đại, cực tiểu của hàm số

Từ bảng biến thiên ta thấy x 1 là giá trị cực tiểu của hàm số

Vậy x 1 là điểm cực tiểu của hàm số yx4 2x2 1

Ví dụ 3: Tìm điểm cực tiểu của hàm số y x2  x 1

Lời giải

Tập xác định: D

x  1

2  y’  0 +



Đáp án: C

Câu 5: Khẳng định nào sau đây là đúng về hàm số: yx4 4x2 2

A Đạt cực tiểu tại x0 B Có cực đại và cực tiểu

C Có cực đại, không có cực tiểu D Không có cực trị

Đáp án: A

Câu 6: Hàm số

4

2 53

A Có điểm cực đại là A(1;0) B Có điểm cực tiểu là B(3;0)

C Không có cực trị D Có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu

Đáp án: B

Câu 8: Giá trị cực tiểu của hàm số: y 2x3 x2 4x10 là:

Vì x x1, 2là hai điểm cực trị nên x x1, 2 là nghiệm của phương trình (2) Theo định

2.3 Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

2.3.1 Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

C M m 4 D M  m 1 2 3

Đáp án: B

2.3.2 Dạng 2: Bài toán vận dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Ví dụ 1: Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5 2 tìm diện tích lớn nhất của tam giác đó

2

5 (TM§K)1

x x

x x

Ví dụ 2: Người ta muốn mạ vàng cho một cái hộp có đáy hình vuông không nắp

có thể tích là 4 lít Tìm kích thước của hộp để lượng vàng dùng mạ là ít nhất Giả sử độ dày của lớp mạ tại mọi nơi trên mặt ngoài hộp là như nhau

Lời giải

Gọi một cạnh của đáy của hộp là x x( 0) và chiều cao của hộp là h h( 0) ( )

S x là diện tích phần hộp cần mạ

Khi đó khối lượng vàng dùng để mạ tỉ lệ thuận với diện tích phần hộp cần mạ

Ta có: S x( )S§¸y S xung quanh x2 4xh(1)

Theo giả thiết ta có: V 4 x h2 4 h 42

Câu 2: Tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất, nếu tổng của cạnh góc vuông

và cạnh huyền bằng số a a( 0), thì cạnh góc vuông của tam giác đó là:

Câu 3: Một hình chữ nhật có diện tích là 100 thì chu vi hình chữ nhật đó nhỏ

nhất khi chiều rộng x và chiều dài y tương ứng là:

A x25;y4 B x y 10 C x20;y5 D x50;y2

Đáp án: B

Câu 4: Người ta cần làm một hộp theo dạng một khối lăng trụ đều không nắp

với thể tích lớn nhất từ một miếng tole hình vuông có cạnh là 1 Thể tích của hộp cần làm là:

Câu 5: Một nhà máy sản xuất máy tính vừa làm ra x sản phẩm máy tính và bán

với giá p100x cho một sản phẩm Biết rằng tổng chi phí để làm ra x sản phẩm là C x( )300020x Vậy nhà máy cần sản xuất và bán bao nhiêu sản phẩm để thu được lợi nhuận tốt nhất

Đáp án: A

Câu 6: Một công ty đánh giá rằng sẽ bán được N lô hàng nếu tiêu phí hết số tiền

là x vào việc quảng cáo , N và x liên hệ với nhau bằng biểu thức

2

N x   x x , 0 x 30 (x tính theo đơn vị triệu đồng) Số lô hàng lớn nhất mà công ty có thể bán ra sau đợt quảng cáo và số tiền dành cho việc quảng cáo đó lần lượt là:

 Khẳng định nào sau đây đúng?

A Biểu thức S không có giá trị lớn nhất B min 3

2

S

C Biểu thức S không có giá trị nhỏ nhất D maxS 1

  Khẳng định nào sau đây đúng?

A Biểu thức S không có giá trị lớn nhất B minS 6

C Biểu thức S không có giá trị nhỏ nhất D maxS2

x x





 là:

y  là tiệm cận ngang của (C)

B Đường thẳng y 3 là tiệm cận ngang của (C)

Câu 6: Đường thẳng x1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nào sau đây?

x y





 có:

A Có tiệm cận đứng là x 2 và không có tiệm cận ngang

B Có tiệm cận ngang là y 2 và không có tiệm cận đứng

C Có tiệm cận đứng là y 2 và tiệm cận ngang là x2

D Có tiệm cận đứng là x 2 và tiệm cận ngang là y2

Đáp án: D

Câu 9: Cho hàm số 3 1

x y x





 khẳng định nào sau đây đúng?

A Đồ thị hàm số trên có tiệm cận ngang là 3





 Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số là: