Qua điểm M thuộc nửa đường trũn kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt cỏc tiếp tuyến Ax và By lần lượt tại E và F.. Chứng minh AEMO là tứ giỏc nội tiếp.. Chứng minh tứ giác CKID nội tiếp.. Từ câu 1 và
Trang 1KẾ HOẠCH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 9
Năm học 2010-2011
Buổi 1
Nhắc lại lý thuyết đã học ở lớp 8
Buổi 2
Nhắc lại lý thuyết đã học ở lớp 9
Buổi 3-4
Chuyên đề 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Buổi 5-6
Chuyên đề 2: BẤT ĐẲNG THỨC CÔ – SI
Buổi 7-8
Chuyên đề 3: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Buổi 9-10
Chuyên đề 4:
Buổi 11-12
Chuyên đề 5: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Buổi 13-14
Chuyên đề 6 :PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI
Buổi 15-16
Chuyên đề 7: : MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ HÌNH HỌC
Buổi
16-18-19-24
Chuyên đề 8: MỘT SỐ ĐỀ THI HSG 9
Chuyên đề 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Trang 2Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a a(x2 + 1) (−x a2 + 1)
b x− 1 +x n+ 3 −x n Giải:
a Dùng phương pháp đặt nhân tử chung
(x2 + 1) (−x a2 + 1)
a = ax2 +a−a2x−x
( − ) (− − ) (= − )( − 1)
b Dùng phương pháp đặt nhân tử chung rồi sử dụng hằng đẳng thức
n
x
x− 1 + + 3 − =x n(x3 − 1)+(x− 1)
1 1 1
1 1
1
1 2
2 2
+ + +
−
=
+ + +
−
=
− + + +
−
=
+ + n n
n
n n
x x x
x
x x x x x
x x
x
x
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử :
a x8 + 3x4 + 4
b x6 - x4 - 2x3 + 2x2
Giải:
a.Dùng phương pháp tách hạng tử rồi sử dụng hằng đẳng thức
x8 + 3x4 + 4 = (x8 + 4x4 + 4)- x4
= (x4 + 2)2 - (x2)2
= (x4 - x2 + 2)(x4 + x2 + 2)
b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung ,tách hạng tử ,nhóm thích hợp để sử dụng hằng đẳng thức
x6 - x4 - 2x3 + 2x2 = x2(x4 - x2 - 2x +2)
1 1 1
1 1
1 2 1
2
2
2
2
2 2
2 2 2
2
2
2 2
4
2
+ +
−
=
+ +
−
=
− +
−
=
+
− + +
−
=
x x
x
x
x x
x x
x
x
x x x
x
x
Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử :
a 2a2b+ 4ab2 −a2c+ac2 − 4b2c+ 2bc2 − 4abc
b.x4 + 2007x2 + 2006x+ 2007 Giải:
a.Dùng phương pháp tách hạng tử rồi nhóm thích hợp:
abc bc
c b ac c a ab
b
2 2 + 2 − 2 + 2 − 2 + 2 −
(a b)( b c)(a c)
c b c c b a b a bc c ac ab
b
a
b a bc b a c b a ac b
a
ab
abc bc
c b ac abc c
a ab
b
a
abc bc
c b ac c a ab
b
a
−
−
+
=
−
−
− +
=
− +
− +
=
+
− + + +
− +
=
=
− +
− +
−
− +
=
− +
− +
−
+
2
2
2 2
2 2
2
2
2 2
2 2
2
2
2 2
4 2
4
2
4 2
4 4
2
2 2
2 2
2 2
2
2
2 2
2 2 2
2
b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung rồi sử dụng hằng đẳng thức
2007 206
2007 2
4 + x + x+
x
1 2007
1 1
2007 2007
2007
2 2
2 2
2 4
+
− + +
=
+ + +
+ +
−
=
+ +
+
−
=
x x x x
x x x
x x x
x x
x x
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử : a.a3 +b3 +c3 − 3abc
b (a+b+c)3 −a3 −b3 −c3
Giải: Sử dụng các hằng đẳng thức
(a b)(a b ab)
b
a3 + 3 = + 2 + 2 −
(a+b) ([a+b)2 − 3ab]
=
Trang 3(a+b) − ab(a+b)
=
−
+
+b c abc
a3 3 3 3 [(a b)3 c3] 3ab(a b) 3abc
− +
− + +
=
c b a ab c
c b a b a
c
b
a
−
−
− + + +
+
=
+ +
− + +
− + +
+
=
2 2 2
2
b (a+b+c)3 −a3 −b3 −c3 =[(a+b+c)3 −a3]−(b+c)3
(b c)( a ab bc ca) (b c)(a c)(a b)
c bc b c b a c b a a c b
a
c
b
+ + +
= + + +
+
=
+
− +
− + + + + +
+
+
=
3 3 3 3
3 2
2 2
2 2
Ví dụ 5: Cho a + b + c = 0
Chứng minh rằng :a3 + b3 + c3 = 3abc
abc c
b a abc
c b a
c b a ab b a c b a
3 0
3
3
3 3 3 3
3 3
3 3
3 3 3
= + +
⇒
=
− + +
⇒
−
= + +
+
⇒
−
= +
⇒
Ví dụ 6: Cho 4a2 + b2 = 5ab, và 2a > b > 0 Tính 4a2 b2
ab P
−
= Giải: Biến đổi 4a2 + b2 = 5ab ⇔ 4a2 + b2 - 5ab = 0
⇔( 4a - b)(a - b) = 0 ⇔a = b
Do đó
3
1 3
2 2
−
=
a
a b a
ab P
Ví dụ 7:Cho a,b,c và x,y,z khác nhau và khác 0 Chứng minh rằng nếu:
1
;
=
+
+
c
z b
y a
x z
c
y
b
x
a
2 2
2 2
2
= + +
c
z b
y a x
Giải: + + = 0 ⇒ + + = 0 ⇒ayz+bxz+cxy= 0
xyz
cxy bxz ayz z
c y
b
x
a
1
1
2 1
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
= +
+
⇒
= + + +
+
+
=
+ +
⇒
=
+
+
c
z
b
y
a
x
abc
cxy bxz ayz c
z
b
y
a
x
c
z b
y a
x c
z
b
y
a
x
Chuyên đề 2:.BẤT ĐẲNG THỨC CÔ – SI
1 Chứnh minh : (Với a , b ≥ 0) (BĐT Cô-si)
Giải:
( a – b ) = a - 2ab + b ≥ 0 ⇒ a + b ≥ 2ab Đẳng thức xảy ra khi a = b
2 Chứng minh: (Với a , b ≥ 0)
Giải:
( a+b ) = (a - 2ab + b )+ 4ab = (a-b) + 4ab ≥ 0 + 4ab ⇒ ( a + b ) ≥ 4ab .Đẳng thức xảy ra khi a = b
Trang 43 Chứng minh: (Với a , b ≥ 0)
Giải:
2(a + b) – ( a+b ) = a-2ab+b = (a-b) ≥ 0 ⇒ 2(a + b) ≥ ( a+b ) Đẳng thức xảy ra khi a = b
4 Chứng minh: .(Với a.b > 0)
Giải:
+ = Do ab ≤ ⇒ ≥ 2 Hay + ≥ 2 Đẳng thức xảy ra khi a = b
5 Chứng minh: .(Với a.b < 0)
Giải:
+ = - .Do ≥ 2 ⇒ - ≤ -2 Hay + ≤ - 2 Đẳng thức xảy ra khi a = -b
6 Chứng minh: (Với a , b > 0) Giải:
+ - = = ≥ 0 ⇒ + ≥ Đẳng thức xảy ra khi a = b
7 Chứng minh rằng: Giải:
2(a +b +c) – 2(ab+bc+ca) =(a-b) +(b-c) +(c-a) ≥ 0
⇒ 2(a +b +c) ≥ 2(ab+bc+ca) Hay a +b +c ≥ ab+bc+ca Đẳng thức xảy ra khi a = b;b = c;c = a ⇔ a = b= c
Chuyên đề 3:TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
DẠNG
• Nếu a > 0 :
2 2
ax + bx +c =
b
a
Suy ra
2
4ac-b = 4a
b
x=-2a
• Nếu a < 0 :
2 2
ax + bx +c =
b
a
Suy ra
2
4 a c+b ax
4 a
M P= Khi x= b
2 a Một số ví dụ:
1. Tìm GTNN của A = 2x2 + 5x + 7
Giải:A = 2x2 + 5x + 7 = 2( 2 2.5 25 25) 7
5 2 25 56 25 5 2 31 5 2
Suy ra 31 5
MinA= Khi x= −
2. Tìm GTLN của A = -2x2 + 5x + 7
Giải: A = -2x2 + 5x + 7 = - 2 5 25 25
4 16 16
5 2 25 56 25 5 2 81 5 2
Trang 5Suy ra MinA=818 Khi x=54.
3. Tìm GTNN của B = 3x + y - 8x + 2xy + 16
Giải: B = 3x + y - 8x + 2xy + 16 = 2(x - 2) + (x + y) + 8 ≥ 8
⇒ MinB = 8 khi : ⇔
4. Tìm GTLN của C = -3x - y + 8x - 2xy + 2
Giải: C = -3x - y + 8x - 2xy + 2 = 10 - ≤ 10
⇒ GTLNC = 10 khi: ⇔
Chuyên đề 4:
• Ví dụ 1` :
a Rút gọn Biếu thức
6 2
9 12 4
2
2
−
−
+ +
=
a a
a a
B Với a ≠ −23
b Thực hiện phép tính: a a( a)
a a
a a
−
+ +
− +
+ +
2
2 2
8 : 5 , 0 1
2 5
,
(a ≠ ±2.) Giải:
a
6 2
9 12 4
2
2
−
−
+ +
=
a a
a a
3 2 2 3 2
3
2 2
−
+
=
− +
+
=
a
a a
a a
a a
a a a a a
a a
a a
−
+
−
+
⋅ +
+ +
=
−
+ +
− +
+ +
2
2 8
2 2
4 2 2
2 2
8 : 5
,
0
1
2 5
,
0
3
2 3
2
a a
a a
a a
a
2
2 2
2 4
2 2
4 2 2
2
=
−
−
=
−
− + +
−
+ +
=
• Ví dụ 2 Thực hiện phép tính: A x x y y xy x x y y xy
2 : 2 2
3 3 2
2
2 2
− +
+
−
− +
Giải:
2 2
2 2
2 2
2
3 3 2
2
2
2
2 :
y
x
y
x
xy y x y x
y x y
x y x
xy y x xy y x
y x y
x
xy y
x
A
+
−
=
− + +
−
⋅ +
−
− +
=
− +
+
−
−
+
=
• Ví dụ 3 Cho biểu thức :
1 2
1
2 3 4
3 4
+
− +
−
+ + +
=
x x x x
x x x
a Rút gọn biểu thức A
b Chứng minh rằng A không âm với mọi giá trị của x
Trang 61 1
2
1
2 2 3 4
3 4 2
3 4
3 4
+
− + +
−
+ + +
= +
− +
−
+ + +
=
x x x x x
x x x x
x x
x
x x x
A
1 1
1
1 1
1 1
1 1 1
1
1 1
2
2 2
2
2 2
2 2
3 2
2
2
3
+
+
= + +
−
+
− +
=
+ +
−
+ +
= +
− + +
−
+ + +
=
x
x x
x
x
x x x
x x x
x x x
x x
x
x
x x
x
1
2
2
≥
⇒
>
+
≥ + +
+
x
x
A
Ví dụ 4 Tính giá trị biếu thức : −55 −66 7−7 8−8
+ + +
+ + +
a a a a
a a a a
với a = 2007.Giải:
2 3
3 2 13
2 3
8 7 6 5 8 8
1 2
3
8 7 6
5
8 7 6 5
8 7 6 5 8 7 6 5
8 7 6 5
2007 1
1
1 1
1 1 1 1
=
⇒
= + + +
+ + +
=
+ + +
+ + +
= + + +
+ +
+
=
+ + +
+ + +
= + + +
+ + +
= − − − −
B a a
a
a
a a a
a
a a a
a a a a a a
a a
a
a a a
a
a a a a
a a a a a a a
a
a a a a
B
• Ví dụ 5 : Tính giá trị biếu thức : : 2 2
25 10
25
2 2
3
2
−
−
− +
−
−
y y
y x x
x
x
Biết x2 + 9y2 - 4xy = 2xy - x− 3
Giải:
x2 + 9y2 - 4xy = 2xy - x− 3 ⇔ (x− 3y) 2 +x− 3 = 0
⇔
⇔
1
3
3
3
y
x
x
yx
( )( ) ( ) ( )(2 )
1 2 5
5 5 2
2 :
25 10
25
2 2
2
3
2
−
+
−
⋅
−
+
−
=
−
−
− +
−
−
=
y
y y x
x
x x y
y
y x x
x
x
C
8 2 3
2 8 5
1 5
−
=
−
=
−
+ +
=
x
x
y
x
Trang 7Chuyên đề 5: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Bài 1: Cho phương trình ẩn số x: x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = 2
b) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m
c) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thỏa mãn
điều kiện 2
1
x + 2 2
x ≥ 10
Bài 2: Cho các số a, b, c thỏa điều kiện:
( )
− +
<
+
>
ac bc ab a c
c
2
0
2
Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 luôn luôn có nghiệm
Bài 3: Cho a, b, c là các số thực thỏa điều kiện: a2 + ab + ac < 0
Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt
Bài 4: Cho phương trình x2 + px + q = 0 Tìm p, q biết rằng phương trình có hai
nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
=
−
=
− 35
5
3 2
3 1
2 1
x x
x x
Bài 5: CMR với mọi giá trị thực a, b, c thì phương trình
(x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = 0 luôn có nghiệm
Bài 6: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có nghiệm biết rằng 5a + 2c = b Bài 7: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác CMR phương trình sau có nghiệm:
(a2 + b2 – c2)x2 - 4abx + (a2 + b2 – c2) = 0
Bài 8: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có nghiệm nếu 2 ≥ + 4
a
c a b
Bài 9: Cho phương trình : 3x2 - 5x + m = 0 Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: 2
1
x - 2
2
x = 9 5
Trang 8Bài 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 4)x +m2 – 8 = 0 Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
a) A = x1 + x2 -3x1x2 đạt GTLN
b) B = x12 + x22 - đạt GTNN
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1,x2 không phụ thuộc vào m
Bài 11: Giả sử x1,x2 là hai nghiệm của phương trình bậc 2:
3x2 - cx + 2c - 1 = 0 Tính theo c giá trị của biểu thức:
2
3 1
1 1
x
x + Bài 12: Cho phương trình : x2 - 2 3x + 1 = 0 Có hai nghiệm là x1, x2 Không giải phương trình trên hãy tính giá trị của biểu thức:
A =
2
3 1
3 2 1
2 2 2 1
2 1
4 4
3 5
3
x x x x
x x x x
+
+ +
Bài 13: Cho phương trình: x2 – 2(a - 1)x + 2a – 5 = 0 (1)
1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của a
2) Tìm giá trị của a để pt (1) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện:
x12 + x22 = 6
3 Tìm giá trị của a để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện:
x1 < 1 < x2 Bài 14: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x + m – 3 = 0 (1)
a) CMR phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m
b) Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình (1)
Tìm GTNN của M = x12 + x22
Bài 15: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện:
2
1 1
1 + =
b a
CMR ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm:
x2 + ax + b = 0 và x2 + bx + a = 0
Bài 16: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m +10 = 0 (1)
a) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình (1) theo m
b) Tìm m sao cho 10x1 x2 + x12 + x22 đạt GTNN Tìm GTNN đó
Bài 17: Chứng minh rằng với mọi số a, b, c khác 0, tồn tại một trong các phương trình
sau phải có nghiệm:
ax2 + 2bx + c = 0 (1)
bx2 + 2cx + a = 0 (2)
cx2 + 2ax + b = 0 (2)
Bài 18: Cho phương trình: x2 – (m - 1)x + m2 + m – 2 = 0 (1)
a) CMR phương trình (1) luôn luôn có nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m b) Với giá trị nào của m, biểu thức P = x12 + x22 đạt GTNN
Bài 19: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x – 3 - m = 0 (1)
1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m
2) Tìm giá trị của m để pt (1) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện:
x12 + x22 ≥ 10
Trang 93) Xỏc định giỏ trị của m để phương trỡnh cú hai nghiệm x1, x2 thỏa món điều kiện:
E = x12 + x22 đạt GTNN
Bài 20: Giả sử phương trỡnh bậc 2: x2 + ax + b + 1 = 0 cú hai nghiệm nguyờn dương
CMR: a2 + b2 là một hợp số
Chuyờn đề 6:Ph ư ơng trỡnh vụ tỉ
Dạng1: f x( ) = g x( ) ( ) ( ) 0
x TXD
f x g x
f x g x
∈
Chú ý: Điều kiện (*) đợc lựa chọn tuỳ theo độ phức tạp của f(x)≥0 và g(x) ≥0
VD: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: − +x2 3x− = 2 2m x x+ − 2
2
1 1
x
x m
x m
≤ ≤
Để phơng trình có nghiệm thì 1≤ + ≤ ⇔ ≤ ≤m 1 2 0 m 1
Dạng2: ( ) ( ) ( ) 2& ( ) 0
g x conghia g x
f x g x
≥
Chú ý: Không cần đặt điều kiện f x( ) 0 ≥
VD: Giải phơng trình: 2 2
x
Vậy phơng trình có nghiệm x=-1
Dạng3:
2
f x co nghia f x
Chú ý: Không cần đặt điều kiện h x( ) 0 ≥
VD: Giải phơng trình:
1
1
2
x x
≤
Trang 102 2
1
2
2
x x
x
=
Hoặc có thể trình bày theo cách khác nh sau: - Tìm điều kiện để các bt có nghĩa
- Biến đổi phơng trình
Chuyờn đề 7: Một số bài tập cơn bản về hỡnh học
Bài 1 : Cho nửa đường trũn (O) đường kớnh AB Từ A và B kẻ tiếp tuyến Ax và By Qua điểm M thuộc nửa đường trũn kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt cỏc tiếp tuyến Ax và By lần lượt tại E và F
1 Chứng minh AEMO là tứ giỏc nội tiếp
2 AM cắt OE tại P , BM cắt OF tại Q Tứ giỏc MPOQ là hỡnh gỡ ? Tại sao ?
3 Kẻ MH ⊥ AB ( H ∈ AB) Gọi K là giao của MH và EB So sỏnh MK
và KH
Hướng dẫn : 1) EAO = EMO = 900 Nờn AEMO là tứ giỏc nội tiếp
2) Dựa vào tớnh chất hai tiếp tuyến cắt nhau cú
MPO = MQO = 900 và PMQ = 900 nờn PMQO là hỡnh chữ nhật
3) ∆EMK ∆ EFB (g.g) ⇒ = FBEF
MK
EM
mà
MF = FB
⇒ = MFEF MK
EM
∆EAB ∆ KHB (g.g) ⇒ = HBAB
KH
EK
mà = HBAB MF
EF
( Ta let) ⇒ = KHEA
MK EM
Vỡ EM = EA ⇒ MK = KH
F E
M
O P
Q K
H
Trang 11Bài 2 : Cho (O) cắt (O’) tại A và B Kẻ cát tuyến chung CBD ⊥ AB ( C ở trên (O) và D
1 Chứng minh A , O , C và A ,O’, D thẳng hàng
2 Kéo dài CA và DA cắt (O’) và (O) theo thứ tự tại I và K Chứng minh tứ giác CKID nội tiếp
3 Chứng minh BA , CK và DI đồng quy Hướng dẫn :
1 CBA = DBA = 900 nên AC và DA là đường kính hay A,O, C thẳng hàng D ,O’,A thẳng hàng
2 Từ câu 1) và dựa vào góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ta thây K , I cùng nhìn CD dưới một góc vuông nên tứ giác CDIK nội tiếp
3 A là trực tâm của tam giác ADG có AB là đường cao hay BA đi qua G
Bài 3 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A,B Các đường AO và AO’cắt đường tròn (O) lần lượt tại C và D , cắt đường tròn (O’) lần lượt tại E , F
a) Chứng minh B , F , C thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp c) Chứng minh A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE
d) Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của (O) và (O’)
Hướng dẫn :
a) CBA + FBA = 1800 nên A , B , F thẳng hàng
b) D, E cùng nhìn CF dưới một góc vuông nên CDEF nội tiếp
c) Tứ giác CDEF nội tiếp nên EDF = ECF ; ACB = ADB từ đó suy ra EDF = ADB Hay DE là phân giác góc D của ∆BDE Tương tự EC là phân giác góc
E của ∆BDE Hai phân giác cắt nhau tại A nên A là tâm đường tròn nội tiếp
∆BDE
d) Giả sử DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ta có OO’ // CE cùng vuông góc với AB : AOO’ = ACB mà ACB = FDE ( DCFE nội tiếp ) suy ra : AOO’
= ODE hay tứ giác ODEO’ nội tiếp (1)
DE là tiếp tuyến thì DE vuông góc với OD và O’E (2)
Vậy ODEO’ là hình chữ nhật : Hay OD = O’E ( Hai đường tròn có bán kính
G
’ A
E D
C
O’
A O
Trang 12bằng nhau )
Bài 4 : Cho (O,R) đường kính AB , đường kính CD di động Gọi đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn tại B Đường thẳng d cắt các đường thẳng AC , AD theo thứ tự tại P và Q 1) Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp một đường tròn
4) Xác định vị trí của CD để SCPQD = 3.SACD
Hướng dẫn :
1 CPB = CDA ( cùng bằng CBA) nên CPB + CDQ =
1800
2 ∆ADC ∆APQ (g.g) suy ra AD.AQ = AC.AP
3 Tứ giác ADBC là hình chữ nhật vì có 4 góc vuông
4 Để SCPQD = 3.SACD⇒ SADC = ¼ SAPQ tức là tỉ số đồng dạng của hai tam giác này là ½
Suy ra AD = ½ AP hay BC = ½ AP mà tam giác ABC vuông tại B nên C là trung điểm của CP
⇒ CB = CA hay ∆ACB cân ⇒ CD ⊥ AB
Bài 5 : Từ một điểm S nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA , SB và cát tuyến SCD của đường tròn đó
1) Gọi E là trung điểm của dây CD Chứng minh 5 điểm S ,A , E , O , B cùng nằm trên một đường tròn
2) Nếu SA = OA thì SAOB là hình gì ? Tại sao ?
3) Chứng minh AC BD = BC.DA = ½ AB.CD
Hướng dẫn chứng minh 1) Sử dụng tính chất tiếp tuyến , ta có A , B cùng nhìn SO dưới một góc vuông , nên tứ giác SADO nội tiếp đường tròn đường kính
SO
Dựa vào tính chất đường kính vuông góc với dây cung , ta có SEO = 900 Nên E thuộc đường tròn đường kính SO
2) Nếu SA = OA thì SA = AB = OA = OB và góc A vuông nên tứ giác SAOB là hình vuông
2) Ta thấy ∆SAC ∆SDA ⇒ = SASC
DA AC
∆SCB ∆SBD ⇒ BC =SC
Q D
C
O
P d
D
A C
B E K