Phương pháp hàm số giải phương trình mũ và logarit SKKN THPT

Sáng kiến kinh nghiệm trung học phổ thông này quý thầy cô sẽ có nguồn hay, củng cố xây dựng phương pháp dạy hiệu quả, qua đó giúp các em học sinh tiếp thu bài tốt, nắm vững kiến thức phát triển tư duy trí tuệ. Sáng kiến kinh nghiệm tiểu học tập hợp các đề tài đa dạng mang tính ứng dụng cao như ứng dụng công nghệ thông tin trong trường học

PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

I MỞ ĐẦU:

1.1 Lý do chọn đề tài.

Năm 2017 là năm đầu tiên triển khai thi trắc nghiệm môn Toán trong kỳthi THPT quốc gia Do đó để đạt được kết quả cao cho bài thi môn toán đòi hỏihọc sinh ngoài việc có kiến thức vững vàng còn cần có kỹ năng và linh hoạttrong làm bài vì thời gian rất ngắn số lượng câu hỏi lại nhiều, do vậy đòi hỏi các

em khi gặp 1 bài toán cần linh hoạt lựa chọn cho mình cách giải quyết nhanhnhưng lại phải chính xác Sử dụng phương pháp hàm số để giải toán là một trongnhững hướng tốt để phát triển tư duy cho học sinh Phương pháp này đã đượchàng loạt các công trình nghiên cứu đánh giá cao và kiến nghị phải được pháttriển mạnh mẽ trong hoạt động giảng dạy các bộ môn trong nhà trường đặc biệt

là môn toán Ngày nay trong chương trình môn toán ở trường phổ thông phươngpháp hàm số đã ,đang được thể hiện rõ vai trò chủ đạo của mình trong việc ứngdụng giải quyết rất nhiều bài toán khác Trong các kỳ thi THPT quốc gia nămnay ngoài các câu hỏi liên quan trực tiếp đến hàm số ta thường thấy có nhữngcâu hỏi mà học sinh thường phải vận dụng phương pháp hàm số như là một côngcụ đắc lực để giải quyết đặc biệt năm nay là năm đầu tiên đồng thời Giải phươngtrình, bất phương trình mũ và logarit, tìm cực trị , Các câu hỏi này cũngthường gây khó khăn cho cả thầy và trò trong các giờ lên lớp Trong các giờgiảng các em thường bị động trong nghe giảng và rất lúng túng vận dụng vàoviệc giải toán Nguyên nhân là do các em chưa hiểu được bản chất của vấn đề,chưa có kỹ năng và kinh nghiệm trong việc vận dụng hàm số vào giải toán ,các

em luôn đặt ra câu hỏi “Tại sao nghĩ và làm được như vậy” Để trả lời được câuhỏi đó trong các giờ dạy, việc bồi dưỡng kiến thức về phương pháp hàm số chohọc sinh thông qua các bài toán là một điều rất cần thiết Muốn làm tốt được điều

đó người thầy không chỉ có phương pháp truyền thụ tốt mà còn phải có kiến thứcvừa chuyên, vừa sâu, dẫn dắt học sinh tìm hiểu một cách logíc bản chất của toánhọc Từ đó giúp các em có sự say mê trong việc học Toán

Khi còn là học sinh, mỗi khi suy nghĩ các bài toán nhỏ, nhờ sự hướng dẫncủa Thầy giáo đã giúp tôi có những bài toán mới, lời giải mới.Và giúp tôi cónhững phân tích hay, sâu sắc trên bục giảng, có thêm kinh nghiệm, sự sáng tạo,

có niềm tin vào chính mình.Vì vậy song song với việc giảng dạy kiến thức chohọc sinh trong các giờ lên lớp, tôi luôn luôn coi việc bồi dưỡng năng lực tư duytoán cho học sinh một cách trực tiếp hoặc gián tiếp thông qua giải toán Đặc biệt

là bồi dưỡng năng lực sử dụng phương pháp hàm số cho học sinh là một nhiệmvụ quan trọng của việc giảng dạy toán Qua nhiều năm đứng trên bục giảng, khibàn tới vấn đề này, tôi luôn băn khoăn làm thế nào để cho giờ dạy của mình đạtkết quả cao nhất, các em chủ động trong việc chiếm lĩnh kiến thức Thầy đóngvai trò là người điều khiến để các em tìm đến đích của lời giải Chính vì lẽ đó

trong hai năm học 2015 - 2016 và 2016 - 2017, Tôi đã đầu tư thời gian nghiên

cứu đề tài “Phương pháp hàm số giải phương trình mũ và logarit”.

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Một mặt là giúp học sinh hiểu được bản chất của vấn đề, các em có thểphát hiện được hướng giải các phương trình mũ và logarit mà có thể sở dụng đếnphương pháp hàm số, hơn nữa tạo ra cho các em hứng thú trong giải toán nóichung và giải các bài toán liên quan đến hàm số nói riêng Mặt khác sau khinghiên cứu tôi sẽ có một phương pháp giảng dạy có hiệu quả cao trong các giờlên lớp, trả lời thoả đáng câu hỏi “Vì sao nghĩ và làm như vậy”

Cung cấp cho học sinh cách sử dụng phương pháp hàm số trong việc giảicác phương trình mũ và logarit

Giới thiệu một số ví dụ minh họa giải các phương trình mũ và logarit bằngphương pháp hàm số Từ đó giúp học sinh nâng cao năng lực tư duy hàm số

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Các bài tập trong sách giáo khoa môn toán THPT và đề thi đại học cácnăm gần đây về phần phương trình mũ và logarit

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

1.4.1 Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết Từ các tài liệu

tham khảo và quá trình giảng dạy tôi đúc rút ra được hệ thống lý thuyết vềphương pháp hàm số nói chung để giải quyết các bài toán THPT đặc biệt vậndung vào các phương trình mũ và logarit

1.4.2 Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin Qua quá

trình giảng dạy thực tiễn, qua các kênh thông tin khác nhau như giao bài tập, làm

đề khảo sát theo chuyên đề rồi từ đó có những điều chỉnh ngày càng phù hợp vớithực tiễn nhận thức của học sinh góp phần nâng cao chất lượng giáo dục phần

mũ và logarit

1.4.3 Phương pháp thống kê, xử lý số liệu Từ báo kết quả của các bài

kiểm tra qua thống kê xử lý số liệu để biết được hiệu quả của sáng kiến từ đó đề

ra giải pháp tối ưu cho công tác giảng dạy phần mũ và logarít trong năm học tới

II PHẦN NỘI DUNG

Phương pháp hàm số giải phương trình mũ và logarit

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

+) y = f(x) đồng biến trên (a, b) ⇔ f x ' ( ) ≥ 0 với mọi x ∈ (a, b)

+) y = f(x) nghịch biến trên (a, b) ⇔ f x ' ( ) ≤ 0 với mọi x ∈ (a, b)

 Bất phương trình f x ( ) ≥ m có nghiệmx I ∈ ⇔Max f(x) ≥ m ∀ ∈ x I

 Bất phương trình f x ( ) ≤ m có nghiệm x I ∈ ⇔Max f(x) ≤ m ∀ ∈ x I

•Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu trên D thì phương trình f(x) = k nếu có nghiệm

f x với f(x) >0 là nghịch biến(đbiến), y= - f(x) nghịch biến (đồng biến)

•Tổng các hàm đồng biến (nghịch biến) trên D là đồng biến (nghịch biến) trên D

•Tích của hai hàm số dương đồng biến (nghịch biến) trên D là một hàm đồngbiến (nghịch biến) trên D

•Phương trình f(x) = m có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị của hàm số

y = f(x) và số nghiệm phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x)với đường thẳng y = m Nếu trên tập D hàm số y = f(x) đạt GTLN là L, GTNN là

n thì phương trình f(x) = m có nghiệm khi n m l≤ ≤

•Để sử dụng phương pháp hàm số vào giải phương trình,ta cần thực hiện :

- Tìm tập xác định của phương trình

- Biến đổi phương trình (nếu cần) để đặt f(x) bằng một biểu thức nào đó

- Tính đạo hàm f(x), rồi dựa vào tính đồng biến (nbiến) của hàm số để kết luậnnghiệm của phương trình

•Để học sinh có kiến thức vững để giải các bài toán dạng này yêu cầu học sinhnắm vững một số kiến thức cơ bản sau:

Phương trình f(x) = m có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị củahàm số y = f(x) và số nghiệm phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số

- Lập bảng biến thiên của hàm số trên miền D

- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất từ đó áp dụng lý thuyết trên ta có đáp sốbài toán

•Đối với những phương trình có những biểu thức phức tạp, ta có thể đặt ẩn phụ thích hợp t= ϕ ( )x , từ điều kiện ràng buộc của x ta tìm điều kiện của t ( với bài

toán chứa tham số ta cần đặt điều kiện nghiêm ngặt cho ẩn phụ, ta thường dùng

là đánh giá bằng bất đẳng thức hoặc đôi khi phải khảo sát hàm t= ϕ ( )x (để có thể

tìm được điều kiên chính xác của biến mới t)

•Sau đó đưa phương trình đã cho về phương trình theo t và lại sử dụng phươngpháp hàm số như trên

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Mũ và logarit là 2 trong số những vấn đề khó đối với học sinh nói chung vàvới học sinh trường Lê Lai nói riêng Bởi trong toán học phương trình mũ vàlogarit được coi là các phương trình siêu việt Khó khăn lớn nhất của học sinhtrong vấn đề này đó là biến đổi mũ và logarit bởi nó khá nhiều công thức đồngthời các phép biến đổi cũng có những điểm khác với biến đổi đại số

Đặc biệt hơn nữa là việc áp dụng phương pháp hàm số để giải quyết các bàitoán về mũ và logarit lại càng trở nên khó khăn hơn

Thực tế kết quả kiểm tra trước khi áp dụng sáng kiến này ở các lớp 12trong năm học 2015 – 2016 như sau

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

2.3.1 Phương pháp hàm số giải các phương trình mũ không chứa tham số.

Để giải một phương trình mũ thì có nhiều phương pháp khác nhau để tiếp cận lời giải Ở đây tôi chỉ đề cập đến một góc nhỏ, đó là nhìn từ quan điểm hàm số để tiếp cận lời giải một số phương trình, mà theo quan điểm riêng của tôi nếu tiếp cận theo hướng khác thì rất khó

Ví dụ 1 : Giải phương trình sau:

Ví dụ 2 : Giải phương trình sau: 2x2+3cosx − 2x2+4cos3x = 7cos3 x.[5]

Lời giải: Biến đổi phương trình như sau:

2x + x − 2x + x = 7cos3 x ⇔ 2x + x − 2x + x = 7(4cos x − 3cos ) x

•Một số phương trình sau khi biến đổi lại sử dụng đến tính chất :Nếu f(t) đơn điệu thì phương trình f(t)=k (k-hằng số ) có nghiệm duy nhất

Hai ví dụ trên được giải bằng việc sử dụng hai tính chất sau của hàm số

+) Nếu f(x) đơn điệu trên D, thì phương trình f(x) = k (k-hằng số) có nhiều nhấtmột nghiệm

+) Nếu f(x) là hàm số đồng biến ,g(x) là hàm số nghịch biến thì phương trìnhf(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm

Một số phương trình mũ đôi khi việc tìm nghiệm trực tiếp là khó khăn Ta chỉ ra phương trình có không quá n nghiệm và kết hợp với việc nhẩm được n nghiệm từ đó kết luận về số nghiệm của phương trình Ta xét bài toán sau

f(x0)Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f(x) = 0 có không quá 2 nghiệm

mà f(0) = f(1) = 0 Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1; x = 0 [2]

Nhận xét :

Ngoài cách giải trên ,ta cũng có thể trình bày lời giải như sau

Xét hàm số f(x) =3x + −5x 6x−2 Ta có f x'( ) 3 ln 3 5 ln 5 6= x + x −

( ) 3 ln 3x 5 ln 5x 0

f x = + > với mọi x nên f’(x) đồng biến trên R

Lại có xlim→+∞ f x'( )= +∞, limx→−∞ f x'( )= −6 nên phương trình f’(x) = 0 có nghiệm duynhất xo

Ta có bảng biến thiên

x -∞ x0 + ∞

f’(x) - 0 +f(x)

f(x0)Dựa vào bảng bién thiên ta thấy phương trình có nhiều nhất hai nghiệm:

f(0) = f(1) = 0 Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = 1; x = 0

+)Trong toán học sơ cấp có định lý Rôn (Role): Nếu f(x) là hàm số lồi hoặc

lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ có không quá hai nghiệm trên D +)Do trong trương trình phổ thông , học sinh không được học và chứng minh nội dung của định lý Rôn nên cách trình bày lời giải bài toán trên là phù hợp nhất

+)Trong toán học nhiều học sinh khi chứng minh bất đẳng thức cũng đã làm quen với Bất đẳng thức Becnully

Nội dung như sau:

Xét hàm số f(x) = ax-(a-1)x -1 Ta thấy f(x) liên tục trên R

f’(x) = axlna-(a-1); f’’(x) = ax(lna)2 >0 với mọi x thuộc R Từ đó suy ra phương trình f(x)=0 không có qua hai nghiệm, mà f(0) = f(1) = 0 nên x = 0; x = 1 là hai nghiệm của f(x) trên R

( Gọi là phương trình Bécnuly)

Áp dụng kết quả trên vào giải phương trình 3x + =5x 6x+2

ta không biết là nhiều Làm được như vậy có nhiều ý nghĩa về mặt giáo dục: Một là rèn luyện cho học sinh tính khiêm tốn; Hai là hình thành ở học sinh tính

tò mò, khám phá những cách giả mới, chưa hài lòng với những gì mình làm được; Ba là rèn luyện cho học sinh thói quen tự học,tự đọc qua sách vở ngoài những kiến thức được học trên lớp Từ đó hình thành ở học sinh - những công dân tương lai có trách nhiệm vói chính mình, gia đình và xã hội.

Khi áp dụng các tính chất về tính đơn điệu của hàm số do không nắm vững về kiến thức, học sinh thường mắc sai lầm trong giải toán nên thường có những kết luận nghiệm chưa chính xác Ta lấy thêm một ví dụ mô tả điều đó :

Khi hướng dẫn học sinh sử dụng các tính chất của hàm số người thầy cần nhấn mạnh cho học sinh thấy rõ: Nếu f(x) đồng biến trên D, g(x) nghịch biến trên D thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm Đối chiếu với lời giaỉ trên ta thấy f(x) và g(x) có tập xác định hoàn toàn khác nhau,vì vậy khi áp dụng dẫn đến sai lầm

Lời giải đúng như sau :

Hàm số f(x) =3x đồng biến trên R

Hàm số g(x)=2 1

x x

Nhận xét:Một trong những ứg dụng nữa của hàm số trong phương trình đó là

chứng minh một phương trình mũ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước Ta xét thêm một số ví dụ sau để chứng minh điều đó

Ví dụ 8 : Chứng minh rằng phương trình :

4 (4x x2 + −1) 1 = 0 có đúng ba nghiệm phân biệt [3]

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f(x) =0 có không quá ba nghiệm.Mặt khác ta có (0) ( 1) 0

2

f = −f = , f(-3).f(-2) <0 nên f(x) = 0 có đúng 3 nghiệm

Nhận xét:

Qua hai bài toán trên ta thấy được tính độc đáo và thế mạnh của phương pháp

tư duy hàm trong việc giải phương trình Khi giảng dạy người thầy có thể cho học sinh giải bằng phương pháp khác Đó là những yêu cầu rất khó đối với học

sinh Từ đó học sinh thấy được vai trò và tính ưu việt của việc sử dụng phương pháp hàm số trong giải phương trình nói riêng và trong giải toán nói chung.

2.3.2 Phương pháp hàm số giải các phương trình mũ có chứa tham số.

•Cũng như trong giải phương trình vô tỷ, Việc sử dụng phương pháp hàm số tham gia vào giải các bài toán chứa tham số trong phương trình mũ là một việc cần thiết Ta xét một số bài toán sau :

Ví dụ 9: Tuỳ theo m hãy biện luận số nghiệm của phương trình sau

5x2+2mx+2 − 52x2+4mx m+ +2 = x2 + 2 mx m + [2]

Lời giải: Nhận xét ( 2x2 +4mx+m+2) – (x2+2mx+2) = x2+2mx m+ (*)biến đổi phương trình đã cho thành:

Nếu a< b ⇒vt<0, VP>0 ⇒phương trình vô nghiệm

Nếu a>b ⇒Vt>0 , Vp<0 ⇒ phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm khi a=b hay x2+2mx m+ =0.

Đây là bài toán và những lời giải hay ,phát huy được sự sáng tạo và tư duy linh hoạt,khả năng quan sát của học sinh.

Ví dụ 10: Tìm a để phương trình sau có nghiệm

91+ −1 x2 − +(a 2 3) 1+ −1 x2 +2a+ =1 0 [3]

Lời giải: Điều kiện 1≤ ≤x 1 Đặt t=31 + − 1 x2 Ta thấy

0≤ 1− x ≤ ⇒ ≤1 1 1− x + ≤1 2

Nên 3 3≤ 1− +x2 1≤ ⇔ ≤ ≤32 3 t 9 Bài toán quy về:

Tìm a để phương trình t2-(a+2)t+2a+1 =0 (1) có nghiệm t thoả 3≤ ≤t 9

− + =

− Số nghiệm của phương trình (1) trong 3≤ ≤t 9

bằng số giao điểm của đường thẳng y = a và đồ thị hàm số f(t) =

0 64

7

4Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm khi 64

Phương trình trên được giải dựa vào tính chất sau của hàm số :

Phương trình f(x)= m có nghiệm trên [ ]a b; khi

2.3.3.Phương pháp hàm số giải phương trình logarit không chứa tham số:

Cũng như đối với phương trình mũ ,phương trình logarit cũng có nhiều cách giải như:Đưa về cùng cơ số ,Đặt ẩn phụ ,mũ hoá ,đánh giá song trong phần này tôi chỉ trao đổi về vấn đề hướng dẫn học sinh vận dụng tư duy hàm trong việc giải phương trình logarit Chủ yếu vận dụng giải hai phương trình logarít

 (dạng này khá quen đối với học sinh)

+Nếu a b≠ ta chia làm hai trường hợp như sau

*) (a-1)(b-1) < 0 Ta dùng phương pháp đoán nghiệm và chứng minh nghiệm duynhất áp vào phương pháp hàm số

*) (a-1)(b-1) > 0 Dùng phương pháp mũ hoá bằng cách đặt t =

( )

t t

Ví dụ 11 :Giải phương trình log 3 2+ ( x+ =2) log 3 1− ( x−1) [1]

Lời giải: D =(1;+∞) , Đặt f(x) = log 3 2+ ( x+2) , đồng biến trên D = (1;+∞)

g(x)=log 3 1− ( x−1) , nghịch biến trên D=(1;+∞)

Mà f ( ) ( )3 = g 3 ⇒ =x 3 là nghiệm

Ví dụ 12: Giải phương trình 3log3( x+ =2) 2log2( x+1)

Lời giải: Điều kiện: x>-1

 + =

   + =

    nhận thấy f(t) nghịch biến trên R

mà f(1) = 1 nên t =1 là nghiệm Từ đó ta có x = 7 là nghiệm duy nhất

Ví dụ 13 Câu 35 Hỏi phương trình 3x 2 − 6x ln( + x+ 1) 3 + = 1 0có bao nhiêunghiệm phân biệt?

3 '( ) 6x 6

+ nên f’(x) = 0 có 2 nghiệm x =

1 2

    nhận thấy f(t) nghịch biến trên R

mà f(1) = 1 nên t = 1 là nghiệm ,thay vào (2) ta có x=16