Sử dụng phương trình mũ và logarit giải quyết một số bài toán về định luật phóng xạ nhằm nâng cao chất lượng dạy học môn vật lý 12

Chính vì vậy chất lượng học sinh của nhà trường luôn là một nỗi lo lắng, trăn trở của ban giám hiệu nhà trường cũng như các thầy cô giáo bộ môn, đặc biệt là các môn tự nhiên trong đó có

1 Mở đầu:

1.1 Lí do chọn đề tài:

Trường THPT Như Thanh II đóng trên địa bàn xã Thanh Tân, huyện Như Thanh, tỉnh Thanh Hóa là một trong những trường có chất lượng đầu vào của học sinh khối 10 tương đối thấp Nơi trường đóng là một vùng kinh tế đặc biệt khó khăn, nằm cách xa trung tâm của huyện.Trường tuyển sinh học sinh khu vực 4 xã: Thanh Tân, Thanh Kì, Xuân Thái, Yên Lạc và một số học sinh trái tuyến ở vùng lân cận của huyện Nông Cống và Tỉnh Gia Những học sinh ở gần trường có học lực khá giỏi thì phụ huynh thường có tâm lí cho con em mình lên học tại trường điểm của huyện Những học sinh khi thi tuyển vào lớp 10 chỉ cần tránh điểm liệt là

có thể trúng tuyển vào lớp 10 Chính vì vậy chất lượng học sinh của nhà trường luôn là một nỗi lo lắng, trăn trở của ban giám hiệu nhà trường cũng như các thầy cô giáo bộ môn, đặc biệt là các môn tự nhiên trong đó có môn vật lí mà tôi đang giảng dạy hiện nay

Do đặc thù của bộ môn, môn vật lí là một môn khoa học tự nhiên có nhiều ứng dụng trong đời sống, trong nghiên cứu khoa học cũng như trong sản xuất Về lí thuyết môn vật lí có nhiều thuật ngữ khoa học khó học, khó nhớ, khô khan và trừu tượng Về bài tập thì phải sử dụng nhiều kiến thức toán học, đối với học sinh trung bình yếu thì đây là vấn đề vô cùng khó khăn do khả năng tư duy, kĩ năng tính toán của các em là rất kém Đặc biệt đối với học sinh lớp 12 hai năm qua thi theo đề thi trung học phổ thông quốc gia là một sự khó khăn vô cùng lớn Làm thế nào để nâng cao chất lượng dạy học nói chung và môn vật lí 12 nói riêng không phải là vấn đề trăn trở của riêng cá nhân tôi mà là của tất cả các thầy cô giáo có tâm huyết với nghề dạy học ở nhà trường

Trong chương trình vật lí 12 có một phần bài tập về định luật phóng xạ sử dụng rất nhiều kiến thức toán học, vì vậy tôi quyết định viết đề tài nhằm một phần nào đó năng cao kĩ năng giải bài tập của học sinh lớp 12 có trình độ toán học rất hạn chế

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Mục đích của Sáng kiến kinh nghiệm “ Sử dụng phương trình mũ và logarit giải quyết một số bài toán về định luật phóng xạ nhằm nâng cao chất lượng dạy học môn vật lý 12 ở trường THPT Như Thanh 2” là rèn luyện cho

học sinh kĩ năng biến đổi công thức toán học để vận dụng giải tốt các bài tập về định luật phóng xạ trong chương trình vật lý 12, đồng thời nâng cao nghiệp vụ sư phạm cho bản thân trong quá trình giảng dạy

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu trong đề tài này là kiến thức toán học phần phương trình mũ và logarit được ứng dụng trong môn vật lý 12 phần định luật phóng xạ

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Do khả năng học các môn tự nhiên của học sinh trường còn nhiều hạn chế nên các em có thói quen ngại làm bài tập củng cố kiến thức, dẫn tới chất lượng dạy học của các môn học là rất thấp đặc biệt là môn vật lí Vì vậy phương pháp nghiên cứu của trong đề này là tổng hợp của nhiều phương pháp khác nhau như:

+ Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết

+ phương pháp nghiên cứu các sản phẩm hoạt động

+ Phương pháp khảo nghiệm, thử nghiệm

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm:

2.1.Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:

Phần bài tập sự phóng xạ có liên quan mật thiết đến kiến thức toán học phương trình mũ và logarit, dưới đây là cơ sở lý thuyết của phần này

I KIẾN THỨC VỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ HÀM SỐ MŨ

1 Các định nghĩa:



n

n thua so

a    a.a a

(n Z ,n 1,a R)   

 a 1 a ; a

 a 0 1 ;  a 0



n n

1 a

a

 

; (n Z ,n 1,a R / 0 )     



m

n m n

a  a ; ( a 0;m,n N  )



m n

m n m n

a

a a



2 Các tính chất :

 a a m n a m n





m

m n n

a





 (a ) m n (a ) n ma m.n

 (a.b) n a b n n



n n n

( )

II KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LOGARIT

1 Định nghĩa: Với a > 0 , a 1 và N > 0

a

log N M  a N

Điều kiện có nghĩa: loga N có nghĩa khi {a>0 ¿ {a≠1 ¿¿¿¿

2 Các tính chất :

 log 1 0 a  log a 1 a 

 log a a M M a log N a N

M log ( ) log M log N

 ; N >0 Đặc biệt: log N a 2 2.log N a 2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến:

Học sinh khối 12 nhà trường tuyển vào là đối tượng học sinh chuẩn bị bước vào kì thi THPTQG nên áp lực học tập là vô cùng lớn Tuy nhiên, do điều kiện khó khăn nên việc học tập của học sinh còn nhiều thiếu thốn về: sách vở, tài liệu tham khảo, đồ dùng học tập, nhất là máy tính phục vụ cho việc tính toán các môn tự nhiên Vì thế chất lượng học tập môn tự nhiên, trong đó có môn vật lí là rất thấp, đa

số học sinh đều mất gốc từ cấp 2 Bên cạnh đó xã hội đang phát triển không ngừng kéo theo nhiều trò chơi cám dỗ khiến các em sao nhãng việc học hành

Làm thế nào để thu hút học sinh yêu thích môn học nhằm nâng cao chất lượng dạy học môn vật lí nói riêng và tất cả các bộ môn khác nói chung là một vấn

đề vô cùng cấp thiết, trong đó vấn đề cơ bản đặt ra là phải giúp các em hiểu bài từ những kiến thức cụ thể và đơn giản nhất

Chương trình Vật lý 12 có 7 chương cơ bản trong đó chương cuối cùng là chương Vật lý hạt nhân với những bài tập khó đa số là các bài tập định luật phóng

xạ, các em gần như có một tâm lý cho qua vì kiến thức toán học không đủ để giải quyết các bài tập

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã áp dụng để giải quyết vấn đề:

Để giải quyết bài toán khó này tôi xin mạnh dạn trình bày một số giải pháp trong đó trọng tâm là vận dụng kiến thức toán học giải quyết các bài tập về sự phóng xạ

2.3.1 Hệ thống hóa lý thuyết về định luật phóng xạ:

* Định luật phóng xạ :

- Trong quá trình phân rã , số hạt nhân phóng xạ giảm theo thời gian theo định luật hàm số mũ

- Các hàm biễu diễn quá trình phân rã phóng xạ hạt nhân theo thời theo thời gian t :

+ theo khối lượng : m = m0 2−

t

T=m0 e−λ t

+ theo số hạt hạt nhân nguyên tử : N = N0.2−

t T

=N0.e−λ t

Trong đó : m0 ,m là khối lượng hạt nhân nguyên tử và N0, N là số hạt hạt nhân nguyên tử

T là chu kì bán rã

λ=

ln 2

T : là hằng số phóng xạ

*Mở rộng kiến thức : Độ phóng xạ

- là đại lượng đặc trưng cho tính phóng xạ mạnh hay yếu của một lượng chất phóng xạ , được xác định là số phân rã trong một giây Đặc trưng cho tốc độ phân

rã

- Kí hiệu là H và có đơn vị là Becơren (Bq) , với 1 Bq = 1 phân rã /s

-Xác định độ phóng xạ : H=λ N=H0.e−λ.t

, trong đó H0 = λ.N0 : được gọi là

độ phóng xạ ban đầu của hạt nhân

2.3.2 Phân loại và phương pháp giải :

Dạng 1: Xác định số hạt nhân còn lại, số hạt nhân bị phân rã trong quá trình

phóng xạ.

Phương pháp :

- Tính số hạt hạt nhân nguyên tử Z

A X trong m0 (g) vật chất : N0 =

Với NA = 6,02.1023 ( ngt/mol) là số Avôgađrô

A: Là số khối

- Số hạt nhân còn lại: N = N0e - λ t =

N0

2t /T

- Số hạt nhân bị phân rã

Δ N = N0 – N = N0 ( 1- e - λ t ) = N0( 1 -

1

2t /T )

Ví dụ:

1 Một chất phóng xạ ban đầu có N0 hạt nhân Sau 1 năm, còn lại một phần ba số hạt nhân ban đầu chưa phân rã Sau 1 năm nữa, số hạt nhân còn lại chưa phân rã của chất phóng xạ đó là

A N 0 /6 B N 0 /16 C N 0 /9 D N 0 /4

Hướng dẫn:

- Ta có sau thời gian t = 1 năm số hạt nhân còn lại: N =

N0

2t /T =

1

3N0

Suy ra:

N

N0=

1 2

t T

= 1 3

- Sau 1 năm nữa tức là t’ = 2t năm thì số hạt nhân còn lại chưa phân rã là :

1 2

t ' T

2

2 t

T

⇔

N¿

N0=(21

t

T )=(13)2=1

9

⇒ Chọn đáp án : C

2 Chất Iôt phóng xạ 13153I dùng trong y tế có chu kỳ bán rã 8 ngày đêm Nếu nhận được 100g chất này thì sau 8 tuần lễ còn bao nhiêu?

A 0,87g B 0,78g C 7,8g D 8,7g

Hướng dẫn:

- Ta có : t = 8 tuần = 56 ngày = 7T

Sau thời gian t thì khối lượng chất phóng xạ 13153 I còn lại là :

m=m0 2−

t

T=100 2−7 = 0,78 g

⇒ Chọn đáp án B.

3.Pôlôni 84

210Po là chất phóng xạ α và biến thành chì 82

206Pb Với chu kỳ bán rã

là 138 ngày đêm Ban đầu có 0,168g Po Hãy tính số nguyên tử Po bị phân rã sau

414 ngày đêm.

Hướng dẫn:

- Ta có: t = 414 ngày = 3.138 ngày = 3T

- Số nguyên tử Po còn lại sau 414 ngày đêm:

N =

N0

2t /T =

N0

23 với N0 =

0,168.6,02.1023

23 ( nguyên tử)

Suy ra : N =

0,004816 1023

2 3 =6, 02 1019

(nguyên tử)

Số nguyên tử bị phân rã:

Δ N = N0 – N = 48,16.1019 – 6,02.1019 = 42,14.1019 (nguyên tử)

Dạng 2: Xác định chu kỳ bán rã, tuổi của mẫu vật, hằng số phóng xạ.

Phương pháp:

- Áp dụng công thức.

N = N0 e - λ t =

N0

2t /T

m = m0 e - λ t =

m0

2t /T

H = H0 e - λ t =

H0

2t /T

Δ N = N0( 1 - e - λ t )

Cụ thể:

- Cho m, m0 Ta có : m =m0.e−λ t

⇔

−λ t=−t ln 2

T =ln(

m

m0) ⇔ t=−T

ln 2 ln(m m0)

- Cho N, N0 Lập luận tương tự , ta được : t=−T

ln 2 ln(N N0)

- Cho H, H0 Lập luận tương tự , ta được :t=−T

ln 2 ln(H H0)

Chú ý : Các đại lượng m – m0 , N - N0 , H – H0 phải cùng đơn vị Và khi giải chỉ quan tâm có cùng đơn vị hay không chứ không cần phải đổi về đơn vị chuẩn để giải nhanh trắc nghiệm

Ví dụ :

1 Một đồng vị phóng xạ có chu kì bán rã T Cứ sau một khoảng thời gian bằng bao nhiêu thì số hạt nhân bị phân rã trong khoảng thời gian đó bằng ba lần số hạt nhân còn lại của đồng vị ấy?

Hướng dẫn:

- Sau thời gian phóng xạ t ( kể từ thời điểm ban đầu ) , ta có :

+ khối lượng hạt nhân còn lại : m =m0 2−

t T

+ khối lượng hạt nhân bị phân rã : Δm = m = = m0( 1−2−t

T) .

- Theo đề , ta có :

Δm

m =

m0( 1−2−

t T

)

m0.2−

t T

=3

t

t

T=4 ⇔ t = 2T

⇒ Chọn đáp án : A

2 Xác định hằng số phóng xạ của 55Co Biết rằng số nguyên tử của đồng vị ấy cứ mỗi giờ giảm đi 3,8%.

Hướng dẫn:

Áp dụng định luật phóng xạ : N = N0 e - λ t

Sau t = 1h số nguyên tử đã phóng xạ : Δ N = N0 – N = N0( 1 - e - λ t ) (1)

Theo đề ra:

ΔN

N0 = 3,8% (2)

Từ ( 1) và ( 2) ta có:

1 - e - λ t = 3,8% = 0,038

→ e - λ t = 0,962 → - λ t = ln(0,962) = - 0,04

Hằng số phóng xạ của 55Co là:

λ = 0,04 (h-1)

3.Để đo chu kỳ bán rã của 1 chất phóng xạ, người ta dùng máy đếm xung Ban đầu trong 1 phút máy đếm được 14 xung, nhưng sau 2 giờ đo lần thứ nhất, máy chỉ đếm được 10 xung trong 1 phút.Tính chu kỳ bán rã của chất phóng xạ Lấy √ 2=1,4 .

Hướng dẫn:

Số nguyên tử bị phân rã trong 1 phút đầu tiên

Δ N1= N01 – N1= N01(1- e−λ Δt

) Sau 2 giờ số nguyên tử còn lại là:

N02 = N01 e−λ.t

Số nguyên tử bị phân rã trong khoảng thời gian Δ t = 1phút kể từ thời điểm này là:

Δ N2 = N02( 1- e−λ Δt

)

2

=N01(1−e −λ Δt

)

N02(1−e −λ Δt

)=

N01

N02=

N01

N01 e−λ t=e λ t

14

10=1,4=√2  λ t = ln √2



ln 2

T t=ln√2 → T =

ln 2

ln√2t = 2t = 2.2 = 4 giờ

4 Pôlôni 21084Po là chất phóng xạ ∝ tạo thành hạt nhân chì 20682Pb Chu kỳ bán rã của

Po

84

210 là 140 ngày Tỉ lệ giữa khối lượng chì và khối lượng pôlôni là 0,8 sau thời gian t bằng bao nhiêu kể từ thời điểm bắt đầu khảo sát mẫu chất?

Hướng dẫn:

Gọi N là số hật nhân 21084Po còn lại vào thời điểm t

N/ là số hạt nhân 20682Pb đang có vào thời điểm t

Số hạt nhân 21084Po đã phóng xạ sau thời gian t là: Δ N = N/

Ta có: m Pb

N = 0,8 → N

¿

∆ N

0,8.210

168

206 (1) Mặt khác: N N¿= 1−e−λt

e−λt (2)

Từ (1) và (2) ta có :1−e−λt

e−λt = 168206 ↔ e λt- 1 = 168206 ↔ e λt= 1,8155 ↔ λt = ln1,8155

→ t =ln 1,8155ln 2 T = 120,45 ngày

Dạng 3: Xác định độ phóng xạ.

Phương pháp:

Cho m0, T Tìm độ phóng xạ của hạt nhân sau thời gian t ?

+ đưa khối lượng ban đầu về số hạt nhân ban đầu :N0=m 0 N A

A hạt + đưa chu kì về đơn vị giây

+ tính độ phóng xạ ban đầu : H0 = λN0 = ln 2T N0 (Bq)

+ tính độ phóng xạ sau thời gian t :H= λN=λ N0e−λt

=H0e−λt (Bq)

Chú ý:

+ ngoài đơn vị Bq , độ phóng xạ còn có đơn vị tính khác là Curi (Ci) , với

1Ci = 3,7.1010 Bq

+ khi tính độ phóng xạ phải đổi T về s và nên lưu số này vào máy tính để tính

nhanh trắc nghiệm : 1năm = 31,536.10 6 s

Ví dụ:

1 Chất Pôlôni 210Po có chu kỳ bán rã T = 138 ngày đêm.

a, Tìm độ phóng xạ của 4g Pôlôni.

b, Hỏi sau bao lâu độ phóng xạ của nó giảm đi 100 lần.

Hướng dẫn:

a, Độ phóng xạ ban đầu của 4g Po

H0 = λ N0 (1) với λ=

ln 2

T =

0,693

138 24.3600 (j-1)

N0=m0N A

A =

4 6 , 02 1023

210 thay số vào (1) ta được: H = 6,67.1014 Bq

b, Tìm thời gian:

H = H0 e−λ.t

→ e

λ t=H0

H → t =

1

0 , 693 ln100=916 ngày

2 Độ phóng xạ của một tượng gỗ bằng 0,8 lần độ phóng xạ của mẫu gỗ cùng loại cùng khối lượng vừa mới chặt Biết chu kì của 14 C là 5600 năm Tuổi của tượng gỗ

đó là :

A 1900 năm B 2016 năm C 1802 năm D 1890 năm

Hướng dẫn:

Theo đề ta có :

H

Áp dụng : từ công thức dạng 2 ta được : t=

−T

ln 2 ln(H H0)= −5600.ln 0,8

⇒ Chọn đáp án C

*Bài tập vận dụng

Với 3 dạng bài toán cơ bản về định luật phóng xạ này học sinh có thể áp dụng làm các bài tập trong cuốn hướng dẫn ôn thi THPTQG và các câu hỏi cùng phần trong đề thi Đại học các năm, ví dụ:

Dạng 1:

Câu 1(CĐ-2013): Hạt nhân 84210Po phóng xạ  và biến thành hạt nhân 20682 Pb Cho chu kì bán rã của 21084 Polà 138 ngày và ban đầu có 0,02 g 84210Po nguyên chất Khối lượng 21084 Po còn lại sau 276 ngày là

Câu 2(CĐ-2013): Một đồng vị phóng xạ có chu kì bán rã là 12,7 giờ Sau 38,1 giờ,

độ phóng xạ của đồng vị này giảm bao nhiêu phần trăm so với lúc ban đầu?

A 85% B 80% C 87,5% D 82,5%

Câu 3 (CĐ 2008): Ban đầu có 20 gam chất phóng xạ X có chu kì bán rã T Khối

lượng của chất X còn lại sau khoảng thời gian 3T, kể từ thời điểm ban đầu bằng

A 3,2 gam B 2,5 gam C 4,5 gam D 1,5 gam

Câu 4(CĐ -2012): Chất phóng xạ X có chu kì bán rã T Ban đầu (t=0), một mẫu

chất phóng xạ X có số hạt là N0 Sau khoảng thời gian t=3T (kể từ t=0), số hạt nhân

X đã bị phân rã là

Câu 5 (ĐH-2013): Ban đầu một mẫu chất phóng xạ nguyên chất có N0 hạt nhân Biết chu kì bán rã của chất phóng xạ này là T Sau thời gian 4T, kể từ thời điểm ban đầu, số hạt nhân chưa phân rã của mẫu chất phóng xạ này là

A 0

15

N

1 N

1 N

1 N 8

Dạng 2:

Câu 1(CĐ 2011): Trong khoảng thời gian 4h có 75% số hạt nhân ban đầu của một

đồng vị phóng xạ bị phân rã Chu kì bán rã của đồng vị đó là:

Câu 2(ĐH -2012): Hạt nhân urani 23892U sau một chuỗi phân rã, biến đổi thành hạt nhân chì 20682Pb Trong quá trình đó, chu kì bán rã của 23892U biến đổi thành hạt nhân chì là 4,47.109 năm Một khối đá được phát hiện có chứa 1,188.1020 hạt nhân 23892U

và 6,239.1018 hạt nhân 20682Pb Giả sử khối đá lúc mới hình thành không chứa chì và tất cả lượng chì có mặt trong đó đều là sản phẩm phân rã của 23892U Tuổi của khối đá khi được phát hiện là

A 3,3.108 năm B 6,3.109 năm C 3,5.107 năm D 2,5.106 năm

Câu 3(ĐH-2011): Chất phóng xạ pôlôni 21084Po phát ra tia  và biến đổi thành chì

206

82Pb Cho chu kì bán rã của 21084Po là 138 ngày Ban đầu (t = 0) có một mẫu pôlôni nguyên chất Tại thời điểm t1, tỉ số giữa số hạt nhân pôlôni và số hạt nhân chì trong

mẫu là

1

3 Tại thời điểm t2 = t1 + 276 ngày, tỉ số giữa số hạt nhân pôlôni và số hạt nhân chì trong mẫu là

A

1

1

1

1

25

Câu 4(THPTQG- 2015) : Đồng vị phóng xạ 21084 Pophân rã , biến đổi thành đồng

vị bền20682 Pb với chu kì bán rã là 138 ngày Ban đầu có một mẫu 21084 Potinh khiết Đến

thời điểm t, tổng số hạt  và số hạt nhân 20682 Pb (được tạo ra) gấp 14 lần số hạt nhân

210

84 Pocòn lại Giá trị của t bằng

A 552 ngày B 414 ngày C 828 ngày D 276 ngày.

Câu 63(ĐH-2013): Hiện nay urani tự nhiên chứa hai đồng vị phóng xạ 235U và

238 U, với tỷ lệ số hạt 235U và số hạt 238Ulà

7

1000 Biết chu kì bán rã của 235U và

238

U lần lượt là 7,00.108 năm và 4,50.109 năm Cách đây bao nhiêu năm, urani tự

nhiên có tỷ lệ số hạt 235U và số hạt238Ulà

3

100?

A 2,74 tỉ năm B 2,22 tỉ năm C 1,74 tỉ năm D 3,15 tỉ năm

Dạng 3:

Câu 1(CĐ 2011): Một mẫu chất phóng xạ có chu kì bán rã T Ở các thời điểm t1 và

2

t (với t2 t1) kể từ thời điểm ban đầu thì độ phóng xạ của mẫu chất tương ứng là

1

H và H2 Số hạt nhân bị phân rã trong khoảng thời gian từ thời điểm t1 đến thời điểm t2bằng

A

ln 2

H  H T

B



 C

ln 2

H H T

D

(H H ) ln 2

T



2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

Với việc phân dạng bài tập có phương pháp giải cụ thể kết hợp với sự chi tiết

về quá trình biến đổi toán học liên quan đến hàm mũ và logarit, học sinh các lớp tôi dạy đa số đã biết vận dụng để giải quyết các bài toán cơ bản, nâng cao khả năng hứng thú với học sinh Từ đó bản thân tôi cũng thấy trưởng thành hơn trong phương pháp giảng dạy và nhờ đó chất lượng học sinh thi THPTQG môn vật lý những năm qua đã có sự tiến bộ rõ rệt, từ những học sinh đầu vào chỉ không liệt là

đỗ thì đầu ra đã có nhiều học sinh điểm Vật lý trên 7 điểm Đó có thể được coi là một thành công ban đầu trong việc đổi mới phương pháp dạy học ở nhà trường

3 Kết luận, kiến nghị:

3.1 Kết luận: