GV trường THPT Sơn Động số 3, Bắc Giang Chúng ta đã biết nhiều tính chất đẹp của hai loại tam giác vuông đặc biệt là tam giác vuông cân và tam giác vuông có góc bằng 30°, Bài viết nà
Trang 1
HOÀNG ĐỨC NGUYÊN
(GV trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội),
LUONG BINH GIÁP
(GV trường THPT Sơn Động số 3, Bắc Giang)
Chúng ta đã biết nhiều tính chất đẹp của hai loại
tam giác vuông đặc biệt là tam giác vuông cân
và tam giác vuông có góc bằng 30°, Bài viết
này giới thiệu một tam giác vuông khá thú vị
khác tam giác vuông có một góc bing 15
Xet tam piiie ABC e6 BAC = 90%, ABC = 15°,
ké dung trung tuyén AM va dudng cao AH
'Ta có A4 = MB hay AMAB cin
suy ra
= 30°, Tam gide AWM vuông tại H cb AMH = 30°,
a)
Hình
Mặt khác Su
Ngược lại ta cũng chỉ ra được nếu tam giác
ABC vuông tại 4 và thỏa mãn hệ thức (1)
hoặc (2) thì tam ABC có một góc bằng 15° Ta có mệnh đề sau, chứng minh chỉ tiết
xin dành cho bạn đọc
Mệnh đề Cho tam giác ABC vuông tại 4,
đường cao AH Tam giác ABC có một góc
bằng \5° khí và chỉ khi một trong các khang
định sau đúng:
A Bai toán I Cho tam giác ABC vuông tai
A, trung tuyển BM, ABM = 15° va Syac = V6
Tỉnh độ dài đoạn thẳng BM
Tả có Sw=2S Tam pide ABM vudng tai
Ac ABM = 15°, nên
theo Mệnh đề trên ta cỏ
Sam = BM? =8,
Do đó BM = 8
'*Bài toán 2 Cho tam giác ABC vuông tại 4
có đường cao AT và AI = 44M.AN, trong
đó A4, N theo thứ tự là chân đường vuông góc
ha tir H dén AC, AB Tỉnh số đo các góc nhọn của tam giác ABC
Logit (b.3) n „
chữ nhật nên
Hình 3 Theo hệ thức
lượng cho tam giác vuông 4C ta có
AI = AM AC.
Trang 2Kết hợp với giả thiết 4# = 4AM.AN suy ra
AC = 4AN = 4HM
Theo Mệnh đề trên thì tam giée AHC c6 mot
góc bing 15°
Nếu ACB = 15° thi ABC = 75°,
Nếu CAN =15°thi ACB =75° => ABC =15°
Vậy số đo các góc nhọn của tam giác 48C là
15° và 759, 1
'Bài toán 3 Cho (am giác ÁBC có BÁC
45°, ABC = 155, Trên cạnh AB lấy điểm M'
sao cho AM “34B Tinh x6 do gic ACM,
Lời giải
Ké MN 1 AC,
i BD L AC (h 4) tw
6 ABC = 45°;
CBD = 30°,
Bt AN = x suy ra
ND = 2x, MN = x,
BD = 3x, CD=xy3, NC=(2+V3)x,
MC? = MN? + NC?
=4x12+3)
=4MN.NC
Vì NMC>ÑCM nên theo Mệnh đề trên ta có
ACM =15°.0
Minh 4
Bai ton 4 Cho (am giác ABC vuông tại A
cả BE là đường phân giác trong, 1 la tam
„ BỊ _j3+I
đường tròn nội tiếp Biết Tei Tỉnh số
do gic ACB
Theo tinh chất đường
phân giác ta có
AB_IB_V3+1
Hinh 5
Đặt AB=(V3+1).x
= AE=(J3-l)x
“Theo định li Pythagore ta có
BE? = AB + AB? = (341) x? +(V3-
= 8x" = 4B AE,
tie 1a BE? = 44BAE, Vi AEB> ABE nén
theo Mệnh dé tfén ta có
ABE = 18° => ABC = 30° =>
ACB = 60°
'Bài toán 5 Cho tam giác ABC có BAC =
19%, đường cao CH thoả mãn CH=>.4B Chieng minh rằng tam giác ABC cán
Lời giải Cách 1 Ke
BD LAC, DP 1 AB
(h 6) Tam giác
ADB vuông tại D vu tit 7
co BAD = 75°
tiên: ABỒ (5% Hình 6
theo Mệnh để trên suy ra bp=LaB Theo
giả thiết C/ fan nén DP 2CH tả cổ
DP 11 CH nên DP là dui trùng ch của tam, gic ACH, hay Dla trung điểm của 4C, Vậy tam giác ABC cn Wi B
Cách 2 (bạn đọc tự về hình) Đường thẳng qua
C và vuông góc với AC cit AB tại 8° Tam giác CAB' vuông tại C va BY = 15° suy ra
CH=1AB" Theo giả thiết CH -34n nên
B= 5 AB hay B là trung điểm của 4ˆ Từ đó
suy ra BC = BA Vậy tam giác ABC cân tại B
'*Bài toán 6 Cho A là điểm nằm m trong hình
vuông ABCD thỏa mãn MAD = MDA = 15°
Chứng minh tam giác MBC đều.
Trang 3
Dễ thấy tam giác MØC can tai M Ke
Láp= Lan
2
MH 1 AB suy ra Mb
Xét tam
ABM cô
MAB = 75°
1
giác
we nén theo Bai toan
Hình 7 ABM cân tại B
suy ra 8M = B4 = BC Tương tự có MC =
BC Vậy tam giác ABC đều
Bài toán 7 Cho tam giác ABC có: BAC
7Š, ke đường cao AHH, biết AH=sBC
Chứng mình rằng tam giác ABC cân
Lời giải
Qua 4 kế dường
3 thing d song song
với #C Qua kÈ dường thẳng Øx
cho 48C = 75°,
Kẻ41/'L5C
=A4H'=AH ola Theo Bai toán 5 thì tam
Hình 8
giác 4'BC cân tại C Xét hai trưởng hợp:
i) Néu 4
Athi tam gide ABC can tai C
ii) Néu A'# A (h 8) thì BŒC= BÁC = 75°,
hình thang 844C nội tiếp nên nó là hình
thang cân, suy ra BA = CA* = CB hay tam
giác ABC cân tại B
Vậy tam giác 4BC căn tai B hoặc C
*Bài toán 8 Cho tam giác 4LBC vuông cẩm
tại C Gọi P là điểm trên cạnh BC M là trung
điểm của AB, Các điểm L, N thuộc đoạn AP
sao cho CN 4 AP va AL = CN Biét rang
Sane =48;yv » Tinh 96 do goe CAP
(Cuộc thi toán mùa xuân ở Bulgaria 1999)
Lời giải Ta có AAML = ACMN (c.ge) = AMIN vuông cân tai M
Do dé By
Suy =
M
Saac= A
Theo giá thiết
Suse = 4S € 4
AC Hình 9
@ AC=V2LN
N =x, AL = CN = ytacé AC=V2x va
AC? =AN?4+CN? 2: xty?+y?
y= „ suy ra 4!
2 2
›_a(xe/3-UÌ(xe3+Ð
eo p 2
=4.A N
'Theo Mệnh đề trên ta có 4P = 159
OOO
Cuối cùng mời bạn đọc cùng luyện tập thông qua một số bài tập dưới đây
1 Cho hình chữ nhật 18CD có 4L
AM là điểm trên canh AD sao cho ABM
Ching minh ring MC = BC
2 Cho hình chữ nhật ABCD voi AB = 24D
AM là trung diém cia AB Trén cạnh AB lay
điểm H sao cho ADH = 15° Hai đường
thing CH va DM cat nhau tai K, Hay so sánh
độ dài các dogn thing Di va DK
(THTT T2
25)
3 Cho tam giác 48C có góc B ti Duong trung trực của cạnh 4Ø cất 1C tại A/, đường,
trung trực của cạnh 4C cất 4# tại Ñ (giả sử B nằm giữa 4 và N) Cho MN = BC và
MN LBC Tinh s6 do gic ABC
4 Cho tam giác 41BC vuông tại 4 và 48C =
60° Lay điểm M thuộc cạnh BC sao cho
AB + BM= AC + CM, Tinh s6 do gốc CẢM
