Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 10 - Trường THPT Nguyễn Huy Hiệu

Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và máy làm việc trong 3 giờ... Biểu diễn hình học tập nghiệm của.[r]

TRƯỜNG THPT NGUYỄN DUY HIỆU

ĐỀ THI HSG LỚP 10 MÔN TOÁN

Câu 4 (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;1) và B(4;-3) Tìm điểm C thuộc đường

thẳng x – 2y – 1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6

c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD, điểm M( 2;0) là trung điểm của

cạnh AB, điểm H (1; 1)  là hình chiếu của B trên AD và điểm 7

;3 3

  là trọng tâm tam giác BCD

Đường thẳng HM cắt BC tại E, đường thẳng HG cắt BC tại F Tìm tọa độ các điểm E, F và B

Câu 6 (1,5 điểm) Cho x, y là các số thực thỏa mãn 2 2

1

x  y  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

y x  x  và điểm I(1;4) Tìm trên (P) hai điểm M,

N đối xứng nhau qua điểm I 1,50

Vì I không thuộc trục đối xứng của (P) nên hai điiểm M,N thỏa đề bài thuộc đường thẳng  qua I và có hsg k có phương trình yk x(  1) 4

0,25 0,25

M, N đối xứng nhau qua điểm I  I là trung điểm của MN

1 2

1

42

42

2 ( m m )   0 1 m 2 0,25 Kết hợp với ĐK (1) ta được 1 m 2 hoặc  2  m 1 0,25

Vậy tập nghiệm của BPT là S   2; 2

0,25 0,25

2 b Giải hệ phương trình:

(x 1)(y 6) y(x 1) (y 1)(x 6) x(y 1)

TH 2 x   y 2 xy    7 0 2 xy    x y 7Cộng hai pt theo vế ta được

0,25

3 x   1 m x   1 2 x  1 có nghiệm 1,50 ĐK: x  1 Chia hai vế cho x  1 ta được

)3()1('  2 2   

biến đổi x13x1x224x1x23x2x124x2 ( )[( )2 2 1 2 4] 0

2 1 2

3

x x x x

m m

330

31163

4

73)12(46)

;(

2

c c

c c

AB C d

4311

DE DG 

H A

2

1

2 21

Biến đổi ta được (S2)( 3      S 6) 0 2 S 2

Do S   1  2; 2 nên maxS 2, minS 2

0,25 0,25

Câu III (3,0 điểm)

1) Cho tam giác ABC có trọng tâm G và điểm N thỏa mãn NB 3NC 0 Gọi P là giao

x  x   x m x  x  m (1) 0,25 Đường thẳng (d m) cắt đồ thị ( )P tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có

m m m

0,25

Dấu "" không xảy

ra nên phương trình (2) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x0 và x3

Xét x 1, thay vào (2) thỏa mãn

Xét x  1 x 1 0 Chia hai vế của (2) cho  3

Gọi M là trung điểm của cạnh BC Đặt APk AC

13

EAK KBH HCE

HCE EAK KBH

1 sin2

1 sin2

1 .sin

1 sin2

( )

3 5 0

( )

Do tam giác ABC cân tại A nên đường phân giác trong kẻ từ A cũng là đường cao

Xét trường hợp d là đường cao của tam giác ABC kẻ từ 1 A

Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 3 0 11 ( 11;14)

và máy làm việc trong 1,5 giờ Biết một kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, một kilôgam sản phẩm loại II lãi 400000 đồng và máy chuyên dụng làm việc không quá 120

giờ Hỏi xưởng cần sản xuất bao nhiêu kilôgam sản phẩm mỗi loại để tiền lãi lớn nhất?

Giả sử sản xuất x kg( ) sản phẩm loại I và y kg( ) sản phẩm loại II

Điều kiện x0,y0và 2x4y200 x 2y100Tổng số giờ máy làm việc: 3x1,5y

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ các đường thẳng d1:x2y100; d2: 3x1,5y120Đường thẳng d1 cắt trục hoành tại điểm A(100;0), cắt trục tung tại điểm B(0;50) Đường thẳng d2 cắt trục hoành tại điểm C(40;0), cắt trục tung tại điểm D0;80 Đường thẳng d1 và d2 cắt nhau tại điểm E20;40

Biểu diễn hình học tập nghiệm của

hệ bất phương trình (I) là miền đa giác OBEC

0,25

0

00

x

T y

x

T y

x

T y

x

T y

8 ( 2)( 2 4)

268

x x x

Từ (1), (2), (3) và (4), ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y z 1

0,25

x 9x 11x 21

 



   b) Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m là tham số): 2   3  2

Câu 6 (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng là d1: 3x y 0 và d2: 3x y 0 Gọi (C) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B Viết phương trình của đường tròn (C) biết tam giác ABC có diện tích bằng 3

2

và điểm A có hoành độ dương

x y y

4 y

 Với x = y thay vào (2) ta được : 2x    2 x y 2

 Với x = 4y thay vào (2) ta được:

0 -2

P m

Khi đó trung điểm của đoạn nối 2 đỉnh đó sẽ có tọa độ nguyên

Do ngũ giác là lồi nên trung điểm đó nằm ở miền trong hoặc tren cạnh của ngũ giác

0,25

0,25

0,25

0,25 b) Cho nửa đường tròn đường kính AB và một điểm C cố định thuộc đoạn AB (C khác A, B).Lấy điểm M trên nửa đường tròn Đường thẳng qua M vuông góc với MC lần lượt cắt tiếp tuyến qua A và B của nửa đường tròn tại E và F Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác CEF khi M di chuyển trên nửa đường tròn

2,0

Vì AEMC và BFMC là các tứ giác nội tiếp nên:

0MEC MFC MAC MBC 90

0ECF 90

  Vậy SCEF 1CE.CF

2



Hai tam giác AEC và BCF đồng dạng nên:

Vậy diện tích tam giác CEF nhỏ nhất bằng AC.BC khi AE = AC và BC = BF

2

và điểm A có hoành độ dương

3,0

+ Gọi I là tâm đường tròn (C) đường kính là AC

+ A thuộc d1 nên có tọa độ là A a;  3a ; a  0.

+ Đường thẳng AB đi qua A và vuông góc với d2 có phương trình:

I C

A d2

+ Đường thẳng AC đi qua A và vuông góc với d1 có phương trình:

b (1đ) Cho sina.sinb 5cosa.cosb 

(5đ)

Đk :

2 2

0.5đ

2

2 6 2x-18x 25

25( )8

KL: Hệ có tập nghiệm S { (2;2),(32 8 15;8 2 15)}   0.25đ

Câu 2

(3 đ)

a Cho parabol (P) : y = 3x 2 – x – 4 Gọi A,B là giao điểm của (P) với Ox Tìm m

< 0 sao cho đường thẳng d: y= m cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N mà bốn điểm A, B, M, N tạo thành tứ giác có diện tích bằng 4

Cho sina.sinb 5cosa.cosb TÝnh S

sin a 5cos a sin b 5cos b 1đ

5(10 tan a tan b) 5

0.5đ

Chọn điểm A bất kì trong 2n + 3 điểm đó Vẽ đường tròn (A;1), khi đó có hai khả năng :

a) Nếu tất cả các điểm thuộc hình tròn (A;1) thì bài toán thỏa mãn

0.5 đ

b) Nếu không phải tất cả các điểm thuộc hình tròn (A;1) Khi đó, có 1 điểm gọi

là B không thuộc hình tròn (A;1)

B

Dấu bằng xảy ra khi a.MA  b.MB c.MC   0

 M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

0.5đ

Câu 6

(4,0

điểm

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC D

là trung điểm AB, E (16;1)

3 nằm trên cạnh AC mà AC = 3EC Đường thẳng

DC có phương trình x - 3y + 1 = 0 Tìm tọa độ các điểm A, B, C

KL: A(12;1), B(4,5), C(2;1) hoặc A(0;-3), B(4;5), C(8,3) 0.5 đ

Chú ý: thí sinh làm theo cách khác đúng, giám khảo dựa vào thang điểm cho điểm tương ứng

b Tìm các giá trị của tham số m sao cho hàm số yf (x)x2(2m 1)x m  21 có

giá trị bé nhất trên đoạn [0;1] bằng 1

Câu 4: (4,0 điểm)

Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có trực tâm H(3; 0) và trung điểm của BC là I(6;1) Đường thẳng AH có phương trình x + 2y - 3 = 0 Gọi D , E lần lượt là chân đường cao kẻ từ điểm B và C của tam giác ABC Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết phương trình DE là x - 2 = 0 và điểm

D có hoành độ dương

Câu 5: (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC Gọi A’, B’, C’ lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB.Chứng minh rằng diện tích

của một trong ba tam giác AB’C’, BA’C’, CA’C’ không thể vượt qua một phần tư diện tích tam giác ABC Với điều kiện nào các tam giác này có diện tích bằng nhau và bằng một phần tư diện tích tam giác ABC

điểm) Điều kiện: 1

5min f(x)= min f(x)= f(x ) m 1

Ta có (a b) 2 0 a2ab b 2ab a3b3ab(a b) 

a3 2 2

b a abb

Tương tự (b c) 20 b3 2 2

c b bcc

(c a) 20c3 2 2

a c caa

b/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

yz x 1 zx y 4 xy z 9P

Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có trực tâm H(3; 0) và trung điểm của BC

là I(6;1) Đường thẳng AH có phương trình x + 2y - 3 = 0 Gọi D , E lần lượt là chân đường cao kẻ từ điểm B và C của tam giác ABC Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết phương trình DE là x - 2 = 0 và điểm D có hoành độ dương

4,0

Tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn tâm I và tứ giác AEHD nội tiếp đường tròn tâm F 0,5

Vậy IF là đường trung trực của ED Do đó IF ED 0,5

A

Kí hiệu S S ABC, SA SAB'C', SB SBA 'C', SCSCA 'B'

Ta có A  

1AC'.AB'.sin A

1

AC.AB.sin A2

Suy ra SA  1

S 4 hoặc SB 1

S 4 hoặc SC 1

S 4Dấu bằng xảy ra đồng thời khi và chỉ khi A’, B’, C’ tương ứng là trung điểm của

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí