SKKN Phuong trinh vo ti

Gióp gi¸o viªn n©ng cao n¨ng lùc tù nghiªn cøu, ®ång thêi vËn dông tæng hîp c¸c tri thøc ®· häc, më réng, ®µo s©u vµ hoµn thiÖn hiÓu biÕt... Nghiªn cøu vÒ t×nh h×nh d¹y häc vµ häc vÊn ®Ò[r]

Phần I: Lý do nghiên cứu 1-Cơ sở lý luận:

Trong quỏ trỡnh phỏt triển ,xã hội luôn đề ra những yêu cầu mới cho sự nghiệp

đào tạo con ngời Chính vì vậy mà dạy toán không ngừng đợc bổ xung và đổi mới để

đáp ứng với sự ra đời của nó và sự đòi hỏi của xã hội Vì vậy mỗi ngời giáo viên nói chung phải luôn luôn tìm tòi ,sáng tạo ,đổi mới phơng pháp dạy học để đáp ứng với chủ trơng đổi mới của Đảng và Nhà nớc đặt ra

Trong chơng trình môn toán ở các lớp THCS kiến thức về phơng trình vô tỉ không nhiều song lại rất quan trọng đó là những tiền đề cơ bản để học sinh tiếp tục học lên ở THPT

Khi giải toán về phơng trình vô tỉ đòi hỏi học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về căn thức, phơng trình, hệ phơng trình, các phộp biến đổi đại số Học sinh biết vận dụng linh hoạt , sáng tạo các kiến thức , kỹ năng từ đơn giản đến phức tạp

“Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỷ ”giúp học sinh phát triển t duy, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo trong giải toán.Đồng thời giáo dục t tởng, ý thức,thái

độ, lòng say mê học toán cho học sinh

2.Cơ sở thực tiễn:

Phơng trình vô tỉ là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó, nhiều học sinh không biết giải phơng trình vô tỉ nh thế nào?có những phơng pháp nào?

Các bài toán về phơng trình vô tỉ là một dạng toán hay và khó, có nhiều trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10 THPT Tuy nhiên, các tài liệu viết về vấn đề này rất hạn chế hoặc cha hệ thống thành các phơng pháp nhất định gây nhiều khó khăn trong việc học tập của học sinh, cũng nh trong công tác tự bồi dỡng của giáo viên

Mặt khác, việc tìm hiểu các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ hiện nay còn ít giáo viên nghiên cứu

Vì vậy việc nghiên cứu các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ là rất thiết thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung và xác định đợc phơng pháp giảng dạy phần này

đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lợng dạy và học, dặc biệt là chất lợng học sinh giỏi và giáo viên giỏi ở các trờng THCS

II-Mục đích nghiên cứu:

+ Nghiên cứu về “phơng pháp giải phơng trình vô tỉ trong chơng trình toán THCS” Giúp giáo viên nâng cao năng lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp các tri thức đã học, mở rộng, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết Từ đó có phơng pháp giảng dạy phần này có hiệu quả

+ Nghiên cứu vấn đề này để nắm đợc những thuận lợi, khó khăn khi dạy học phần

ph-ơng trình vô tỉ trong bồi dỡng học sinh khá giỏi, từ đó định hớng nâng cao chất l-ợngdạy và học môn toán

+ Nghiên cứu vấn đề này còn giúp giáo viên có t liệu tham khảo và dạy thành công

về phơng trình vô tỉ

III- Nhiệm vụ nghiên cứu:

1 Nghiên cứu về tình hình dạy học và học vấn đề này ở nhà trờng

2 Hệ thông hoá một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ

3 Tìm hiểu mức độ và kết quả đật đợc khi triển khai đề tài

4 Phân tích rut ra bài học kinh nghiệm

IV- Phạm vi và đối tợng nghiên cứu:

1 Đối tợng nghiên cứu:

a Các tài liệu

b Giáo viên, học sinh khá giỏi ở trờng THCS Gia Sơn

2 Phạm vi nghiên cứu:

Các phơng pháp để giải phơng trình vô tỉ thờng gặp ở THCS

V- Phơng pháp nghiên cứu:

1 Phơng pháp nghiên cứu tài liệu

2 Phơng pháp điều tra, khảo sát

3 Phơng pháp thử nghiệm

4 Phơng pháp ttổng kết kinh nghiệm

VI- Giả thuyết khoa học:

Nâng cao chất lợng dạy và học trong và sau khi nghiên cứu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, giúp cho giáo viên dạy có hiệu quả cao hơn, học sinh ham thích học dạng toán này hơn

PHầN II: Nội dung

A- Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ:

* Khái niệm: Phơng trình vô tỉ là phơng trình đại số chứa ẩn trong dấu căn thức (ở đây tôi chỉ đề cập đến những phơng trình mà ẩn nằm dới dấu căn bậc hai và căn bậc ba)

* Phơng trình vô tỉ rất phong phú và đa dạng, hớng chung để giải quyết phơng trình vô tỉ là làm cho phơng trình đợc chuyển về dạng hữu tỉ

I-Phơng pháp nâng lên luỹ thừa:

1 Kiến thức vận dụng:

+ (AB)2 = A2

 2AB + B2 + (AB)3 = A3  3A2B + 3AB2  B3

 





















2 )(

)(

0 )(

0 )(

)(

)(

xg xf

xg

xf

xg

xf

+ 3 A m Am3

2 Ví dụ:

Ví dụ 1: Giải phơng trình sau: 2  2x 1 x (1)

Giải

Điều kiện căn có nghĩa: 2x 1  0 (2)

2

1



(1) 2x 1 x 2 (3)

Với điều kiện x 2  0 (4)

(3) 2x - 1 = (x-2)2 (5)

0 5

6

4 4 1

2

2

2



















x

x

x x

x

Giải ra ta đợc x1=1 không thoả mãn (4)

x2 = 5 thoả mãn (2) và (4) nghiệm duy nhất của phơng trình: x = 5

Ví dụ 2: Giải phơng trình: x 1  5x 1  3x 2 (1)

0 2 3

0 1 5

0 1



























x x

x

(2)

(1) x 1  3x 2  5x 1

Hai vế đều dơng, bình phơng hai vế ta đợc















































) 3 ( ) 7 2 ( ) 2 13 15

( 4

0 7 2

2 13 15

2 7 2

) 1 5 )(

2 3 ( 2 1 5 2 3 1

2 2

2

x x

x x

x x

x

x x

x x

x

Giải (3) ta đợc:

7

2



Vậy phơng trình vô nghiệm

Ví dụ 3:Giải phơng trình x 1  x 2  1 (1)

Giải

Điều kiện: x  2 (2)

Viết PT (1) dới dạng

x 1  x 2  1 (3)

Hai vế của (3) không âm, bình phơng hai vế ta đợc

x 1 x 2  1  2 x 2

 2  2 x 2  x 2  1  x 2  1  x 3 thoả mãn điều kiện (2)

Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x= 3

Lu ý:

+ Nếu để (1) bình phơng ta phải đặt ĐK

x+1x 2 (Đk này luôn đúng)

+ Nếu biến đổi (1) thành x 2  x 1  1 rồi bình phơng hai vế ta phải đặt ĐK

0 1

x

Ví dụ 4: Giải phơng trình: 3 x 1  2  3 7  x (1)

Giải:

3 3

2 ) 7 1 (

2 2 7 1 )

1

(





















x x

x x

Giải (1)

7

; 1

0 ) 7 )(

1 (

0 ) 7 )(

1 (

2 1

3

























x x

x x

x x

Là nghiệm của phơng trình

Chú ý:

- Khi bình phơng hai vế của phơng trình cần chú ý điều kiện hai vế cùng dơng.-Trớc khi lên luỹ thừa cần biến đổi phơng trình về dạng thuận lợi nhất để hạn chế các trờng hợp hoặc có lời giải ngắn gọn







Giải: (x 2 ) 2 x 8

2



 x +x  8

Nếu x 2 thì x 2 x 8  x 5

Nếu x <2 thì 2  xx 8 vô nghiệm

Kết luận : x=5 là nghiệm của pt

4- Bài tập tơng tự:

Giải các pt sử dụng phép bình phơng

1/ x2-4x =8 x 1 (x=4+2 2)





3/ 2 72

x

x

4/ x 1- x 2= x 5- x 10 (x=-1)

Sử dụng phép lập phơng:

1/3 x 1+3 x 2=3 2 x 3 (x=4; 2)

2/3 x 1+3 x 1=3 5x (x=0; 

2

3/3 x 1+3 3 x 1=3 x 1 (x=- 1)

27

28

)

II -Phơng trình đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

1/kiến thức vận dụng :

+) f(x) 2  f(x)  f (x) nếu f(x)  0

 f (x) nếu f(x)0

+)phơng pháp giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối (tự tìm hiểu )

2-Ví dụ:

Ví dụ6 :Giải phơng trình : x 2  4x x 2 + x 7  6 x 2  1 (1)

Giải:

Điều kiện : x-2 0hay x 2 (2)

1 3 2 2

2

1 ) 3 2 ( ) 2 2





























x x

x x

Cách 1: Chia các trờng hợp để bỏ dấu giá trị tuyệt đối

Cấch 2: Sử dụng bất đẳng thức a b ab , dấu “=” xảy ra khi a,b > 0

Khi đó x 2  2  3  x 2  x 2  2  3  x 2  1 (3)

Dấu “=”xảy ra khi:  x 2  23  x 2 0 (4)

Giải (4) ta đợc: 6 x 11Thoả mãn (2)

Vậy nghiệm của phơng trình (1)là : 6 x 11

3/ Chú ý :

+ Phơng pháp này thờng đợc áp dụng khi các biểu thức trong dấu căn bậc hai viết đợc thành bình phơng của một biểu thức

+ Có những phơng trình cần phải biến đổi mới có dạng trên

4/ Bài tập áp dụng: Giải các phơng trình sau:

1) 2 2 1 2 2 1 2











2) 2 1 2 1 2











 x x x

3) x 2  3 2x 5  x 2  2x 5  2 2 













2

5

x

III- Phơng pháp đặt ẩn phụ:

1 Đặt ẩn phụ đa về phơng trình ẩn mới:









Giải :

Ta có :

4

11 2

5 9

5

















Đặt: x2  5x 9 y 0  x2  5x 9 y2

Khi đó (1)  y2 + 4 = 4y

0 5 5

4 5 5 2

2 2





















x x

x x y























2

5 5 2

5 5

x x

4

1 2

1









Giải:

Điều kiện: x 4 (2)

4

1





x

4

1

2 



2

1 ( 4

2







y

0 7 4

4 2

































2

1 2 2

0 2

1 2 2

y y

Trờng hợp

2

1 2





 x 2  2 , thoả mãn điều kiện (2)

Vậy nghiệm của phơng trình là : x 2  2

Ví dụ 9: Giải phơng trình: 3 x 1  3 x 3  3 x 3  0 (1)

Giải:

Đặt: x 2 y

(1)  3 y3  1  3 y3  1   y

Lập phơng hai vế ta có : y3 y3 y6  1

















3 6

0

y y

y

(+) Nếu: y 0  3 x 2  0  x  2









Vậy nghiệm của phơng trình là : x = -2

2 Đặt ẩn phụ đa về hệ phơng trình:

a Dạng: axb r(uxv) dxe (1)

Với a,u,r  0

Đặt u.yv axb

Khi đó phơng trình (1) đa đợc về dạng :

0 ) 1 2 )(

u







Giải:

Điều kiện:

2

15 0

15

Khi đó: (1) 2 15 2 ( 4 2 ) 2 28









Đặt: 4y 2  2x 15 (3)

Điều kiện:

2

1 0

2

Khi đó (2) trở thành (4x + 2)2 = 2y + 15 (4)

Từ (3) ta có : (4y + 2)2 = 2x + 15 (5)

Từ (4) và (5) có hệ:





















)5 ( 15 2 )2 4(

)4 ( 15 2 )2

4(

2

2

x y

y x

Trừ vế với vế của (4) cho (5) ta đợc (x- y)(8x + 8y + 9) = 0

+) Nếu: x-y = 0 x  y thay vào (5) ta đợc : 16x2 + 14x-11 =0





















8

11

2

1

x

x

với

8

11





+) nếu 8x + 8y + 9 = 0

9 8

64x2 + 72x-35 =0

, loại

Vậy nghiệm của phơng trình là :

2

1

1 

x

16

221 9

2







x

b) Dạng:

e dx v ux

r

b

Đặt uyv 3 axb









 v rP rPQ rQ y

Trong đó: Puyv Quxv

Ví dụ 11: Giải phơng trình: 3 3x 5  8x3  36x2  53x 25 (1)

Giải (1) 3 3 x 5 =(2x-3)3-x+2 (2)

Đặt :2y-3=3 3 x 5

3

) 3 2 (

5

) 3 2 ( 5

Từ (3),(4) có hệ :























3

3 )3 2(

5 2

)3 2(

5 3

x x

y

y x

Trừ vế với vế ta đợc :



























16

221 9

16

221 9

x

x

0 ) 1 )(

(x y P Q PQ  (5)

Trong đó :P 2 y 3

Q 2 x 3







Q P Q

Do đó :(5)  x  y Thay vào (3) ta đợc:

(x-2)(8x2 -20+11)=0

 x1=2 ; x2 =

2

3

5  ; x3 =

2

3

5 

c Một số dạng khác:

Ví dụ 12: Giải phơng trình: 3 x 2  x 1  3 (1)

Giải

Điều kiện: x  1 (2)

Đặt:

3

3 x 2 y x 2 y

3

1 0

1

2 2

2



















y z

z x z

x

Với điều kiện (2) thì (1) đa về hệ:



















 0 3

3

2 2

z

y z

z y

Giải hệ này ta đợc:









 2

1

z y

Từ đó suy ra: x = 3 là nghiệm của phơng trình (1)

2

1 1

2 





x

Giải:

Điều kiện:















2 2

0

x x











 x y x y

Ta có hệ: (1)

















 2 1 1

2

2 2

y x

y x

Đặt: x +y = S ; xy = P

(1)

































1

, 2 1

2 ,1 2

2 2

2

S P

S P P S

P S

+Trờng hợp 1: Ta đợc x=y=1; Trờng hợp 2:

























 2

3 1 2

3 1

y

x

hoặc

























 2

3 1 2

3 1

y x

Từ đó ta đợc x = 1; x =

2

3

1 

3 Chú ý:

* Giải phơng trình vô tỉ bằng phơng pháp đặt ẩn phụ giúp ta giải đợc nhiều bài toán khó, tuy nhiên để đặt cái gì làm ẩn phụ và có mấy ẩn phụ thì phải biết nhận xét và tìm mối liên quan giữa các biểu thức trong phơng trình, liên quan giữa các ẩn

* Cần phải có kỹ năng giải phơng trình và hệ phơng trình

4 Bài tập áp dụng:

1) x2  2x 9  6  4x 2x2

2) x 2 x 1  x 2 x 1  4

(đặt x 1 y 0 ;x 5)

3) x 1  2 x  x 4  4 x  1

(đặt x y; 1 x 4)

Đặt hệ phơng trình:







x

Đặt: x 2 a, x2  2x 4 b

2- 5 3 1 2 ( 2 2 )





x

2

37 5 ( 1

;











x

x 3  13 ;x 3  13

x x

1 1

Đặt:

2

5 1

; 1 1

;









x

a x

x

4 - 3 2  x x 1  1

Đặt 3 2  x a; x 1 ; 2 ; 10









x

8

37 11

; 4

11

; 1 , 1 3 3







x

2

29 5

; 1 , 2

x

2 3 3



x

(Đặt 3x 2 y,x 1 ;  2 )

IV- Phơng pháp bất đẳng thức:

Chứng tỏ tập giá trị ở hai vế rời nhau khi đó phơng trình vô nghiệm:

* Phơng trình: f(x) = g(x)

Nếu tập giá trị của f(x), g(x) lần lợt là: S1, S2 mà S1 giao với S2 bằng rỗng thì phơng trình vô nghiệm

* Ví dụ 14: Giải phơng trình: x 3  7x 3  5x 2 (1)

Giải

Điều kiện: x 3

Với điều kiện này thì: x 3  7x 3

Khi đó vế trái của (1) âm, còn vế phải dơng do đó phơng trình (1) vô nghiệm

2- Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế:

* Phơng trình F(x) = G(x) (1)

Nếu: F(x)K, dấu đẳng thức sảy ra khi x = a

G(x)K, dấu đẳng thức sảy ra khi x=b

(k,a,b là các hằng số)

.) a = b  (1) có nghiệm là: x = a

.) a b  (1) vô nghiệm

* Ví dụ 15: Giải phơng trình: 3x2  6x 7  5x2  10x 14  4  2x x2 (1)

Giải















x

Vế phải: 4-2x –x2 = 5- (x+1)2  5

Do đó cả hai vế đều bằng 5 khi x =-1, với giá trị này cả hai bất đẳng thức trên đều là

đẳng thức

Vậy x = -1 là nghiệm của phơng trình











Giải

2 2 1 2 2 2 1 2 2 1

1b a b a a . b b

2

2 1

1

b

a b

a



















Dấu “=” xảy ra khi x=3

Vậy phơng trình vô nghiệm

c Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:

* Ta chỉ ra nghiệm cụ thể và chứng minh đợc các trờng hợp khác của ẩn không là nghiệm của phơng trình







Giải

Ta thấy x = 3 nghiệm đúng phơng trình

+ Với x > 3 thì 3 x 2  1 , x 1  2  vế trái của (1) lớn hơn 3

+ Với -1x 3 thì 3 x 2  1 , x 1  2  vế trái của (1) nhỏ hơn 3

Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phơng trình

d Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt

1





x x

Giải

Điều kiện: x >

4

1

(2)

a

b b a

Với a,b > 0 thì dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

1





x x

x

Dấu “=” xảy ra  x 4 x 1

3

2

0 1

4

2















x

x

x

Thoả mãn (2)

Vậy nghiệm của phơng trình là: x = 2  3

e Bài tập áp dụng:



























x (Vô nghiệm)

4) x 1 x 3 2 (x 1 )(x2 3x 5 ) 4 2x



























x

= 82 - x 3  y 1  z 665 (x = 19; y = 5; z = 1890)

V- Những chú ý:

* Khi giải phơng trình vô tỉ cần tránh những sai lầm sau:

+ Không chú ý đến điều kiện có nghĩa của căn thức

+ Không đặt điều kiện có nghĩa của căn thức

* Để giải phơng trình vô tỉ thành thạo thì các kiến thức sau cần nắm vững

+ Các phép biến đổi căn thức

+ Các phép biến đổi biêủ thức đại số

+ Các kiến thức và phơng pháp giải các phơng trình và hệ phơng trình

+ Các kiến thức về bất đẳng thức

I-Bài học kinh nghiệm:

Phơng trình vô tỷ là một dạng toán không thể thiếu đợc trong chơng trình bồi dỡng học sinh giỏi THCS Nếu chỉ dừng lại yêu cầu trong sách giáo khoa thì cha đủ, vì vậy

đòi hỏi giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo thờng xuyên bổ xung kiến thức và tích luỹ kinh nghiệm về vấn đề này

*Để dạy học cho học sinh hiểu và vận dụng tốt phơng pháp giải phơng trình vô tỷ thì bản thân mỗi giáo viên phải hiểu và nắm vững về phơng trình vvô tỷ: các dạng phơng trình vô tỷ, phân biệt sự khác nhau giữa phơng trình vô tỷ với các dạng phơng trình khác, đồng thời phải nắm vững các phơng pháp giải phơng trình vô tỷ

*Qua việc nghiên cứu bên cạnh việc giúp cho bản thân nâng caokiến thức nâng cao nghiệp vụ, bồi dỡng học sinh giỏi có hiệu quả,ngoài ra còn giúp bản thân nâng cao phơng pháp tự học, tự nghiên cứu để có thể tiếp tục nghiên cứu các vấn đề khác tốt hơn trong suốt quá trình dạy học của mình

II-Kết luận chung:

Để thực hiện tốt công việc giảng dạy, đặc biệt là công tác bồi dỡng học sinh giỏi ngời thày phải thờng xuyên học, học tập, nghiên cứu

Trong quá trình giảng dạy, học sinh học tập, học sinh bồi dỡng, đọc tài liệu tham khảo tôi đã rút ra một số kinh nghiệm nêu trên hy vọng đề tài ‘”Một số

ph-ơng pháp giải phph-ơng trình vô tỷ” làm một kinh nghiệm của mình để giúp học sinhtiếp

thu vấn đề này, phần nào nâng cao năng lực t duy, sự sáng tạo và rèn kỹ năng giải các phơng trình vô tỷ cho học sinh

Trong quá trình nghiên cứu khôngh thể tránh khỏi sai sót, hạn chế rrất mong

đ-ợc sự giúp đỡ, góp ý của đồng nghiệp