Sáng kiến kinh nghiệm SKKN về những sai lầm của học sinh khi giải bất phương trình vô tỉ

A - ĐẶT VẤN ĐỀ I-LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Bất phương trình vô tỉ là một trong những phần quan trọng của lớp 10.Bất phương trình vô tỉ thường được dùng để ra đề trong thi đại học và thi học sin

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

"NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI BẤT

PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ"

A - ĐẶT VẤN ĐỀ I-LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Bất phương trình vô tỉ là một trong những phần quan trọng của lớp 10.Bất phương trình vô tỉ thường được dùng để ra đề trong thi đại học và thi học sinh giỏi cấp tỉnh Để giải được bất phương trình vô tỉ thì học sinh phải nắm vững định nghĩa về bất phương trình,định nghĩa về bất phương trình vô tỉ ,hai bất phương trình tương đương, các phép biến đổi tương đương

Trong thực tế giảng dạy ở trường THPT, đặc biệt là học sinh lớp 10 của trường tôi số lượng học sinh ở mức độ học lực trung bình cao,điểm đầu vào môn toán thấp.Nên học sinh gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán liên quan về bất phương trình vô tỉ Các em hay mắc phải sai lầm khi kết hợp nghiệm của bất phương trình vô tỉ hoặc xét thiếu trường hợp hoặc bình phương hai vế mà không xét dấu của hai vế dẫn tới phép biến đổi không tương đương

Trong nội dung của đề tài xin được tập trung giới thiệu một số sai lầm học sinh thường mắc phải khi giải bất phương trình vô tỉ dạng cơ bản và một số bài tập vận dụng , nhằm giúp học sinh giải về bất phương trình vô tỉ đúng hơn Giúp học sinh khắc phục được những sai lầm của mình khi giải bất phương trình vô tỉ

Qua đề tài (Những sai lầm của học sinh khi giải bất phương trình vô tỉ) tôi muốn

giúp học sinh hiểu sâu thêm về các phép biến đổi tương đương khi giải bất phương trình vô tỉ, có tư duy tốt hơn khi giải bất phương trình vô tỉ để tìm ra lời giải đúng cho bài toán

II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

1 Thực trạng :

Sau một thời gian dạy học môn toán ở khối 10 phần bất phương trình vô tỉ ở trường tôi Tôi nhận thấy một số vấn đề nổi cộm như sau:

Vấn đề thứ nhất:Trong sách giáo khoa lớp 10 cơ bản phần bất phương trình vô

tỉ trình bày rất sơ lược và tóm tắt,sách giáo khoa 10 nâng cao thì trình bày rõ

ràng hơn song chỉ nêu hai dạng cơ bản Những khái niệm về các phép biến đổi tương đương trong giải bất phương trình thì trừu tượng làm học sinh khó nắm bắt được sâu sắc bản chất của vấn đề.Đặc biệt theo phân phối chương trình của lớp

10 CB thì bài "bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn " dạy trong 2 tiết còn theo phân phối của chương trình nâng cao thì bài ''Đại cương về bất phương trình" dạy trong 1 tiết với lượng kiến thức khá nhiều.Do đó giáo viên khó có thể diễn giải chi tiết, cặn kẻ,lấy nhiều ví dụ minh họa để học sinh nắm được các phép biến đổi tương đương và các phép biến đổi không tương đương trong giải bất phương trình

Vấn đề thứ hai: Bài tập về giải bất phương trình vô tỉ đa dạng và khó nên học

sinh thường lúng túng khi gặp những bài toán loại này

Vấn đề thứ ba: Đặc điểm của học sinh trường tôi là học sinh trung bình chiếm

hơn 60%,và chủ yếu học sinh học ban cơ bản.Tư duy của các em còn nhiều hạn chế do đó khi giải bất phương trình các em thường không nắm được các phép biến đổi tương đương để đưa bất phương trình về bất phương trình mới tương đương.Các em cứ thấy bất phương trình có ẩn dưới dấu căn là các em bình phương mà không xét xem đó có phải là phép biến đổi tương đương không? Qua các bài kiểm tra định kì,kiểm tra thường xuyên ở hai lớp 10A5;10A6 tôi thấy học sinh mắc rất nhiều sai lầm trong khi giải bất phương trình vô tỉ dẫn đến đáp số sai.Vì thế điểm kiểm tra phần này thường thấp hơn so với các phần học khác.Cụ thể bài kiểm tra lớp 10A5 trước khi tôi chưa chỉ ra những sai lầm trong khi giải bất phương trình vô tỉ như sau:

Lớp 10A5: ( Tổng số HS :42)

2 Hệ quả của thực trạng trên:

Chính vì vậy mà học sinh các lớp cơ bản tôi dạy ban đầu thường rất ''sợ'' và lúng túng khi giải bất phương trình vô tỉ

Với những kinh nghiệm đúc rút từ thực tế giảng dạy của bản thân Tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này để giúp các em vận dụng được các phép biến đổi tương đương trong giải bất phương trình để giải bất phương trình vô tỉ,tránh được những sai lầm thường mắc phải khi giải bất phương trình vô tỉ Tôi mong muốn giúp các em học tốt hơn phần bất phương trình vô tỉ ,bồi dưỡng cho các em lòng

say mê, yêu thích môn toán

B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I-CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.Định nghĩa bất phương trình:

-Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) có tập xác định lần lượt là Df và Dg Đặt D=Df Dg

Mệnh đề chứa biến có một trong các dạng

f(x)<g(x),f(x)>g(x),f(x)g x( ), ( )f x g x( )được gọi là bất phương trình một ẩn ;x gọi là ẩn số và D gọi là tập xác định của bất phương trình đó

0

x D gọi là một nghiệm của bất phương trình f(x)<g(x) nếu f x( 0) g x( 0)là mệnh

đề đúng

-Bất phương trình vô tỉ là bất phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn

2.Bất phương trình tương đương:

Hai bất phương trình(cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm

3.Các phép biến đổi tương đương

Cho bất phương trình f(x)<g(x) có tập xác định D,y=h(x)là một hàm số xác định trên D

1)f x( ) g x( )  f x( ) h x( ) g x( ) h x( )

2)f x( ) g x( )  f x h x( ) ( ) g x h x( ) ( ) nếu h(x)>0 với mọi xD

3)f x( ) g x( )  f x h x( ) ( ) g x h x( ) ( ) nếu h(x)<0 với mọi xD

4)f(x)<g(x) 2 1 2 1

f  x g  x

( ) ( ) n( ) n( )

f x g x  f x g x với n *

N

 ,f(x) 0, ( )g x  0 với mọi x  D

f x g x  f x  g x  f x g x với n *

N

 ,f(x) 0, ( )g x  0 với mọi x  D

II- GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN:

1 Các giải pháp thực hiện

1.1.Nêu các định nghĩa về bất phương trình,bất phương trình vô tỉ ,các định lí về các phép biến đổi tương đương giữa hai bất phương trình

1.2.Nêu những dạng bất phương trình vô tỉ cơ bản mà học sinh thường gặp trong sách giáo khoa,sách bài tập hoặc đề thi đại học

1.3.Nêu những lời giải sai lầm thường gặp của học sinh và chỉ ra những sai sót của học sinh.Từ đó đúc kết ra lời giải đúng cho dạng toán đó

1.4.Dạy thành các dạng nhỏ trong các tiết tự chọn toán để bổ sung kiến thức cho các em

2.Các biện pháp để tổ chức thực hiện

2.1 Giải bất phương trình dạng A< B(1)

Ví Dụ

Bài 1.Giải bất phương trình sau : 2

12 2

x  x  x

Học sinh thường trình bày như sau:

12 0

3

x

x x

x







16

3

Kết hợp với điều kiện thì bất phương trình có nghiệm:

3 16 4

3

x x

 





  



Nhận xét: Bài toán trên học sinh đã giải sai: khi chưa đặt điều kiện cho 2-x  0

đã bình phương hai vế của bất phương trình đây là phép biến đổi không tương đương nên dẫn đến đáp số của bài toán sai

Sai lầm:

Như vậy khi dạy học sinh tôi thấy học sinh hay mắc phải các lỗi sau, khi giải loại bất phương trình (1) là:

-Học sinh không đặt điều kiện xác định của bất phương trình, mà sẽ trình bày

A< BÛ A< B2

-Học sinh có tìm điều kiện xác định của bất phương trình sau đó cũng sẽ trình bày A< BÛ A< B2

Như vậy ở cả hai cách làm trên đều sai vì đó không phải là phép biến đổi tương đương

Khi giải bất phương trình vô tỉ ta phải tìm điều kiện để bất phương trình vô tỉ xác định Ta thấy phép bình phương là phép biến đổi tương đương nếu cả hai vế của bất phương trình phải không âm hoặc cùng âm

Học sinh thường không để ý đến dấu của hai vế của bất phương trình nên bình phương hai vế mà không xét xem đó có phải là phép biến đổi tương đương không

Đối với bất phương trình (1) khi B£ 0 thì bất phương trình sẽ vô nghiệm vì

A³ 0

Khi B>0 thì hai vế đều không âm nên ta bình phương hai vế được bất phương trình mới tương đương

Biện pháp:

B

A B A

A B

í >

ïï

ïï

< Û ìïï ³

<

ïïî 2

0 0

Ta có lời giải đúng của bài 1 là:

Bài 1.Giải bất phương trình sau : 2

12 2

x  x  x

Giải

2 2

12 0

12 (2 )

x x



    

3

x



3

x

  

Vậy bất phương trình có tập nghiệm:

( ; 3

2.2Giải bất phương trình dạng A> B(2)

Ví dụ:

Bài 2.Giải bất phương trình sau: 2

x  x  x

Học sinh thường trình bày như sau:

Điều kiện: 2

3 10 0

5

x x

 



 



2



Kết hợp với điều kiện ta có x 14

Vậy bất phương trình có tập nghiệm: S=[14;)

Nhận xét: Bài toán trên học sinh đã xét thiếu trường hợp x-2 <0 dẫn đến phép

biến đổi chưa tương đương nên dẫn đến đáp số sai

Sai lầm

Khi dạy học sinh tôi thấy học sinh hay mắc phải các lỗi sau khi giải loại bất phương trình (2) là:

-Học sinh không đặt điều kiện xác định của bất phương trình, mà sẽ viết

A> BÛ A> B2

-Học sinh có tìm điều kiện xác định của bất phương trình,nhưng không xét dấu của biểu thức B sau đó cũng sẽ viết A> BÛ A> B2

-Học sinh sẽ làm A> B

A B

A B

í ³ ïï ïï

Û ìïï ³

>

ïïî 2

0 0

Như vậy ở cả ba cách làm trên đều sai.Đối với hai sai lầm đầu thì đó không phải

là phép biến đổi tương đương như đã phân tích ở bài toán 1,còn đối với sai lầm thứ ba thì xét thiếu trường hợp

Khi A

B

í ³

ïï

ìï <

ïî

0

0 thì bất phương trình(2) đúng với mọi x là nghiệm của hệ bất phương trình A

B

í ³

ïï

ìï <

ïî

0

0

Vì A³ 0 > BÞ A> B

Biện pháp:

A> B

A B B

A B

éí ³ ïï

êì

êï <ïî

ê

Û êí ³

ïêï

ìêï >

êïîë 2

0 0 0

Ta có lời giải đúng của bài 2 là:

Bài 2.Giải bất phương trình sau: 2

x  x  x

Giải

2

x  x  x

Trường hợp 1: 2

2

2 5

2 0

2

x

x x

x

x





Trường hợp 2:

x

14

Vậy bất phương trình có tập nghiệm:

là S=   ; 2 14; 

2.3 Giải bất phương trình dạng:a) A+ B> C(3)

b) A+ B< C(4)

(A,B,C là các biểu thức bậc nhất)

Ví dụ:

Bài 3.Giải bất phương trình sau: x  1 2x  4 x 1

Học sinh thường trình bày như sau:

Điều kiện: x 2

Bất phương trình  x+1<3x-5+2 (2x 4)(x 1) -2x+6<2 (2x 4)(x 1)

-x+3< (2x 4)(x 1) Û - +( x )2 < ( x- )(x- )

x

é >

ê

- > Û ê

< -êë

5 0

5 kết hợp với điều kiện ta có

x> 5 Vậy bất phương trình có tập nghiệm: S=( 5;)

Nhận xét: Bài toán trên học sinh đã giải sai ở bất phương trình

-x+3< (2x 4)(x 1) Học sinh đã không xét các trường hợp mà cứ thế bình phương hai vế dẫn đến lời giải của bài toán sai

Sai lầm:

Khi dạy học sinh tôi thấy học sinh hay mắc phải các lỗi sau khi giải loại bất phương trình (3) ,(4) là:

-Học sinh không tìm điều kiện xác định của bất phương trình

-Học sinh có tìm điều kiện xác định của bất phương trình và sẽ trình bày như sau:

Điều kiện xác định :

A

B

C

í ³

ïï

ïï ³

ìï

ï ³

ïïî

0

0

0

a) A+ B> CÛ A+ AB+ B> CÛ AB> C- A- BÛ AB> (C- A- B)2

b) A+ B< CÛ A+ AB+ B< CÛ AB< C- A- BÛ AB< (C- A- B)2

Như vậy ở cả hai cách làm trên đều sai

Sai lầm thứ nhất thì khi chưa tìm điều kiện mà bình phương thì có thể dẩn đến bất phương trình mới không tương đương vì nó có sự thay đổi về tập xác định Sai lầm thứ hai là khi giải bất phương trình 2 AB> C- A- B đây là bài toán (2) nên ta phải chia làm hai trường hợp

Biện pháp:

Điều kiện xác định :

A

B

C

í ³

ïï

ïï ³

ìï

ï ³

ïïî

0

0

0

a) A+ B> CÛ A+ 2 AB+ B> CÛ 2 AB> C- A- B

C A B

C A B

B C A B

é - - <

ê êí

ìêï > -

0 0 4

b) A+ B< CÛ A+ 2 AB+ B< CÛ 2 AB< C- A- BÛ

C A B

B C A B

í - - >

ïï

ìï < -

0 4

Chú ý cho học sinh vì ta đã tìm tập xác định ngay từ đầu nên trong trường hợp 1của bất phương trình 2 AB> C- A- B không cần tìm AB³ 0

Ta có lời giải đúng của bài 3 là:

Bài 3.Giải bất phương trình sau: x  1 2x  4 x 1

Giải

x  x  x

Điều kiện: x 2

Bất phương trình x+1<3x-5+2 (2x 4)(x 1) -2x+6<2 (2x 4)(x 1)

-x+3< (2x 4)(x 1)

x

x x

x

>

>

Û êï êïì £ Û êêïìé >ê Û êêêê < £ Û êêë <

êïî - > êï ê êêë <

-ê êï ï ëê <

ë

2

3

3 3

5 Kết hợp với điều kiện: x 2 Þ x> 5

Vậy bất phương trình có tập nghiệm:

là S=( 5;+¥ )

Ví dụ

Bài 4) Giải bất phương trình sau: x  3 2x  7 2x 4

Giải

x  x  x

Điều kiện: x 7

2



Bất pt 2x-4>3x-10+2 (x 3)(2x 7) -x+6>2 (2x 7)(x 3)



2

6

4 12

7

x x

x



Kết hợp với điều kiện ta có bất pt có nghiệm 7 4

2  x

Vậy bất phương trình có tập nghiệm:

là S= [ ; )7 4

2

2.4 Giải bất phương trình dạng: A- B> C(4)

(A,B,C là các biểu thức bậc nhất)

Ví dụ

Bài 5: Giải bất phương trình :

x+1

x- > x+

Học sinh thường trình bày như sau:

Điều kiện:x³ 0

x

Kết hợp với điều kiện ta có 0 £ x< - 9+ 2 21

3 Vậy bất phương trình có tập nghiệm:S=é;- + ö÷

ë

9 2 21 0

3

Nhận xét: Bài toán trên học sinh đã giải sai: khi bình phương hai vế của bất

phương trình mà không xét xem 3x- x+1  0 hay chưa?

Sau đó lời giải trên tiếp tục sai khi bình phương hai vế của bất phương trình3x- 1 > 2 (x+1)3x mà không xét 3x-1>0 nên phép bình phương ở đây cũng không phải là phép biến đổi tương đương

Chính vì những sai lầm này nên dẫn đến đáp số của bài toán sai

Sai lầm:

Khi dạy học sinh tôi thấy học sinh hay mắc phải các lỗi sau khi giải loại bất phương trình (4) là:

-Học sinh không tìm điều kiện xác định của bất phương trình

-Học sinh có tìm điều kiện xác định của bất phương trình và sẽ trình bày như sau:

Điều kiện xác định :

A

B

C

í ³

ïï

ïï ³

ìï

ï ³

ïïî

0

0

0

A- B> CÛ A- B 2 > C

Sai lầm thứ nhất thì như đã phân tích ở các bài toán trên

Sai lầm thứ hai học sinh đã không xét xem ở vế trái của bất phương trình (4) đã không âm chưa

Nên khi bình phương hai vế của bất phương trình (4) có thể đó không phải là phép biến đổi tương đương

Biện pháp:

A- B> C

Điều kiện xác định :

A

B

C

í ³

ïï

ïï ³

ìï

ï ³

ïïî

0

0

0

A- B> C Û A> B+ C ta đưa về bài toán 3

Hoặc ta phải chứng minh được A- B³ 0 sau đó ta mới bình phương hai vế để

đưa về bất phương trình mới tương đương

Ta có lời giải đúng của bài 5 là:

Bài 5: Giải bất phương trình sau:

x+1

x- > x+

Giải

Điều kiện:x³ 0

x

x x

ïï

ïî

ïï

Û ìïïî + - < Û ì - -ïïïïî < < - +

2

3

3 3

Bất phương trình vô nghiệm

2.5 Giải bất phương trình dạng:A. B³ 0 hoặc A. B£ 0(5)

Ví dụ

Bài 6: Giải bất phương trình sau: (x2 - x) x2 - x- ³

Học sinh thường trình bày như sau:

x x

x

x x

í é ³

ïï ê

ï ë

ê

î ï ê ï ê ï ï êï ëî £ - êë ³

2

2

3

3 1

2

Vậy bất phương trình có tập nghiệm:S=( ; 1] [3; )

2

Nhận xét:Bài toán trên học sinh đã giải sai là khi x2 - x- ³

2 3 2 0 là điều kiện của bài toán thì ta không thể kết luận x2 - x³

3 0

Vì nếu 2x2- 3x- 2 = 0 thì bất phương trình đúng bất kể x2- 3xnhận dấu gì Nếu

x2- x- >

2 3 2 0 thì mới suy ra được x2 - x³

3 0.Do đó phép biến đổi trên là không tương đương nên dẫn đến đáp số của bài toán sai

Sai lầm:

Khi dạy học sinh tôi thấy học sinh hay mắc phải các lỗi sau khi giải loại bất phương trình (5) là:

-Học sinh không tìm điều kiện xác định của bài toán

-Học sinh sẽ trình bày như sau: A. B³ 0

Điều kiện :B³ 0

A. B³ 0 Û A³ 0

Ở cách làm này học sinh đã biến đổi không tương đương ta chỉ được chia cả hai

vế của bất phương trình cho một biểu thức khi biểu thức đó luôn dương hoặc luôn âm với mọi x thuộc tập xác định của bất phương trình.Mà B³ 0 nên ta phải xét hai trường hợp khi B= 0 hoặc khi B> 0 khi đó ta mới được phép chia cả hai vế của bất phương trình cho B

Biện pháp:

A. B³ 0

B B A

é = ê êí

Û ïïê >

ìêï ³ êïîë

0 0 0

Ta có lời giải đúng của bài 6 là:

Bài 6: Giải bất phương trình sau: (x2 - x) x2 - x- ³

Giải

(x2 - x) x2 - x- ³

x x

é = ê

ê = -êë 2

2

2

x

x

x

x x

x

ï - - > ï < - ê <

î

2

2

2

3 3

0

Từ hai trường hợp trên suy ra bất phương trình có tập nghiệm: