Phương pháp tọa độ trong không gian cực hay

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn[r]

CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

PHẦN I: CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN Trong không gian xét hệ trục Oxyz, có trục Ox vuông góc với trục Oy tại O, và trục Oz vuông góc với mặt phẳng (Oxy) tại O Các vectơ đơn vị trên từng trục Ox, Oy, Oz lần lượt là i, j, k  

II TỌA ĐỘ CỦA VÉCTƠ:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz

IV PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

1 Mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính R có phương trình là:

2 Phương trình: x2 y2 z2 2ax  2by 2cz d    0 với a2b2c2 d 0

là phương trình mặt cầu tâm I a; b; c  , bán kính R  A2 B2 C2 D

3 Vị trí tương đối của mặt phẳng    và mặt cầu (S):

 d I,       R khi và chỉ khi    không cắt mặt cầu (S)

 d I,       R khi và chỉ khi    tiếp xúc mặt cầu (S)

 d I,       R khi và chỉ khi    cắt mặt cầu (S) (giao tuyến là một đường tròn) (H1)

1 Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k  MA   kMB  

Định nghĩa: Trong không gian Oxyz phương trình dạng AxBy Cz D0 với A2B2C2 0 được gọi

là phương trình tổng quát của mặt phẳng

 Phương trình mặt phẳng   P : Ax By Cz D     0 với A2B2C2 0 Có vectơ pháp tuyến là

1 Các trường hợp riêng của mặt phẳng:

Trong không gian Oxyz cho mp    : Ax  By Cz   D  0, với A2B2C2 0 Khi đó:

 D0 khi và chỉ khi    đi qua gốc tọa độ

 A0; B0; C0; D0 khi và chỉ khi    song song với trục Ox

 A0; B0; C0; D0khi và chỉ khi    song song mp(Oxy)

2 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Trong không gian Oxyz cho    : Ax  By Cz   D  0 và    ' : A ' x  B ' y C ' z D '    0

    cắt    ' A : B : CA ' : B ' : C '

      / /   ' A : A '  B : B '  C : C '  D : D '

         ' A : B : C : D  A ' : B ' : C ' : D '

1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

1) Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

1) Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

2 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Gọi  là góc hợp bởi    và mp   :   1 2 3

Aa Ba Ca sin cos a, n

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng   P : x     y z 1 0 và hai điểm A 1; 3; 0 , B 5; 1; 2       

Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA MB  đạt giá trị lớn nhất ?

A M    2; 3;3  B M    2; 3; 2  C M    2; 3; 6  D M    2; 3; 0 

Lời giải Kiểm tra thấy A và B nằm khác phía so với mặt phẳng (P):

Lời giải Tìm tọa độ điểm D trên trục Ox sao cho ADBC

Lời giải Tính diện tích tam giác ABC   AB; AC        18; 7; 24  

2 2a 2b 4c d 6

d 6 4a 4b 2c d 9

Lời giải Phương trình của mặt phẳng (Q) có dạng: x  2y 2z   D  0 D    9 

Ví dụ 11: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng x 2 y 1 z

d :

  và điểm A   1; 2; 7  Tìm tọa độ điểm

H là hình chiếu vuông góc của A trên d?

Gọi H' là điểm đối xứng với H qua A  H '   5;1;13 

Phương trình d' qua H' và có vectơ chỉ phương  

phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d?

là vectơ pháp tuyến của (P)

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A có vectơ pháp tuyến n    1; 1; 1   

Vì (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên bán kính R của (S) là khoảng cách từ tâm A của (S) đến mp(P)

Ví dụ 17: Trong không gian Oxyz, cho điểm I 7; 4; 6   và mặt phẳng   P : x  2y 2z 3    0

  S : x 7 2y 4 2z 6 2 4, d là đường thẳng đi qua I và    P Tìm tọa độ tiếp điểm của (d) và (S) ?

Khi đó vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u  d  np   1; 2; 2  

Vậy phương trình đường thẳng d là

Ví dụ 18: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng   P : 2x   y 2z+1=0 và hai điểm A 1; 2;3 , B 3; 2; 1      

Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A, B và vuông góc với (P)

Ví dụ 19: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng   P : 2x   y 2z+1=0 và hai điểm A 1; 2;3 , B 3; 2; 1      ,

  Q : 2x+2y 3z 7    0 Tìm điểm M trên trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến (Q) bằng 17?

C 3x2y z  4 0 D 3x2y z 8  0

Lời giải VTPT của mặt phẳng (P) là n      3; 2;1   u d  n      3; 2;1 

A 2x y 2z 5 0 B 2x y 2z 3 0

C 2x y 2z 7 0 D 2x y 2z 1 0

Lời giải VTPT của mp(P) : n    2;1; 2 

Phương trình   P : 2x   y 2z 7   0

Chọn đáp án C

Ví dụ 23: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A 2;1; 3 , B 4;3; 2 , C 6; 4; 1           Viết phương trình mặt cầu

tâm A đi qua trọng tâm G của tam giác ABC ?

A x 3 2y 1 2z 3 2 6 B x22y 1 2z 3 2 6

C x22y 1 2z 3 2 6 D x22 y 1 2z 3 2 6

Lời giải

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên G 4; 0; 2   Ta có: AG  6

Mặt cầu cần tìm có tâm A và bán kính AG  6 nên có phương trình:

x22y 1 2z 3 2 6

Chọn đáp án B

Ví dụ 24: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A 2;1; 1 , B 1;3;1 , C 1; 2; 0        Viết phương trình mặt phẳng qua

A và vuông góc vsơi đường thẳng BC tại H và tính diện tích tam giác ABH?

A x   y z 1 0 B x  y z 20 C x   y z 1 0 D x   y z 2 0

Lời giải Gọi (P) qua A và vuông góc vsơi đường thẳng BC suy ra (P) nhận BC 1; 1; 1     

làm VTPT

Vậy   P : x     y z 2 0

Chọn đáp án D

Ví dụ 25: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A 2;1; 1 , B 1;3;1 , C 1; 2; 0        Phương trình mặt phẳng

  P : x     y z 2 0 qua A và vuông góc với đường thẳng BC tại H Tính diện tích tam giác ABH ?

Ví dụ 26: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A   1;3; 2 ; B     3; 7; 18   và mặt phẳng (P) có phương trình

2x   y z 1 0 Viết phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B và tìm giao điểm cảu đường thẳng d với

Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và nhận vectơ chỉ phương u d   2;1; 2  

làm vectơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng   P : 2x   y 2z  2  0

M ; 6;9 7

M ; 6; 4 7

Lời giải Gọi M là trung điểm của AB, ta có M 1; 2; 2  

Mặt phẳng (P) vuống góc với AB tại M là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB Do AB    P nên

Do H là hình chiếu của A trên d nên AH   u d  AH.u  d  0

t 2 4t 4 t 0 t 1 H 0; 1; 1

           

Chọn đáp án D

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường

PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác

cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các

kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho

học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần

Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt

thành tích cao HSG Quốc Gia

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí