Muïc tieâu: Về kiến thức: cũng cố, khắc sâu kiến thức về: -Viết ptts, pttq của đường thẳng - Xét vị trí tương đối gĩa 2 đường thẳng, tính góc giữa 2 đường thẳng - Viết ptrình đường tròn,[r]
Trang 1§2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
I Mục đích yêu cầu:
_ Về kiến thức: Hs nắm các dạng phương trình đường tròn; điều kiện để một phương trình là phương trình đường tròn; phương trình tiếp tuyến của đường tròn
_ Về kỷ năng: + Lập được phương trình đường tròn khi biết tọa độ tâm và bán kính
+ Nhận dạng được phương trình đ.tròn ; xác định được tâm và bán kính
+ lập được phương trình tiếp tuyến của đ.tròn tại một điểm nằm trên đ.tròn
_ Về tư duy:biết vận dụng các kiến thức đã để giải bài tập
II Đồ dùng dạy học: compa và thước kẻ
III Phương pháp dạy học: vấn đáp gợi mở
IV Tiến trình bài học :
1) Nhắc lại kiến thức cũ: Khái niệm đường tròn học ở lớp 6: (I;R)={M / IM = R}
Cho A(xA;yA);B(xB;yB) thì AB= ( ) (2 )2
x −x + y −y
Vd: Cho I(-2;3) ; M(x;y).Tính IM = ?
IM = ( ) (2 )2
x + + y −
2) Phần bài mới:
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Lưu bảng
Hoạt động 1:Tìm dạng phương
trình đ.tròn (C) có tâm I(a;b)
bán kính R
Hoạt động 2:Cho hs lập phương
trình đ.tròn
_ Giáo viên hướng dẫn hs làm
bài
_ Giáo viên nhận xét khi hs làm
xong và chỉnh sửa nếu hs làm
sai
I.Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước:
Trong mp Oxy,cho đ.tròn (C) với
tâm I(a;b) bán kính R có phương trình:
(x-a)2 + (y-b)2 = R2 ( )1
Vd:Lập phương trình đ.tròn trong các trường hợp sau:
a) Biết tâm I(1;-2),bán kính bằng 2
b) Biết đường kính AB với A(2;5),B(-2;3)
c) Biết tâm I(-1;3)và điểm M(2;1) thuộc đ.tròn
Câu c) đ.tròn có tâm và bán c) Đường tròn có
Trang 2kính như thế nào ?
Hoạt động 3: Hãy khai triển
phương trình đ.tròn (1),dùng
hằng đẳng thức : (a-b)2= a2- 2ab
+ b2
_ Nếu đặt : c= a2 +b2 –R2 thì
cho biết phương trình đ.tròn có
dạng như thế nào?
_ Từ cách đặt rút R2 theo a,b,c
⇒ R=?
_ Điều kiện gì để R là bán kính
đ.tròn ?
Lưu ý :”P.t bậc hai đối với x
và y là p.t đ.tròn thì các hệ số
của x2,y2 bằng nhau và thỏa
mãn điều kiện :
a2+b2-c > 0 “
Hoạt động 4: Cho hs nhận dạng
p.t đ.tròn
Cho biết trong các p.t nào sau
đây là p.t đ.tròn ?
(kết luận : p.t (2))
Hoạt động 5:Viết phương trình
tiếp tuyến với đ.tròn:
_ Đường thẳng ( )∆ là tiếp
tuyến với đ.tròn (C) tại M0 , cho
biết ( )∆ đi qua điểm nào ?
vectơ nào làm vectơ pháp tuyến
?
IMuuuur0=?
_ P.t tổng quát của ( )∆ là gì ?
tâm I(-1;3) bán kính R=IM = 13 với phương trình: (x+1)2+(y-3)2=13
(1) ⇔ x2+y2 -2ax -2by +
a2+b2=R2 ⇔ x2+y2 -2ax -2by+ a2+b2
-R2=0
x2+y2 -2ax -2by + c = 0
R2 = a2 + b2 - c
⇒ R = a2+b2−c
a2+b2-c > 0
P.t nào là p.t đ.tròn:
2x2 +y2- 8x+2y-1 = 0 (1)
x2+ y2+2x-4y-4 = 0 (2)
x2+ y2-2x-6y+20 =0 (3)
x2+y2+6x+2y+10 = 0 (4)
( )∆ 0 0 0
0
M ( ; ) có VTPT: n
qua x y
IM
=
r uuuur
0
IMuuuur=(x0 – a;y0 - b) (x0 - a)(x – x0) + (y0 -b)(y-y0)=0
D Chú ý: Phương trình đ.tròn có tâm O(0;0)
bán kính R là: x2+y2= R2
II Nhận xét:
Ta có phương trình đ.tròn dạng khác:
x2+y2 -2ax -2by + c = 0 (2)
với c = a2 + b2 – R2 Điều kiện để 1 phương trình là
phương trình đ.tròn là: a 2 +b 2 – c >
0 Phương trình đ.tròn (2) có
III.Phương trình tiếp tuyến củađ.tròn
Cho đ.tròn (C) có p.t:
(x -a)2 +(y - b)2 =R2 và điểm
M0(x0;y0) nằm trên đ.tròn, p.t tiếp tuyến của đ.tròn tại M0(x0;y0) là:
(x 0 - a)(x – x 0 ) + (y 0 - b)(y – y 0 )
=0
M0 : tiếp điểm ( )∆ : tiếp tuyến
Vd: Viết p.t tiếp tuyến tại điểm
M(1;-5)thuộc đ.tròn: (x -1)2 + (y+2)2 =9
Giải:
Pttt với đ.tròn tại M(1;-5)là
Trang 3(1-1)(x-1) + (-5+2)(y+5)=0 ⇔ y+5 =0
Nhận xét: Cho đ.tròn (C) có
dạng:
x2 + y2-2ax -2by + c = 0
có tâm và bán kính như thế
nào ?
_ Cho biết a,b,c = ?
Câu b) ta chia hai vế của p.t cho
16
_ Lập p.t đ.tròn cần tìm gì ?
Nhận xét: Đ.tròn (C) có tâm và
bán kính ?
IM ?uuur=
_ Đọc p.t đ.tròn cần tìm :
Nhận xét : Đường tròn (C) có
tâm và bán kính như thế nào ?
Đọc p.t đ.tròn cần tìm ?
_ Phương trình đ.tròn có mấy
dạng?
(C) có tâm I(a;b) 2 2
bán kính R= a +b −c
a = hệ số của x
2 và đổi dấu
b = hệ số của y
2 và đổi dấu
c : là hệ số tự do của p.t
Cần tìm tâm và bán kính (C) có
(4; 6) IM= 52
IMuuur= − ⇒
(x+2)2 + (y - 3)2 = 52
(C) có tâm I(-1;2)
bán kính R =d(I; ) ∆
d(I;∆)=
2
1 2.2 7 2 2 5
5 5
1 2
+
(x+1)2 + (y-2)2 = 4
5
_ Có 2 dạng : (x – a)2 + (y - b)2 = R2
x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 A(1;2) ∈ (C)
⇔ 12 + 22 – 2a.1 – 2b.2 + c = 0
⇔ - 2a -4b + c + 5 =0 (1) làm tương tự đối với điểm B,C
Ta có hệ 3 p.t , giải ra tìm a,b,c
Bài 1:[83]a) x2 + y2 -2x -2y -2 =
0
Ta có : a= 1; b=1 ; c= - 2 Đ.tròn (C1) có
tâm I(1;1) bán kính R= 1 1 2=2 + +
b) 16x2+16y2+16x-8y-11=0 ⇔ x2+ y2+x- 1
2y - 11
16 =0 làm tương tự câu a)
Bài 2 :[83] Lập p.t đ.tròn (C) biết a) (C) có tâm I(-2;3) và đi qua M(2;-3)
b) (C) có tâm I(-1;2) và tiếp xúc với đường thẳng ( )∆ : x-2y +7
=0
Câu c) tự làm Bài 3: [84] Lập p.t đ.tròn (C) biết đ.tròn qua 3 điểm:
a) A(1;2) , B(5;2) , C(1;-3)
Trang 4Nhắc lại : Điểm M0(x0;y0) thuộc
đ.tròn (C) ⇔ tọa độ của điểm
M0 thỏa mản p.t đ.tròn
* Cần cho học sinh biết kết
quả:
Cho đ.tròn (C) có dạng :
(x-a)2+(y-b)2= R2
(C) tiếp xúc với Ox và Oy
nên :
a = b R=
Ta xét 2 trường hợp: b a
b a
=
= −
TH1: b = a, cho biết dạng
của p.t đ.tròn ?
TH 2: b= -a làm tương tự
_ Câu a) tự làm , gọi học
sinh đọc kết quả
_ Nhắc lại : (D) : Ax+By + C =0
( )∆ ⊥(D)⇒ P.t ( )∆
:Bx-Ay+C1=0
_ Câu c) tiếp tuyến vuông góc
với (D) ,cho biết dạng của p.t
tiếp tuyến ?
_ Tiếp tuyến ( )∆ tiếp xúc (C)
⇔ d(I; ( )∆ ) = R
Giải p.t tìm C1
⇒ P.t (C): (x-a)2+(y-a)2= a2 M(2;1) ∈ (C) ⇔ (2-a)2 +(1-a)2=a2
Giải p.t trên tìm a
P.t tt( )∆ có dạng: -4x-3y+C1=0
Câu b) làm tương tự Bài 4 : [84]
Đ.tròn có dạng: (x-a)2 +(y-b)2=R2
(C) tiếp xúc với Ox và Oy nên :
a = b R=
Bài 6 :[84] (C) : x2+y2-4x+8y-5
=0 a)Đ.tròn (C) có tâm I(2;-4)
bán kính :R = 5
b)Câu b) làm tương tự như ví dụ
c) Viết p.t tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng (D) :3x-4y+5 = 0
IV Củng cố :
_ Hs biết lập p.t đ.tròn, biết xác định tâm và bán kính của đ.tròn
_ Hs biết lập p.t tt của đ.tròn
_ BTVN: bài 5[84]
Trang 5§3.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP
I.Mục đích:
_ Về kiến thức: Hs nắm được định nghĩa của đường elip ,p.t chính tắc của elip,hình dạng của elip _ Về kỷ năng: + Lập được p.t chính tắc của elip khi biết các yếu tố xác định elip đó
+ Xác định được các thành phần của elip khi biết p.t chính tắc của elip đó
+ Thông qua p.t chính tắc của elip để tìm hiểu tính chất hình học và giải một số bài toán cơ bản về elip
_ Về tư duy : vận dụng các kiến thức đã học để giải một số bài toán cơ bản
II Phương pháp dạy học : vấn đáp gợi mở
III.Đồ dùng dạy học: chuẩn bị hình vẽ đường elip
IV Tiến trình bài học :
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Lưu bảng
Hoạt động 1: định nghĩa đường
elip
Cho học sinh làm hoạt động 1, 2
trong sgk trang 85
_ Giáo viên hướng dẫn hs vẽ 1
đường elip
Hoạt động 2: Phương trình chính
tắc của elip
_ Với cách đặt b2=a2-c2, so sánh a
và b ?
Hoạt động 3:
_ P.t chính tắc của elip là bậc chẳn
đối với x,y nên có 2 trục đối xứng
là Ox, Oy ⇒ có tâm đối xứng là
gốc tọa độ
_ Cho y=0 ⇒ x=?
⇒(E)cắt Ox tại A1(-a;0),A2(a;0)
_ Cho x=0 ⇒ y= ?
⇒ (E) cắt Oy tại B1(0;-b),B2(0;b)
⇒ a > b
y=0 ⇒ x= ± a x=0 ⇒ y= ± b
I.Định nghĩa đường elip:
(sgk trang85)
II Phương trình chính tắc của elip:
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.Ta có: F1(-c;0),F2(c;0)
M ∈ (E) ⇔ MF1+MF2=2a Phương trình chính tắc của elip:
x22 y22 1
a +b = (1) với b2=a2-c2
III Hình dạng của elip:
a) (E) có các trục đối xứng là
Ox, Oy và tâm đối xứng là gốc tọa độ
b) Các điểm A1(a;0),A2(a;0), B1(0;-b),B2(0;b): gọi là các đỉnh của elip
A1A2 = 2a:gọi là trục lớn của elip B1B2= 2b: gọi là trục nhỏ của elip
Chú ý: Hai tiêu điểm của elip nằm
trên trục lớn
Vd: Cho (E): 2 2 1
25 9
x +y =
Trang 6_ Cho biết a=? , b=?
_ Tọa độ các đỉnh ?
_ Độ dài trục lớn A1A2=?
_ Độ dài trục nhỏ B1B2=?
_ Để tìm tọa độ tiêu điểm ta cần
tìm c = ?
_ Tiêu cự F1F2 = 2c = ?
Hoạt động 4: Liên hệ giữa đ.tròn
và đường elip :
_ Cho biết a=? b=?
_ Tìm tọa độ tiêu điểm ta cần tìm
gì ?
_ Tọa độ các đỉnh ?
_ Để lập p.t chính tắc của elip ta
cần tìm gì ?
Câu b) cho độ dài trục lớn ,tiêu cự
a=5, b=3 A1(-5;0),A2(5;0) B1(0;-3),B2(0;3)
⇒ A1A2=2a=10
⇒ B1B2=2b = 6
c2 = a2-b2= 25-9=16
⇒ c = 4 Các tiêu điểm F1(-4;0) F2(4;0)
⇒ F1F2 = 2c = 8
a=1
2 ; b = 1
3
_ Độ dài trục lớn:
A1A2= 2a =1 _ Độ dài trục nhỏ:
B1B2 = 2b =2
3
_ Tìm c =?
c2= a2-b2 =1
4 - 1
9 = 5
36
⇒ c = 5
6 _ Các tiêu điểm:
F1(- 5
6 ; 0),F2( 5
6 ;0) _ Các đỉnh:A1(-1
2 ;0) A2(1
2 ;0),B1(0;- 1
3) B2(0; 1
3)
P.t chính tắc của elip:
x22 y22 1
a +b = _ Tìm a , b = ?
a) Xác định tọa độ các đỉnh của elip
b) Tính độ dài trục lớn , trục nhỏ của elip
c) Xác định tọa độ tiêu điểm và tiêu cự
d) Vẽ hình elip trên
IV Liên hệ giữa đ.tròn và đường
elip: (sgk trang 87)
Bài tập về p.t đường elip Bài 1:[88] a) làm ở ví dụ c) 4x2+9y2 =1
⇔ 12 12 1
4 9
x +y =
d) 4x2+9y2=36 ⇔ 2 2 1
9 4
x +y =
làm tương tự
Bài 2[88]:Lập p.t chính tắc của
elip:
a) Độ dài trục lớn:2a=8 ⇔ a=4 Độ dài trục nhỏ:2b=6⇔ b=3
Trang 7,cần tìm gì ?
Nhận xét : (E): x22 y22 1
a +b = M,N ∈ (E) thì tọa độ của M,N thỏa
mản p.t của elip, giải p.t tìm a,b
1
16 9
x +y =
b)
Bài 3:[88]Lập p.t chính tắccủa elip:
a) (E) qua điểm M(0;3)và N(3;-
12
5 )
Kết quả: 2 2 1
25 9
x +y =
b) Kết quả: 2 2 1
4
x +y =
V.Củng cố:
_ Lập p.t elip , xác định các thành phần của một elip
BTVN: 4,5 trang 88
ÔN TẬP CHƯƠNG III
I Mục tiêu:
Về kiến thức: cũng cố, khắc sâu kiến thức về:
-Viết ptts, pttq của đường thẳng
- Xét vị trí tương đối gĩa 2 đường thẳng, tính góc giữa 2 đường thẳng
- Viết ptrình đường tròn, tìm tâm và bán kính đường tròn
- Viế ptrình elip, tìm độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh của elip
Về kỹ năng:
Rèn luyệ kỹ năng áp dụng ptrìng đường thẳng, dường tròn và elip để giải 1 số bài toán cơ bản của hình học như tìm giao điểm, tính khoảng cách, vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng…
Về tư duy: Bước đầu hiểu được việc Đại số hóa hình học
Hiểu được ccách chuyển đổi từ hình học tổng hợp sang tọa độ
Về tái độ: cẩn thận , chính xác
II Chuẩn bị phương tiệ dạy học
a) Thực tiển: Hsinh nắm được kiến thức về đương thẳng, đường tròn, elip
b) Phương tiện: SGK, Sách Bài tập
c) Phương pháp: vấn đáp gợi mở, luyệ tập
III Tiến trình bài học:
Bài tập 1:
Cho 3 điểm A(2,1), B(0,5), C(-5,-10)
a) Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
b) Chứng minh I, G, H thẳng hàng
Trang 8c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
2 0 5
1
1 5 10 4
A B C
G
A B C
G
x x x
x
y y y
y
Tọa độ trực tâm H (x,y) là
nghiệm của phương trình
BH AC
⊥
⊥
uuur uuur
uuur uuur ĩ 0
0
AH BC
BH AC
uuur uuur uuur uuur
ĩ 5( 2) 15( 1) 0
7 11( 5) 0
ĩ 5 10 15 15 0
7 11 55 0
− − + =
x y
2
x
y
=
= −
Học sinh tự giải hệ phương
trình
Kết quả: 7
1
x
y
= −
= −
(18, 1)
(6, 1)
IH
IG
uuur
uur
Nhận xét: IHuuur=3IGuur
Dạng (x-a)2 + (y-b)2 =R2
ð IA= 81 4+ = 85
Vậy (c) (x+7)2 + (y+1)2 = 85
Giáo viên gọi hs nêu lại công thức tìm trọng tâm
G
Tọa độ
HS nêu lại công thức tìm trực tâm H
Giáo viên hướng dẫn cho
HS tìm tâm I(x,y) từ Hệ phương trình : IA2=IB2
IA2=IC2 Hướng dẫn cho HS chứng minh 2 vectơ cùng phương.IH IGuuur uur,
Đường tròn ( )ξ đã có tâm và bán kính ta áp dụng phương trình dạng nào?
a) Kquả G(-1, -4/3)
Trực tâm H(11,-2)
Tâm I
Kết quả: I(-7,-1)
b) CM : I, H, G, thẳng hàng
ta có: IHuuur=3IGuur
vậy I, G, H thẳng hàng
c) viết phương trình đường trò (c) ngoại tiếp tam giác ABC
Kết quả:
(x+7)2+(y+1)2=85
Bài tập 2 Cho 3 điểm A(3,5), B(2,3), C(6,2)
a) Viết phương trình đường tròn ( )ξ ngoại tiếp ∆ABC
b) Xác định toạ độ tâm và bán kính ( )ξ
( )ξ có dạng:
x2+y2-2ax-2by+c =0
vì A, B, C ∈ ( )ξ nên
9 25 6 10 0
36 4 12 4 0
a b c
a b c
a b c
Đường tròn chưa có tâm và bán kính Vậy ta viết ở dạng nào?
Hãy tìm a, b, c
a) Viết Phương trình ( )ξ
2 2 25 19 68
0
x +y − x− y+ =
Trang 9ĩ
a b c
a b c
a b c
a= b= c=
2 2
R= a + −b c
25 2 19 2 68
= + −
625 361 816
+
36 18
Nhắc lại tâm I(a,b) bán kính R=? b) Tâm và bán kính 25 19
,
6 6
I
18
R=
Bài tập 3 Cho (E): x2 +4y2 = 16
a) Xác định tọa độ các tiêu điểm và các đỉnh của Elip (E)
b) viết phương trình đường thẳng ∆ qua 1,1
2
M
có VTPT nr=(1, 2)
c) Tìm toạ độ các giao điểm A và B của đường thẳng ∆ và (E) biết MA = MB
x2 +y2 = 16
16 4
x + y =
c2 = a2-b2 = 16 – 4 = 12
ð c= 12=2 3
4
2
a
b
= ±
= ±
Viết phương trình tổng
quát đường thẳng ∆ qua M
có VTPT nr
là:
2
2 2 0
x y
− + − =
HS giải hệ bằng phương
pháp thế đưa về phương
trình:
2y2 – 2y –3 =0
y = − y = +
1 7
A
B
x
x
= +
= −
Hãy đưa Pt (E) về dạng chính tắc
Tính c?
toạ độ đỉnh?
Có 1 điểm, 1 VTPT ta sẽ viết phương trình đường thẳng dạng nào dễ nhất
Hướng dẫn HS tìm toạ độ gaio điểm của ∆ và (E) từ hệ phương trình:
2 4 2 16
2 2 0
x y
Nhận xét xem M có là trung điểm đoạn AB?
a) Xác định tọa độ A1, A2, B1, B2, F1, F2 của (E)
2 2 1
16 4
x + y =
2 3
c= nên F1=(2 3, 0)
F2=( 2 3, 0)−
A1(-4,0), A2(4,0) B1(0,-2), B2(0,2) b) Phương trình ∆ qua
1 1, 2
M
có VTPT nr =(1, 2)
là x + 2y –2 =0 c) Tìm toạ độ giao điểm A,B
1 7
1 7,
2
1 7
1 7,
2
A
B
+
−
CM: MA = MA
Trang 10ĩ 2 1
1
A B
m
A B
m
x x
x
y y
y
vậy MA = MB
A B M
A B M
x x x
z
y y y
z
+
= +
=
vậy MA = MB (đpcm)
Củng cố: Qua bài học các em cần nắm vững cách viết phương trình của đường thẳng, đường tròn, elip, từ các yếu tố đề cho
Rèn luyện thêm các bài tập 1 đến 9 trang 93/94 SGK
1) Lập PTTS và PTTQ của đường thẳng d biết
a) d qua M(2,1) có VTCP ur =(3, 4)
b) d qua M(-2,3) có VTCP nr=(5,1)
c) d qua M(2,4) có hệ số góc k = 2
d) d qua A(3,5) B(6,2)
2) Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng
a) d1: 4x – 10y +1 = 0 d2: 1 2
3 2
= +
= − −
b) d1: 4xx + 5y – 6 = 0 d2: 6 5
6 4
= − +
= −
3) Tìm số đo góc tạo bởi 2 đường thẳng:
d1: 2x – y + 3 = 0
d2 : x – 3y + 1 = 0
4) Tính khoản cách từ:
a) A(3,5) đến ∆ : 4x + 3y + 1 = 0
b) B(1,2) đến ∆ : 3x - 4y - 26 = 0
5) Viết phương trình (ξ) : biết
a) (ξ) có tâm I(-1,2) và tiếp xúc với ∆ : x - 2y + 7 = 0
b) (ξ) có đường kính AB với A(1,1) B(7,5)
c) (ξ) qua A(-2,4) B(5,5) C(6,-2)
6) Lập phương trình (E) biết:
a) Tâm I(1,1), tiêu điểm F1(1,3), độ dài trục lớn 6
b) Tiêu điểm F1(2,0) F2(0,2) và qua góc tọa độ
I.Mục đích:
_ Ôn tập về các hệ thức lượng trong tam giác
_ Ôn tập về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng,cho học sinh luyện tập các loại toán:
+ Lập phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng
+ Lập phương trình đường tròn