Chứng minh rằng khoảng cách giữa tâm các hình vuông dựng trên hai cạnh bên bằng khoảng cách từ tâm hình vuông dựng trên đáy đến đỉnh đối diện.... Nhưng đi được nửa quãng đường AB thì x[r]
Trang 1S Ở GI ÁO DỤC – ĐÀO TẠO HÀ NỘI
PHÒNG GD – ĐT HUYỆN ĐÔNG ANH
-*** -ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
MÔN TOÁN Năm học 1998 – 1999 Thời gian làm bài : 120 phút
Câu 1:
Cho (a1 + a2 + a3 + … + an) chia hết cho 3
CM: (a1 + a2 + a3 + … + an) chia hết cho 3
Câu 2: Tính giá trị của biểu thức
B = x15 – 8x14 + 8x13 – 8x12 + … + 8x – 1 Tại x = 7
Câu 3: Rút gọn biểu thức
2 2 2 2 2
(
cz by ax
z y x c b
a
với 0
z
c b
y a x
Câu 4:
Cho ABC, M là trung điểm của BC, D AB sao cho D MˆB D MˆA, E AC sao cho
A M
E
C
M
a) Chứng minh DE // BC
b) Tìm tập hợp giao điểm I(DE cắt AM) khi BC cố định AM = m không đổi
Câu 5
So sánh
6 10 6 6
10
1 10
với 3
SỞ GI ÁO DỤC – ĐÀO TẠO HÀ NỘI
PHÒNG GD – ĐT HUYỆN ĐÔNG ANH
-*** -ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
MÔN TOÁN Năm học 1999 – 2000 Thời gian làm bài : 120 phút
Câu 1: (5 điểm)
Chứng minh rằng với n Z ta có
a) (2n3 + 3n2 + n) chia hết cho 6
b) (n2 + 7n + 22) không chia hết cho 9
Câu 2: (4 điểm)
Rút gọn biểu thức sau
2 4
2 2 2
2
2 2 2 2 2
2
2 4
1
1 1 1
1
1 1
1
x x
x x x
x
x x x x
x
x
Câu 3: (4 điểm)
Tổng 3 số bằng 9, tổng bình phương của chúng bằng 53 Tính tổng các tích của hai số trong ba số ấy
Câu 4: (4 điểm)
ABC cân ở A có BC = 2a, M là trung điểm của BC Lấy D, E thứ tự thuộc các cạnh AB,
AC sao choDMˆE Bˆ
a) Chứng minhtích BD.CE không đổi
Trang 2b) Chứng minh DM là tia phân giác của góc BDE
c) Tính chu vi của AED nếu ABC là tam giác đều
Câu 5: (3 điểm)
Cho điểm O ở trong đều ABC Hạ OA’; OB’; OC’ theo thứ tự vuông góc với các cạnh
BC, AC và AB CHứng minh rằng:
Tổng AC’ + BA’ + CB’ không đổi
S Ở GI ÁO DỤC – ĐÀO TẠO HÀ NỘI
PHÒNG GD – ĐT HUYỆN ĐÔNG ANH
-*** -ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
MÔN TOÁN Năm học 2000 – 2001 Thời gian làm bài : 120 phút
Câu 1:
Tìm các hằng số a, b, c sao cho ax3 + bx2 + c chia hết cho x + 2, chia cho x2 – 1 thì dư x + 5
Câu 2: Giải phương trình
a) x4 + 3x3 + 4x2 + 3x + 1 = 0
b) ax4 – 10x2 + 17 = 0
Câu 3: Các số sau có là số chính phương không? Tại sao?
A = 1 + 92000 +942000+19942000
B = 34 + 410 + 514
Câu 4: Gọi E là điểm thuộc miền tròn của hình vuông ABCD sao cho AEB cân tại E và
có góc đáy = 150 Chứng minh rằng DEC đều
Câu 5: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:
c b a b a c a c b
c
b
a
1 1 1 1
1 1
S Ở GI ÁO DỤC – ĐÀO TẠO HÀ NỘI
PHÒNG GD – ĐT HUYỆN ĐÔNG ANH
-*** -ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
MÔN TOÁN Năm học 2001 – 2002 Thời gian làm bài : 120 phút
Câu 1: (5 điểm)
Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức 25n2 – 97n + 11 chia hết cho giá trị của biểu thức n – 4
Câu 2: (5 điểm)
Giải phương trình (x + 3)4 + (x + 5)4 = 2
Câu 3: (4 điểm)
Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B, khởi hành lần lượt lúc 7 giờ, 8 giờ, 9 giờ với vận tốc theo thứ tự bằng 10 km/h, 30km/h, 5okm/h Đến mấy giờ thì ô tô cách đều người đi xe đạp và người đi xe máy
Câu 4: (4 điểm)
Lấy các cạnh của một tam giác làm cạch dựng ra phía ngoài ba hình vuông Chứng minh rằng khoảng cách giữa tâm các hình vuông dựng trên hai cạnh bên bằng khoảng cách từ tâm hình vuông dựng trên đáy đến đỉnh đối diện
Trang 3Câu 5: (2 điểm)
Với giá trị nào của x thì biểu thức P = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) có giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó?
S Ở GI ÁO DỤC – ĐÀO TẠO HÀ NỘI
PHÒNG GD – ĐT HUYỆN ĐÔNG ANH
-*** -ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
MÔN TOÁN Năm học 2002 – 2003 Thời gian làm bài : 120 phút
Câu 1: (5 điểm)
Hai lần của một số lẻ có thể là hiệu các bình phương của hai số tự nhiên được hay không?
Câu 2: (6 điểm)
Giải các phương trình sau đây:
a) 4x2 + 4x – 3
b) x3 – 2x2 – 3x + 10 = 0
Câu 3: (3 điểm)
Tứ giác ABCD có góc B bằng góc D, đường chéo BD cắt đường chéo AC tại điểm O sao cho OA = OC Tứ giác ABCD là hình gì? Tại sao?
Câu 4: (4 điểm)
Cho ABC nhọn Trên đường cao AD lấy điểm P sao cho góc BPC bằng 900, Trên đường cao BE lấy điểm Q sao cho góc AQC bằng 900 Chứng minh răng CP = CQ
Câu 5; (2 điểm)
Chứng minh rằng (11100 – 1) chia hết cho 1000
SỞ GI ÁO DỤC – ĐÀO TẠO HÀ NỘI
PHÒNG GD – ĐT HUYỆN ĐÔNG ANH
-*** -ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
MÔN TOÁN Năm học 2003 – 2004 Thời gian làm bài : 120 phút
Câu 1: (3 điểm)
Cho a + b > 1 Chứng minh rằng a4 + b4 >
8 1
Câu 2: (7 điểm)
Cho biểu thức:
m m
m m m
m m m m
m
2 3
2 2
1
1 1
a) Tìm TXĐ và rút gọn biểu thức M
b) Với giá trị nào của m thì M > 0
c) Tìm những giá trị nguyên của m để M có giá trị nguyên
Câu 3: (5 điểm)
Một xe tải đi từ A đến B với vận tốc 30km/h Một lúc sau một xe con rời A với vận tốc
40 km/h và sẽ đuổi kịp xe tải tại B Nhưng đi được nửa quãng đường AB thì xe con tăng vận tốc thêm 5km/h nữa nê 1 giờ sau đã đuổi kịp xe tải Tính quãng đường AB
Câu 4: (5 điểm)
Trang 4Cho ABC các phân giác BD và CE cắt nhau tại I Biết BD.CE = 2BI.CI
Tam giác ABC là tam giác gì?
SỞ GI ÁO DỤC – ĐÀO TẠO HÀ NỘI
PHÒNG GD – ĐT HUYỆN ĐÔNG ANH
-*** -ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN TOÁN Năm học 2001 – 2002 Thời gian làm bài : 120 phút
Câu 1: Tìm số tự nhiên được viết bằng
1 chữ số 1;
2 chữ số 2;
3 chữ số 3;
………
9 chữ số 9 Sao cho số này bằng lập phương của một số tự nhiên
Câu 2: Giải phương trình
2001 2000 2 3 2002
48 13
5
Câu 3:
Cho biểu thức
A = 3 2 6
2 2 4
2
x x
x
a) Rút gọn
b) Tìm giá trịn của x để A có giá trị lớn nhất Tìm giá trị đó
Câu 4: Cho (O) bán kính R và đường thẳng xy cố định ngoài đường tròn đó Từ tuỳ ý
trên xy kẻ tiếp tuyến MP và MQ tới (O) Chứng minh rằng khi M thay đổi vị trí trên xy thì dây cung PQ luôn đi qua 1 điểm cố định
Câu 5: Bên trong hình vuông có cạnh bằng 1 có 2001 điểm Chứng minh rằng trong số
các tam giác có đỉnh là các điểm đó hoặc đỉnh hình vuông tồn tại một tam giác có diện tích không quá
4004
1
SỞ GI ÁO DỤC – ĐÀO TẠO HÀ NỘI
PHÒNG GD – ĐT HUYỆN ĐÔNG ANH
-*** -ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN TOÁN Năm học 2003 – 2004 Thời gian làm bài : 150 phút
Bài 1: (4 điểm)
Giải phương trình: (x + 2)4 + x4 = 82
Bài 2; (4 điểm)
Chứng minh đẳng thức
SỞ GI ÁO DỤC – ĐÀO TẠO HÀ NỘI
PHÒNG GD – ĐT HUYỆN ĐÔNG ANH
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN TOÁN
Trang 5-*** - Năm học 2008 – 2009
Thời gian làm bài : 150 phỳt
Bài 1: (3 điểm)
Cho số tự nhiờn a được viết bằng 223 chữ số 9
Tớnh tổng cỏc chữ số của số n = a2 + 1
Bài 2: (5 điểm)
Giải cỏc phương trỡnh sau:
a) x 27 9 2008
b) x 1 x 3x 1 2x 2 x 2
c) x4 – x2 – 3x + 6 = 0
Bài 3: ( 3 điểm) Giải bài toỏn bằng cỏch lập phương trỡnh
Một người đi xe đạp, một người đi mỏy và một ụ tụ cựng đi từ A về B Khởi hành lần lượt lỳc 6 giờ, 7 giờ, 8 giờ và cú vận tốc tứ tự là 10 km/h, 30km/h, 40km/h Hỏi mấy giờ
ụ tụ cỏc đều người đi xe đạp và người đi xe mỏy
Bài 4: (4 điểm)
Cho ABC và trung tuyến AM Qua M kẻ đường thẳng d thay đổi cắt AC tại F và cắt tia
AB tại E
Tớnh
F
A
AC
AE
AB
Bài 5: (3 điểm)
Bờn trong một hỡnh vuụng cú cạnh bằng 1 cú 200 điểm Chứng minh rằng trong số cỏc tam giỏc cú đỉnh là cỏc điểm đú hoặc cỏc đỉnh hỡnh vuụng, tồn tại một tam giỏc cú diện tớch khụng vượt quỏ
402 1
Bài 6: (2 điểm)
Chứng minh rằng:
Nếu a, b, c > 0 và a + b + c = 1 thỡ
33 1 1
c
c b
b
a
a
S Ở GI ÁO DỤC – ĐÀO TẠO HÀ NỘI
PHềNG GD – ĐT HUYỆN ĐễNG ANH
-*** -ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
MễN TOÁN Năm học 1998 – 1999 Thời gian làm bài : 120 phỳt
Bài 1: (3 điểm)
Chứng minh rằng n5 – n chia hết cho 30 với mọi số nguyên dơng n
Bài 2: (6 điểm)
Giải các phơng trình và bất phơng trình sau
x
b) 6x4 + 5x3 – 38x2 + 5x + 6 = 0
c)
2
1
4
1
x
Bài 3: (3 điểm)
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình:
Lúc 7 giờ Hà rời nhà mình để đến nhà Lan với vận tốc 4km/h Lúc 7giờ 20 phút Làn cũng rời nhà mình để đến nhà Hà với vận tốc 3km/h Hà gặp Lan trên đờng rồi cả hai cùng về
Trang 6nhà Lan Khi trở về đến nhà mình Hà tính ra rằng quãng đờng mình đã đi gấp 4 lần quãng
đờng mà Lan đã đi Tính khoảng cách từ nhà Hà đến nhà Lan?
Bài 4: (3 điểm)
Cho hình bình hành ABCD, AC là đờng chéo lớn nhất Vẽ CEAB (E AB), CFAD (F
AD) CHứng minh rằng: AB.AE + AD.AF = AC2
Bài 5: (3 điểm) Cho năm điểm A, B, C, D, E trên mặt phẳng trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng Ngời ta nối tất cả các cặp hai điểm trong năm điểm trên bởi các đoạn thẳng rồi tô màu chúng bởi một trong 3 màu xanh, đỏ, vàng Chứng minh rằng tồn tại một
đờng gấp khúc khép kín có 4 cạnh đợc tô bởi không quá 2 màu
Bài 6: (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
zx yz xy
1 1 1
biết rằng x, y, z là các số dơng và x2
+ y2 + z2 ≤ 3
Lời giải:
Bài 1:
Ta có n5 – n = n(n4 – 1) = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) (*)
- Thấy n(n – 1)(n + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên (*) chia hết cho 3
n, n – 1, n + 1 là 3 số nguyên liên tiếp nên 1 trong số đó phải có số chẵn => (*) chia hết cho 2 Do đó (*) chia hết cho 2.3 = 6 (vì 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau
- Xét n là số nguyên dơng bất kỳ khi chia cho 5 luôn xảy ra một trong các trờng hợp sau: + n = 5k: Trong 4 số n, n – 1, n + 1, n2 + 1 có số n = 5k chia hết cho 5 nên (*) chia hết cho 5
+ n = 5k +1: Trong 4 số n, n – 1, n + 1, n2 + 1 có số n – 1 = 5k + 1 – 1 = 5k chia hết cho 5 nên (*) chia hết cho 5
+ n = 5k + 2: Trong 4 số n, n – 1, n + 1, n2 + 1 có số n2 + 1 = (5k + 2)2 + 1 = 5k’ + 4 + 1
= 5k’ + 5 chia hết cho 5 nên (*) chia hết cho 5
+ n = 5k + 3: Trong 4 số n, n – 1, n + 1, n2 + 1 có số số n2 + 1 = (5k + 3)2 + 1 = 5k’ + 9 +
1 = 5k’ + 10 chia hết cho 5 nên (*) chia hết cho 5
+ n = 5k + 4: Trong 4 số n, n – 1, n + 1, n2 + 1 có số n + 1 = 5k + 5 chia hết cho 5 nên (*) chia hết cho 5
(*) chia hết cho 5 và cho 6 đo đó (*) chia hết cho 5.6 = 30 (vì 5 và 6 là hai số nguyên tố cùng nhau
Vậy n5– n chia hết cho 30 với mọi n nguyên dơng