Một số đề thi học sinh giỏi Toán 12 - Phần 8

Câu 4 Tìm m ñể hệ phương trình  x + y = 3m  Câu 5 Chứng minh rằng diện tích của một hình bình hành bất kì nằm trong một tam giác không lớn hơn nửa diện tích của tam giác ñó... Câu 3 C[r]

Trang 1

Nguyễn Văn Xá

165 THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 – VĨNH PHÚC (2002 - 2003)

Câu 1

a Giải phương trình 4 3 3− x+ = −1 1 x

b Tìm n, m ñể hai hệ phương trình sau tương ñương

2

x y m

I

y x m

 + =



+ =

2

x xy n

II

y xy n



Câu 2 Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 5x2 + 3y3 3 và 2x2 + 5y2 = 11(xy – 143)

Câu 3 Cho hai số thực dương a, b Chứng minh các mệnh ñề sau tương ñương

(i) a+ >1 b;

(ii) ax + x

x-1>b với mọi x > 1

Câu 4 Cho tam giác nhọn ABC (AB > AC) với các ñường cao AD, BE, CF (D ∈ BC, E ∈ AC, F ∈ AB)

ðường thẳng qua D song song với EF cắt AC, AB lần lượt ở Q, R Gọi P là giao ñiểm của EF và BC

Chứng minh rằng:

1 Các ñiểm E, F, D và trung ñiểm của BC nằm trên một ñường tròn

2 ðường tròn ngoại tiếp ∆PQR ñi qua trung ñiểm của BC

Câu 1 Tìm các giá trị của tham số m ñể phương trình ( 1 m 22m 2)(x m m) 0

x m+x m−m x − − =

nghiệm duy nhất không âm

Câu 2 Hãy lập phương trình trùng phương có tổng các bình phương các nghiệm bằng 50 và tích các nghiệm bằng 144

Câu 3 Cho x, y ∈R thỏa mãn x2 + xy + y2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức F = x3y + xy3 Câu 4 Cho tứ giác ABCD, gọi M là giao ñiểm của hai ñường chéo AC và BD Kí hiệu AB = c, BC = p,

CD = q, DA = b, DB = a, DB = 3DM, AM = MC

a Tính p, q theo a, b, c

b Chứng minh rằng nếu ABD+1800 =2ADB thì DBC=2BDC

Câu 5 Trên mặt phẳng Oxy cho p ñiểm Ak(k; r ), k = 0, 1, 2, 3, …, p – 1; vớ k i p là số nguyên tố lớn hơn

3 và r là số k dư trong phép chia k2 cho p Chứng minh rằng trong các ñiểm Ak(k; r ) không có 3 ñ k iểm nào thẳng hàng, không có 4 ñiểm nào là 4 ñỉnh của một hình bình hành

Bài 1 Giải phương trình x−2 x− − −1 (x 1) x+ x2− =x 0

Bài 2 Tìm a, b ñể hệ phương trình

2 2

ax + 1 = 0

bx bx



+

Bài 3 Cho a, b, c là ñộ dài 3 cạnh một tam giác Chứng minh rằng

Trang 2

Nguyễn Văn Xá

a b c+ − + b c a+ − + c+ − ≤a b a+ b+ c Bài 4 Cho ∆ABC, A=50 ,0 B=60 ,0 C=700, M là một ñiểm nằm trên mặt phẳng chứa tam giác, gọi A1,

B1, C1 tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB

1 Khi M trùng với tâm I của ñường tròn nội tiếp ∆ABC thì A1, B1, C1 có là ba ñỉnh của một tam giác

ñều không?

2 Tìm tất cả các ñiểm M ñể A1, B1, C1 là ba ñỉnh của một tam giác ñều

Bài 5 Trong các ô vuông của một bảng hình vuông kích thước 2002×2002, người ta ghi các số thực sao cho: Tổng các số trong một hình chữ thập tùy ý của bảng (hình gồm một dòng và một cột) không nhỏ hơn

2002 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của tổng các số trong bảng

168 ðỀ THI HSG LỚP 10 – VĨNH PHÚC (98 - 99)

Câu 1 Giải phương trình x− +2 4− =x x2−6x+11

Câu 2 Chứng minh rằng 1 1 2,

+ + − < ∀ n ∈N*

Câu 3 Giải phương trình x7 – 2x6 + 3x5 – x4 – x3 + 3x2 – 2x + 1 = 0

Câu 4 Tìm a ñể hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất

x xy y a



Câu 5 Giả sử O là một ñiểm bên trong ∆ABC, các ñường thẳng OA, OB, OC lần lượt cắt các cạnh BC,

CA, AB tại A’, B’, C’ Tìm quỹ tích ñiểm O sao cho

169 ðỀ THI HSG LỚP 10 – VĨNH PHÚC (97 – 98)

Câu 1 (1.5 ñiểm) Giải phương trình (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9

Câu 2 (2.0 ñiểm) Tìm cặp số (x; y) thỏa mãn phương trình x2 + y2 + 6x – 3y – 2xy + 7 = 0 sao cho y ñạt giá trị lớn nhất

Câu 3 (2.0 ñiểm) Cho x0 là nghiệm thực của PT x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 = 0 Chứng minh 2 2 4

5

a +b ≥ Câu 4 (2.0 ñiểm) Cho ñường tròn bán kính R và n ñiểm bất kì trên mặt phẳng chứa ñường tròn (n∈N*).Chứng minh rằng trên ñường tròn ñã cho có thể tìm ñược ñiểm M sao cho tổng khoảng cách từ

M ñến n ñiểm nói trên không nhỏ hơn nR

Câu 5 (2.5 ñiểm) Trên các cạnh BC, CA, AB của ∆ABC lần lượt lấy các ñiểm D, E, K sao cho

1 1997

BD CE AK

BC = CA = AB = Gọi A’ = CK ∩ AD, B’ = BE ∩ AD, C’ = CK ∩ BE

a Hãy xác ñịnh trọng tâm ∆DEK

b Tìm trọng tâm ∆A’B’C’

Trang 3

Nguyễn Văn Xá

170 ðỀ THI HSG LỚP 10 – VĨNH PHÚ (96 – 97)

Câu 1 Tìm nghiệm nguyên của hệ bất phương trình

2

1

x x

y y y y

 − − + >



+ − <





Câu 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x100 – 10x10 + 2005, với x∈R

Câu 3 Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình 3x – 2y = 1930z

Câu 4 Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c với các hệ số dương và a + b + c = 1 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k thì f(x) ≥ [f((2 )k x )](2 )k với mọi x ≥ 0

Câu 5 Trên các cạnh của ∆ABC ta dựng về phía ngoài của tam giác các hình vuông BCDE, ACFG,

BAHK Giả sử P, Q thỏa mãn FCDP và EBKQ là các hình bình hành Hãy các ñịnh hình dạng của

∆PAQ

171 ðỀ THI HSG LỚP 10 – VĨNH PHÚ (năm học 95 – 96) thi ngày 09 – 01 – 1996

Thí sinh các trường bảng A làm tất cả các câu, kể cả câu 5, thí sinh các trường bảng B chỉ làm các câu 1, 2, 3, 4, không phải làm câu 5.

Câu 1 Chứng minh rằng 3378+ 142884 1+ +3378− 142884 1+ =9

Câu 2 Tìm tất cả các giá trị nguyên của a, b ñể ña thức x4 + ax3 + 10x2 + bx + 9 là bình phương của một tam thức bậc hai với hệ số nguyên

Câu 3 Trong ∆ABC nhọn và không ñều, ta kẻ ñường cao AH, trung tuyến BM, phân giác CL Ba ñường

này cắt nhau tạo thành ∆PQR Chứng minh rằng ∆PQR không thể là tam giác ñều

Câu 4 Tìm m ñể hệ phương trình 1 2

3

x y m





+ =

Câu 5 Chứng minh rằng diện tích của một hình bình hành bất kì nằm trong một tam giác không lớn hơn nửa diện tích của tam giác ñó

Câu 1 Giả sử phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm, tam thức bậc hai ϕ( )x =αx2+βx+γ có nghiệm

và khoảng các nghiệm của tam thức ( )ϕ x chứa khoảng (0; 2) Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm: a (0)ϕ x2 + b (1)ϕ x + c (2)ϕ = 0

Câu 2 Chứng minh nếu a b c 0, k l m 0, km l2

k + + =l m > > > ≤ thì tam thức f(x) = ax2 + bx + c có nghiệm thuộc khoảng (0; 1)

Câu 3 Chứng minh phương trình x4 – y4 = z2 không có nghiệm nguyên dương

Câu 4 Cho ∆ABC có số ño các cạnh là a a a và diện tích là S Chứng minh rằng với mọi số dương 1, 2, 3 bất kì p p p ta luôn có 1, 2, 3

Trang 4

Nguyễn Văn Xá

2 3

p

p p + p p + p p ≥

Câu 5 Cho ∆ABC, qua ñiểm M nằm trong tam giác ta dựng ba ñoạn thẳng MA1, MB1, MC1 tương ứng vuông góc với BC, CA, AB và hướng ra phía ngoài tam giác, ñộ dài ba ñoạn thẳng MA1, MB1, MC1 tương ứng tỉ lệ với ñộ dài ba cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng MA1 ñi qua trung ñiểm của B1C1

Câu 1 Với các số cho trước n ∈N, n ≥ 2, a ∈ R, a > 0, hãy tìm giá trị lớn nhất của tổng

1 1 1

n

i i i

x y

− +

=

∑ , biết

rằng xi≥ 0 (i = 1, n ) và

1

n i i

x

=

∑ = a

Câu 2 Cho hai parabol (P1) y = x2 và (P2) y = - x2 + 2x + 4

1 – Tìm tọa ñộ giao ñiểm M, N của (P1) và (P2)

2 – Qua M dựng ñường thẳng ∆1 cắt (P1) và (P2) lần lượt ở E, F ( khác M), qua N dựng ñường thẳng ∆2 cắt (P1) và (P2) lần lượt ở C, D ( khác N), chứng minh rằng CE // DF

Câu 3 Kí hiệu A = a a1 2 a20 là số nguyên dương có 20 chữ số Hai người chơi một trò chơi như sau:

“Người thứ nhất ñiền vào chữ số ñầu tiên a1 bởi một trong năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 Người thứ hai

ñiền tiếp vào chữ số a2 bởi một trong năm chữ số nói trên Rồi tiếp lại ñến người thứ nhất ñiền vào a3 …

Cứ tiếp tục như vậy cho ñến hết 20 chữ số của A Nếu số A thu ñược là số chia hết cho 9 thì người thứ hai thắng cuộc, ngược lại thì người thứ nhất thắng cuộc”

Chứng minh rằng có một cách chơi luôn ñảm bảo cho người thứ nhất thắng cuộc

Câu 4 Gọi O là tâm ñường tròn ngoại tiếp ∆ABC, M là trung ñiểm của AC, E là trọng tâm của ∆ABM

Chứng minh rằng OE = BM nếu AB = AC (cần kiểm tra lại ñề bài)

Bài 1 Giải phương trình 3|sin x|= cosx

Bài 2 Giải hệ phương trình trên tập số nguyên







Bài 3 Với số nguyên dương n ≥ 2 cho trước, tìm giá trị nhỏ nhất của tích

1

n i i

x

=

∏ , với ñiều kiện xi≥ 1

n

(i=1, n) và 2

1

n i i

x

=

∑ = 1

Bài 4 Giả sử S, R lần lượt là diện tích và bán kính ñường tròn ngoại tiếp ∆ABC Gọi S1 là diện tích tam giác có các ñỉnh là chân ñường vuông góc hạ xuống các cạnh của ∆ABC từ một ñiểm M cách tâm ñường tròn ngoại tiếp ∆ABC một khoảng d Chứng minh rằng

2

1 1 4

d

S S

R

Trang 5

Nguyễn Văn Xá

Bài 1 Giả sử a2 + b2≠ 0 Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau ñây có nghiệm:

asinx + bcosx + c = 0 (1), atanx + bcotx + 2c = 0 (2)

Bài 2 Tìm số nguyên dương n ñể phương trình xn + (2 + x)n + (2 - x)n = 0 có nghiệm hữu tỉ

Bài 3 Cho ña thức P(x) =

0

n i i i

a x

=

∑ (n ≥ 2, an.a0≠ 0) có n nghiệm dương Chứng minh 2

0

1 1

n n

a a

n

a a

Bài 4 Cho dãy {un} có u1 = 3, u2 = 17, un = 6un – 1 – un – 2, n = 3, 4, 5, …

a Chứng minh u2n+1− 6u un n+1+u2n = − ∀ ∈8, n T* ừñó suy ra rằng với mọi n thì u - 1 chia h2n ết cho

2 và thương là số chính phương

b Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số

Bài 5 Cho tứ diện ABCD có các cạnh ñối diện bằng nhau BC = DA, CA = DB, AB = DC, M là mộ

ñiểm tùy ý trong không gian Chứng minh bình phương khoảng cách từ M ñến một ñỉnh của tứ diện

không lớn hơn tổng bình phương các khoảng cách từ M ñến ba ñỉnh còn lại của tứ diện

Thí sinh các tr ườ ng b ả ng A làm t ấ t c ả các câu, k ể c ả câu 5, thí sinh các tr ườ ng b ả ng B ch ỉ làm các

câu 1, 2, 3, 4, không ph ả i làm câu 5.

Câu 1

a Giải phương trình

4 tan( ) tan( )

x c x

x−π + x+π = −

b Cho trước các ñại lượng a và α Xét hàm số f(x) = cos2x + acos(x + α) ðặt M = maxf(x),

m = minf(x), với x ∈R Chứng minh M2 + m2≥ 2

Câu 2 Cho ∆ABC cân ñỉnh A, cạnh bên bằng b, cạnh ñáy bằng a, và b 1 2 cos2

π

= + Chứng minh

rằng a5 – 4a3b2 + 3ab4 – b5 = 0

Câu 3 Cho b > a > 1 Lập hai dãy số (un) và (vn) như sau: u1 = b, v1 = a, un+1 1(un v ),n

2

n n

n + 1

2u v

u v

n 2 (b - a)

2

< − < ∀n∈N*

Câu 4 Các ñường chéo của tứ giác lồi ABCD vuông góc với nhau Qua trung ñiểm các cạnh AB, AD kẻ

những ñường vuông góc tương ứng với CD, CB Chứng minh rằng các ñường này và ñường thẳng AC

ñồng quy

Câu 1 (2 ñiểm) Tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c với các hệ số nguyên và a > 0, có hai nghiệm thực

phân biệt trong khoảng (0; 1)

a) Chứng minh rằng a ≥ 5

b) Hãy tìm tất cả các ña thức thỏa mãn ñiều kiện trên và có a = 5

N

Trang 6

Nguyễn Văn Xá Câu 2 (2 ñiểm) Cho x2 + y2 + z2 = 1 Chứng minh xyz + 2(1+ x + y + z + xy + yz + zx) ≥ 0

Câu 3 (2 ñiểm) Với ñiều kiện nào thì 3 số hạng dương liên tiếp của một cấp số nhân là ñộ dài của ba cạnh

một tam giác?

Câu 4 (2 ñiểm) Giải biện luận theo a và b phương trình asinx + bcosx = a2+ +b2 cos 2x2

Câu 5 (2 ñiểm) Cho tứ diện ABCD và G là một ñiểm nằm bên trong tứ diện Gọi A’, B’, C’, D’ là các giao

ñiểm của các tia AG, BG, CG, DG với các mặt ñối tương ứng Chứng minh rằng GA' GB' GC' GD'

GA +GB +GC + GD

ñạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi G là trọng tâm của tứ diện A’B’C’D’

Câu 1 Chứng minh f(x) = x5 – 5x3 + 4x -1 có ñúng 5 nghiệm

Câu 2 Cho ∆ABC cân ñỉnh A, cạnh bên bằng b, cạnh ñáy bằng a, và b 1 2 cos2

π

= + Chứng minh

rằng a5 – 4a3b2 + 3ab4 – b5 = 0

Câu 3 Cho , (0; )

2

π

α β∈ và tanβ =3 tanα Chứng minh rằng

6

π

β α≤ + Câu 4 Cho dãy số {un} thỏa mãn un + un+2≥ 2un+1, ∀n = 1, 2, 3,… Chứng minh rằng

Câu 5 Cho hình chóp SABC biết SA = a, SB = b, SC = c, BSC=α,CSA=β, ASB=γ Tính thể tích khố

chóp SABC

Câu 1 Tìm αñể phương trình sau có nghiệm

3(sin x+cos x) 2(sin+ x c+ os ) os =3+cosx c α α Câu 2 Dãy số (an) xác ñịnh bởi a n = k+ k+ + k (n dấu căn)

a Chứng minh rằng với mọi số dương k cốñịnh thì dãy số trên luôn có giới hạn

b Tìm số nguyên dương k ñể giới hạn của dãy số trên là một số nguyên

Câu 3 Các góc C, B, A của ∆ABC theo thứ ự lập thành cấp số nhân Gọi O, K, L lần lượt là tâm ñường

tròn nội tiếp, bàng tiếp góc B, bàng tiếp góc A của ∆ABC Các góc O, K, L của ∆OKL theo thứ tự

cũng lập thành cấp số nhân Chứng minh cos A + cos B + cos C = 2 2 2 5

4 Câu 4 Cho ∆ABC cốñịnh và một ñiểm M thay ñổi trong không gian nhưng luôn không thuộc các ñường

thẳng AB, BC, CA Kí hiệu x, y, z lần lượt là khoảng cách từ M tới AB, BC, CA Tìm tập hợp ñiểm M

1999y + 2000z+1999z + 2000x +1999x + 2000y =1333

Câu 5 Kí hiệu Sn là tập hợp n số nguyên dương ñầu tiên, tức là Sn = {1, 2, 3, …, n – 1, n}

Trang 7

Nguyễn Văn Xá

a Tìm n ñể tập hợp Sn có thể chia ñược thành hai tập hợp khác rỗng, rời nhau, và tổng các phần tử của

mỗi tập hợp con ñó bằng n(n + 1)

4

b Tìm n ñể tập hợp Sn có thể chia ñược thành ba tập hợp khác rỗng, ñôi một rời nhau, và tổng các phần

tử của mỗi tập hợp con ñó bằng n(n + 1)

6

Câu 1 Tìm các giá trị của tham số a sao cho tất cả các nghiệm không âm của phương trình (2a−1) sinx+ −(2 a) sin 2x=sin 3x lập thành cấp số cộng

Câu 2 Cho ∆ABC cân ñỉnh A, ñường phân giác trong góc B cắt AC tại D Biết BC = BD + DA, hãy tính góc A

Câu 3 Các số thực x, y thoả mãn x2 + y 3≥ x3 + y4 Chứng minh x3 + y3≤ 2

Câu 4 Dãy số nguyên (f(n))n=0∞ , trong ñó f(x) là một hàm xác ñịnh và nhận giá trị trên Z, thỏa mãn f(0) = 0, f(n) = n – f(f(n - 1)) với mọi n nguyên dương

a Chứng minh rằng f(n) ≥ f(n – 1) với mọi n nguyên dương

b Tồn tại hay không số nguyên dương k thỏa mãn f(k + 1) = f(k) = f(k – 1), tại sao?

Câu 5 Trên mặt phẳng Oxy cho p ñiểm Ak(k; r ), k = 0, 1, 2, 3, …, p – 1; vớ k i p là số nguyên tố lớn hơn

3 và r là số k dư trong phép chia k2 cho p Chứng minh rằng trong các ñiểm Ak(k; r ) không có 3 ñ k iểm nào thẳng hàng, không có 4 ñiểm nào là 4 ñỉnh của một hình bình hành

Bài 1 Giải phương trình log2002(tan x) = cos2x

Bài 2 Tìm a ñể hệ bất phương trình 2 1

1

x y xy a

x y





+ ≤

 có nghiệm duy nhất

Bài 3 Cho a, b, c là sốño ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng

a b + −c a +b c +a −b +c a + −b c > abc Bài 4 Cho tứ giác lồi ABCD có AB = a, AD = b, BC = p – a, DC = p – b, với a, b, p là các số dương cho

trước Gọi O là giao ñiểm của hai ñường chéo AC, BD ðặt BAD=α

1 Tính tỉ số OA

OC theo a, b, p và α

2 Tính

0

lim OA

α →

Bài 5 Cho dãy số a1, a2, …, an, … xác ñịnh bởi an+1 = an(2 – ban), n = 1, 2, 3…, b là số dương cho trước,

a1 là số tùy ý thuộc khoảng (0; 1

b) Chứng minh dãy số trên ñơn ñiệu và bị chặn, từñó tìm giới hạn của dãy

∧

Trang 8

Nguyễn Văn Xá

Câu 1 Cho phương trình ẩn x

c π a−x − π a−x +c π c π +π + =

1 Giải phương trình khi a = 18

2 Xác ñịnh số nguyên dương a nhỏ nhất ñể phương trình có nghiệm

Câu 2 Xét ∆ABC thỏa mãn ràng buộc max{A, B, C} >

2

π Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = sinA + sin2B + sin3C

Câu 3 Giả sử an =

1

n

+

, n = 1, 2, 3, … Chứng minh rằng:

a an + 1≤ an, với n ≥ 3

b Dãy { }a n n∞=1 có giới hạn và tìm giới hạn ñó

Câu 4 Gọi O là một ñiểm nằm trên cạnh AB của tứ diện ABCD (O không trùng với A, B) Mặt cầu ngoại

tiếp tứ diện AOCD cắt các cạnh BC, BD của tứ diện ABCD lần lượt tại M, N (M ≠ C, N ≠ D) Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BOCD cắt các cạnh AC, AD của tứ diện ABCD lần lượt P, Q (P ≠ C, Q ≠ D) Chứng minh rằng hai tam giác OMN và OQP ñồng dạng

Câu 1 (2.5 ñiểm) Giả sử∆ABC có ñộ dài ba cạnh thỏa mãn BC = AB + BC

AB − BC AC Tính 3A + B Câu 2 (2.5 ñiểm) Cho một cấp số nhân biết rằng tổng các số hạng của chúng bằng 11, tổng bình phương các số hạng bằng 341, tổng lập phương các số hạng bằng 3641

a) Chứng tỏ rằng công bội của cấp số nhân ñã cho khác 1

b) Xác ñịnh các số hạng của cấp số nhân ñó

Câu 3 (2.0 ñiểm) Cho dãy số {an} thỏa mãn

1

(0;1) 1 (1 )

4

n

a

a + a

∈







ới mọi số nguyên dương n

a> Chứng minh rằng 1 1

2 2

n a

n

> − với mọi n nguyên dương

b> Chứng tỏ dãy {an} có giới hạn và tìm giới hạn ñó

Câu 4 (3.0 ñiểm) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông, ∆SAB ñều, (SAB)⊥(ABC) Giả

sử M là một ñiểm di ñộng trên ñ ạn AB và P là hình chiếu vuông góc của S trên CM

a./ Tìm quỹ tích ñiểm P khi M di ñộng

b./ Xác ñịnh vị trí của M ñểñộ dài ñ ạn thẳng nối M với trung ñiểm của SC ñạt giá trị lớn nhất

184 ðỀ THI HSG LỚP 11 – VĨNH PHÚC (2004 – 2005) – Dành cho HS các tr ườ ng không chuyên

∧ ∧

Trang 9

Nguyễn Văn Xá Câu 1 (3.0 ñiểm) Giải biện luận theo tham số a bất phương trình xlog ax)a( ≥(ax)4

Câu 2 (2.0 ñiểm) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình cos x + sin x = cos2x th4 4 ỏa mãn bất phương

2

1 + log (2 + x - x ) ≥ 0

Câu 3 (1.0 ñiểm) Cho a, b, x, y là các số thực thỏa mãn a > 0, b > 0, x > y > 0 Chứng minh rằng

(ax + bx)y < (ay + by)x Câu 4 (3.0 ñiểm) Cho tứ diện ABCD, mặt phẳng (π) song song với hai ñường thẳng AD, BC, cắt các

ñường thẳng AB, AC, CD, DB lần lượt tại M, N, P, Q Xác ñịnh (π) ñể:

a Tứ giác MNPQ là hình thoi

b Diện tích thiết diện của ABCD cắt bởi (π) là lớn nhất

Câu 5 (1.0 ñiểm) Cho dãy số (un) xác ñịnh bởi

u0 = 0, u1 = 1, u2 = 0,

2

Chứng minh rằng un là số chính phương với mọi n = 0, 1, 2, 3, …

185 ðỀ THI HSG LỚP 11 – THPT NHƯ NGUYỆT (2009) Vòng 1

Bài 1 Cho dãy số {un} xác ñịnh như sau:

u0 = 1, u1 = - 1, u n + 2 = k.un + 1 - un, ∀ n ∈N Tìm số hữu tỉ k ñể dãy số trên là dãy tuần hoàn

Bài 2 Giả sử phương trình anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 = 0 có n nghiệm thực (n ∈ N, n ≥ 3, ai ∈ R,

i = 0, n , an≠ 0) Chứng minh (n 1)a− 2n 1− ≥2na an n 2− , ∀n ∈N, n ≥ 3

Bài 3 Tìm a, b ñể tập giá trị của hàm số ax + b2

y=

+ là ñ ạn [- 1; 4]

Bài 4 Tính giới hạn:

a)

n n n

[(2+ 3) ]

lim

(2+ 3)

→+∞ (ởñó [x] là phần nguyên của số thực x, tức là số nguyên lớn nhất không vượt quá x)

b) lim ( (n 1)( 2) ( ) )

n

→+∞ + + + − (với n ∈N*, ai∈R, i = 1, n )

Bài 5 Cho hàm số liên tục f : [a; b] → và hai số thực ,α β dương Chứng minh rằng tồn tại x0∈ [a; b] sao cho f(x0) = αf (a) βf (b)

α β

+

Bài 6 Tìm số nguyên dương n ñể 20063 14 20062005 2007 1

n+ + n+ n+ là số nguyên tố

186 ðỀ THI HSG LỚP 11 - THPT NHƯ NGUYỆT (2009) Vòng 2

Bài 1 Tính

0

lim

x

ax bx x

→

( với a, b ∈R; m, n ∈N*)

Bài 2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức T = a2 + b2 + c2 + 2abc, với a, b, c là ñộ dài ba cạnh

một tam giác có chu vi bằng 2

N

R

Trang 10

Nguyễn Văn Xá Bài 3 Cho hai hàm số liên tục f, g : [a; b] →R thỏa mãn f(x) = g(x), ∀ x ∈ [a; b] Chứng minh rằng

ta luôn có f(x) = g(x), ∀ x ∈ [a; b]

Bài 4 Tùy theo các tham số a, b, c dương, biện luận số nghiệm của phương trình ax+ bx = cx

Bài 5 Cho dãy số {an} thỏa mãn an+1≤ an – an2, ∀n ∈N Chứng minh rằng liman = 0

Bài 6 Trên nửa ñường tròn (O; R = 1) lấy 2n + 1 ñiểm (n ∈N*) P1, P2, …, P2n+1ở cùng phía ñối với mộ ñường kính nào ñó Chứng minh

2 1

1

n k k OP

+

=

≥

Bài 1 Người ta chứng minh ñược ñịnh lí sau, gọi là ñịnh lí Lagrăng: “Nếu hàm số f(x) liên tục trên ñ ạn [a; b], có ñạo hàm trên khoảng (a; b) thì tồn tại giá trị c∈(a; b) sao cho f c'( ) f a( ) f b( )

a b

−

=

− ”

a) Bây giờ ta xét hàm số f(x) = 1 x− 2 + 2x+1liên tục trên ñ ạn [-1

2; 1] và có ñạo hàm trên khoảng (-1

2; 1) Hãy tìm giá trị c như trong ñịnh lí trên nói tới

b) Cho a > b > 0 Vận dụng ñịnh lí trên chứng minh a b lna a b

− < < −

Bài 2 Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = x3 – 3x Từ ñó dùng ñồ thị biện luận theo m số nghiệm của

phương trình x3 – 3x = m3 – 3m

Bài 3

a Trong mặt phẳng Oxy cho ñường tròn (C) (x – 1)2+ (y + 2)2 = 4 Tìm quỹ tích các ñiểm M trong mặt

phẳng sao cho từ M kẻñược 2 tiếp tuyến tới (C) và 2 tiếp tuyến ñó vuông góc với nhau

b Gọi T là tập hợp các ñiểm trên ñường tròn (C) và có các thành phần tọa ñộ ñều là số nguyên Tìm

ñiểm N trong mặt phẳng Oxy sao cho 2

A T

NA

∈

∑ ñạt giá trị nhỏ nhất

Bài 1 Cho hàm số f(x) xác ñịnh trên (a; b) và thỏa mãn 1 2 1 2

1 2

f x f x x x

1 2 3

f x f x f x x x x

1 2

n

Bài 2 Cho hàm số 2

1

x y x

−

= + (C)

a> Khảo sát và vẽñồ thị hàm số

b> Tìm hai ñiểm A, B thuộc 2 nhánh khác nhau của (C) sao cho ñộ dài AB nhỏ nhất

→

N

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	288,67 KB