Tài liệu tham khảo ôn tập thi tốt nghiệm 2013 chuyên đề 6 khối đa diện và tròn xoay ppt

Bài 1 Tính thể tích tứ diện đều ABCD có các cạnh đều bằng a.Lời giải: Gọi H là hình chiếu của A lên mpBCD AH là đường cao tứ diện, do tứ diện đều nên AB=AC=AD suy ra HB=HC=HD hay H là t

 Hình vuông cạnh a có diện tích

 Hình chữ nhật có cạnh a,b có diện tích

 Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông a,b có diện tích

 Tam giác thường biết cạnh đáy và chiều cao

a

a

a

b

a

a hA

 Hình thoi biết hai đường chéo a,b

 Hình bình hành biết cạnh a và đường cao hA

 Hình thang hai đáy a,b chiều cao h

 Một số công thức khác tính diện tích tam giác

Định lý Cosin

Định lý sin

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

b) THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Trang40

Chuyên đề 6 :

Thể tích khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước

Thể tích khối chóp bằng một phần ba tích số diện tích mặt đáy và chiều cao.

Thể tích khối lăng trụ bằng tích số diện tích đáy và chiều cao của lăng trụ đó.

c) TỶ SỐ THỂ TÍCH.

ĐỊNH LÝ 1

ĐỊNH LÝ 2

d) THỂTÍCH KHỐI TRÒN XOAY.

§ 2 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN.

Trang41

Cho tam giác ABC và đường thẳng d cắt AB,AC lần lượt tại B’,C’ khi đó

Cho tứ diện S.ABC mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA,SB,SC lần lượt tại A’B’C’ khi đó

Bài 1 Tính thể tích tứ diện đều ABCD có các cạnh đều bằng a.

Lời giải: Gọi H là hình chiếu của A lên mp(BCD) AH là đường

cao tứ diện, do tứ diện đều nên AB=AC=AD suy ra HB=HC=HD

hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và H là trọng

tâm của tam giác BCD

Tam giác AHB vuông tại H nên ta được:

Bài 2 Tính thể tích của khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a góc giữa cạnh

bên và cạnh đáy kề nhau bằng 45o.

Lời giải: Gọi H là hình chiếu của S lên mp(SBC) SH là đường

cao tứ diện, do khối chóp đều nên SA=SB=SC suy ra HA=HB=HC

hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và H là trọng

tâm của tam giác ABC

Nối AH cắt BC tại M ta có M là trung điểm của BC và

Tam giác SBC cân có hai góc 45o nên tam giác vuông

Trang42

Dạng 1: Tính thể tích của khối chóp đều

Cách giải:

Xác định đường cao của khối chóp và tính độ dài đường cao

Tính diện tích đáy của khối chóp

Chú ý: Hình chóp đều có chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của

đa giác đáy

B

C

D A

M H

A

B

C S

H

Tam giác SHM vuông tại H

Bài 3 Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có cạnh bên và cạnh đáy

đều bằng a.

Lời giải: Giả sử có hình chóp tứ giác đều S.ABCD Gọi H là hình

chiếu của S lên mặt phẳng ABCD do SA=SB=SC=SD suy ra

HA=HB=HC=HD suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp hình

vuông ABCD hay H là giao điểm của hai đường chéo

;

Tam giác SHA vuông tại H nên

Bài 1 Cho hình chóp S.ABC có SA(ABC) đáy ABC là tam giácABC) đáy ABC là tam giác

vuông tại B Gọi H,K là hình chiếu của A lên SB,SC cho

SA=AB=BC=a

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC.

b) Chứng minh rằng SC AH.

c) Tính thể tích khối chóp S.AHK

Lời giải

Trang43

Dạng 2 Tính thể tích khối chóp có một cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

Cách giải

Đường cao của khối chóp là cạnh bên vuông với đáy

Tìm cách tính được diện tích đáy và chiều cao.

H A

D S

b) Ta có BC  AB, BC  SA suy ra BC  (SAB) BC AH

Mặt khác AH  SB suy ra AH  (SBC)  AH  SC

c) Ta tính thể tích khối chóp S.AHK theo trên ta có tam giác AHK vuông tại H

 Tam giác SAB vuông cân có AH là đường cao

 Tam giác SAK vuông tại A có AK là đường cao

Vậy diện tích đáy của khối chóp S.AHK là

Chiều cao khối chóp

Thể tích khối chóp S.AHK là

(Ta có thể giải bài trên bằng tỉ số thể tích)

Bài 2 Cho tứ diện S.ABC có SA(ABC) đáy ABC là tam giácABC) đáy ABC là tam giác cân tại A cho SA=AB=a góc ABC= Gọi H, K là hình chiếu của A lên SB và SC

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và .

b) Tính thể tích khối chóp A.BCKH.

Lời giải:

a)

Vì tam giác ABC cân tại A nên

b) Tam giác SAB và SAC vuông cân tại A nên H,K lần lượt là trung điểm của SB,SC

sử dụng tỉ số thể tích ta được

Trang44

Vậy

Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SC (ABC) đáy ABC là tam giácABCD) cho SA= Gọi H là hình chiếu của C lên SB, K là trung điểm của SD

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

b) Chứng minh rằng tam giác CHK đều.

c) Tính thể tích khối chóp C.BDKH.

Lời giải:

a) Tam giác SAC vuông tại C 

b) Tam giác SCB vuông cân tại C nên CH là đường cao và là đường trung tuyến, mặt

khác tam giác SCB bằng tam giác SCD nên CH=CK=

Vì H,K là trung điểm của SB,SD nên HK là đường trung bình của tam giác SBD  HK=

BD= vậy tam giác CHK đều

c) Ta sử dụng tỉ số thể tích của khối chóp S.CBD và khối chóp S.CHK

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ,

AB=BC=a,AD = 2a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD.

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

b) Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo a.

Lời giải:

a)

Trang45

S

D

A B

C

K

H

N M

S

D

C B

A

b) M,N là trung điểm SA,SD  MN//AD MN=1/2 ADvậy MN//BC và MN=BC hay BCMN là hình bình hành

Mặt khác BCAB,BCSA BC(SAB)BCBM

Vậy BCMN là hình chữ nhật

với SH là chiều cao của khối chóp

của tam giác vuông cân ABM

Vậy

Chú ý: có thể giải bài toán trên bằng tỉ số thể tích.

Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có hai đáy AD và BC Mặt

phẳng SAD vuông góc với mặt đáy của hình chóp cho AB=BC=CD=a, SA=SD=AD=2a a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

b) Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Lời giải

a) Kẻ SH vuông góc AD do (SAD)(ABCD) nên

SH(ABCD) vậy SH là đường cao của khối chóp

Mặt khác SA=SD=AD nên H là trung điểm của AD và

Nối HB,HC tứ giác ABCH là hình bình hành do AH song song và bằng BC ta lại có AB=BC nên AHBC là hình thoi vậy AB=HC=a hay tam giác HCD đều

Vậy ABCD là nữa lục giác đều

Trang46

Dạng 3 Tính thể tích khối chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy.

Cách giải

Đường cao của khối chóp nằm trên giao tuyến của mặt bên và mặt đáy nó

vuông góc

Tìm cách tính được chiều cao và diện tích đáy

A

D H

S

b) Khối chóp S.ABC có chiều cao SH và diện tích tam giác ABC bằng với diện tích

tam giác ABH và bằng

Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (ABC) đáy ABC là tam giácSAB) vuông

góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 45o ,SA=SB Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.

Lời giải:

Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABCD) do (SAB) (ABCD) nên

H nằm trên AB mặt khác SA=SB nên H là trung điểm của AB và góc

SCH là góc hợp bởi cạnh bên SC và mp đáy

Tam giác HBC vuông tại B

Vậy

Bài 1 Cho tứ diện ABCD biết ABC là tam giác vuông tại A có

; cho và tam giác DBC vuông

Tính thể tích tứ diện theo a

(ABC) đáy ABC là tam giácbài toán yêu cầu học sinh phải có nhận xét tốt về chân đường cao

của khối chóp có ba cạnh bên bằng nhau)

Trang47

Dạng 4: Thể tích khối chóp bất kỳ

Cách giải:

Xác định đỉnh khối chóp cho phù hợp nếu là khối chóp tam giác

Xác định chân đường cao nằm ở vị trí nào trên mặt đáy

Nếu hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao nằm trên đường tròn

ngoại tiếp đa giác đáy, nếu các mặt bên hợp với đáy những góc bằng nhau thì chân

đường cao trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy

D

C

A

B I

S

A

B H

Lời giải: Gọi I là hình chiếu của D lên mp(ABC) do DA=DB=DC nên I trùng với tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC suy ra I chính là trung điểm của BC

Tam giác DBC vuông cân tại D nên

Bài 2 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A cho AB=3; AC=4 góc hợp

bởi các mặt bên và mặt đáy đều bằng 60o tính thể tích khối chóp.

(ABC) đáy ABC là tam giácbài toán yêu cầu HS có nhận xét tốt về chân đường cao và công thức diện tích tam giác )

Lời giải: Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABC) Từ H kẽ

HA’,HB’,HC’ lần lượt vuông góc với BC,CA,AB khi đó các góc

SA’H, SB’H, SC’H là các góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy.do các góc

này đều bằng 60o nên HA’=HB’=HC’ hay H là tâm đường tròn nội

tiếp tam giác ABC

Ta có

Độ dài đường cao của hình chóp

Bài 1 Tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều có các cạnh đều bằnga.

Đáp số

Bài 2 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ biết rằng mp(ABC) đáy ABC là tam giácA’BC)

tạo với đáy một góc 30o và tam giác A’BC có diện tích bằng 8 tính

thể tích khối lăng trụ.

Lời giải: (ABC) đáy ABC là tam giácMục đích học sinh nhớ lại công thức diện tích đa giác

chiếu)

Kẽ AH  BC do lăng trụ đều nên AA’(ABC) suy ra A’HBC hay

Trang48

Dạng 5 Tính thể tích khối lăng trụ

Cách giải

Đường cao của lăng trụ đứng là độ dài cạnh bên, lăng trụ xiên là hình chiếu

của một đỉnh lên mặt đối diện

Tìm cách tính được chiều cao và diện tích đáy

B'

C'

B A

C

S

H A'

H C B

A

C' B'

A'

HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT2013

Tam giác ABC đều cạnh a nên

Tam giác AA’H vuông tại A nên

Bài tập 5 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a AC’=2a

Tính thể tích khối lăng trụ.

Bài tập 6 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng 3 Gọi O’ là tâm của

tam giác A’B’C’ Biết O’ là hình chiếu của B lên (ABC) đáy ABC là tam giácA’B’C’) , cho cạnh bên của lăng trụ bằng Tính thể tích khối lăng trụ.

Bài tập 7 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 60o biết

rằng tam giác A’B’C’ vuông tại B’, A’B’=3, B’C’=4 B’H’ là đường cao của tam giác A’B’C’ và H’ là hình chiếu của điểm B lên (ABC) đáy ABC là tam giácA’B’C’) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

§3 THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

Bài 1: Cho hình chóp lục giác đều S.ABCDEF có cạnh đáy bằng a cạnh bên 2a Tính thể

tích và diện tích xung quanh khối nón ngoại tiếp hình chóp.

Lời giải:

Lục giác đều ABCDEF cạnh a nên nó nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R=a

Xét tam giác SAD có SA=SD=2a=AD suy ra tam giác SAD đều

vậy đường cao chính là đường cao của hình chóp

Trang49

Đường cao của lăng trụ đứng là độ dài cạnh bên, lăng trụ xiên là hình chiếu

của một đỉnh lên mặt đối diện

Tìm cách tính được chiều cao và diện tích đáy

Dạng toán1: Tính thể tích, diện tích của khối nón

Cách giải:

Xác định đường cao bán kính của khối nón

Áp dụng công thức phù hợp

O S

B

F

A

E

Bài 2: Một hình nón có đường sinh bằng a góc ở đỉnh bằng 90o Cẳt hình nón bởi một mặt

phẳng (ABC) đáy ABC là tam giácP) đi qua đỉnh sao cho góc giữa (ABC) đáy ABC là tam giácP) và đáy hình nón bằng 60o

a) Tính thể tích và diện tích toàn phần của khối nón.

b) Tính diện tích thiết diện.

Lời giải:

a) Giả sử ta có hình nón đỉnh S trục SO mặt phẳng (P) cắt hình nón theo thiết diện là tam giác SAB gọi M là trung điểm AB

Góc ở đỉnh của hình nón bằng 90o nên OSA=45o suy ra

OS=OA=

b) Tam giác SAB cân tại S có M là trung điểm AB SMAB

Tam giác OAB cân tại O OM AB

vậy góc giữa (P) và đáy hình nón là góc SMO

tam giác SOM vuông

tam giác OAM vuông tại M

Bài 3: Cho hình nón sinh bởi một tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao Một

khối cầu có thể tích bằng thể tích khối nón thì khối cầu có bán kính bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Khối nón sinh bởi tam giác đều cạnh a nên có bán kính R=a/2 và chiều cao

Gọi R’ là bán kính khối cầu khi đó

Trang50

O

A S

C

B

M

vậy bán kính khối cầu

Bài 1: Thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vuông cạnh 2a

a) Tính thể tích và diện tích xung quanh khối trụ theo a.

b) Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp khối trụ

Lời giải:

a) Thiết diện qua trục là hình vuông cạnh 2a nên hình trụ có bán

kính R=a và chiều cao h=2a

b) Giả sử có lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp khối trụ do ABCD là hình

vuông có đường chéo 2a

Vậy thể tích lăng trụ là

Bài 2: Một khối trụ có bán kính R và chiều cao

a) Tính diện tích toàn phần và thể tích khối trụ theo R.

b) Cho hai điểm A,B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục hình trụ là 30o Tính khoảng cách giữa AB và trục hình trụ.

Lời giải:

a)

Trang51

Dạng toán2: Tính thể tích, diện tích của khối trụ

Cách giải:

Xác định đường cao bán kính của khối trụ

Áp dụng công thức phù hợp

A

A' O'

O

C'

C

B

D

D'

B'

A

A' O

O'

B M

b) Từ A kẻ đường sinh AA’//OO’ , gọi M là trung điểm của A’B

OO’//AA’ suy ra góc hợp bởi AB và trục hình trụ là góc A’AB

Mặt khác OO’//(A’AB) nên khoảng cách giữa trục OO’ và AB là khoảng cách từ O đến mp(A’AB) hay chính là độ dài đoạn OM

Tam giác AA’B vuông tại A’

Tam giác OA’M vuông tại M

Vậy khoảng cách trục hình trụ và AB là

Bài 3: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh a chiều cao bằng 2a

a) Tính thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ.

b) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ

Lời giải :

a) Tam giác ABC đều cạnh a nên có đường cao bán kính đường tròn ngoại tiếp tam

giác ABC là

Thể tích khối trụ

b) Gọi I là trung điểm của trục hình trụ OO’ khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là

Thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ là

Bài 4: Một khối hộp chữ nhật có ba kích thước là a,b,c nội tiếp

trong khối trụ Tính thể tích khối trụ.

Lời giải :

Ta có nhận xét có ba khối trụ ngoại tiếp khối hộp chữ nhật

ABCD.A’B’C’D’ có ba kích thước AB=a,AD=b,AA’=c

Trang52

A

A O

O' B'

C'

B

C

A

A' O'

O

C'

C

B

D D'

B'

Và chiều cao khối trụ là AA’=c

Thể tích khối trụ

Như vậy thể tích khối trụ là

Bài 1: Cho tứ diện S.ABC có SA  (ABC) đáy ABC là tam giácABC) đáy ABC là tam giác vuông cân tại B gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SB,SC Cho SA=AB=a

a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.

b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCHK.

Lời giải:

a) Gọi I là trung điểm SC ta có SA(ABC)  SAAC tam giác

SAC vuông tại A IS=IA=IC (trung tuyến bằng nửa cạnh

huyền)

CBAB, CBSA CB(SAB) CBSB tam giác SBC

vuông tại B IS=IC=IB

Vậy I cách đều các đỉnh của tứ diện hay I là tâm mặt cầu

ngoại tiếp khối đa diện băn kính

b) Gọi O là trung điểm của AC

Tam giác ABC vuông tại A OA=OB=OC

Tam giác AKC vuông tại K OA=OC=OK

Vì AHSB; AHBC AH(SBC)AHHC

Tam giác AHC vuông tại H OA=OC=OH

Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCHK

Trang53

Dạng 3: Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Tìm một điểm cách đều các đỉnh hình chóp.

Tìm một đoạn mà các đỉnh nhìn đoạn đó dưới một góc vuông Tìm giao của trục đường tròn đa giác đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên.

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a cạnh

bên Gọi A’B’C’D’ lần lượt là trung điểm của SA,SB,SC,SD.

Chứng minh rằng các điểm ABCD.A’B’C’D’ cùng thuộc mặt cầu ,

tìm tâm và bán kính mặt cầu đó.(ABC) đáy ABC là tam giác hãy thay giả thiết cạnh bên bằng

bằng giả thiết cạnh bên có độ dài a).

Lời giải:

Gọi H là tâm của hình vuông ABBCD do hình chóp đều nên SH (ABCD) SH là trục đường tròn của đa giác đáy, măt khác A’B’C’D’//ABCD và A’B’C’D’ là hình vuông SH

(A’B’C’D’) và SH đi qua H’ kà giao điểm của hai đường chéo hình vuông A’B’C’D’ vậy

SH là trục của đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy của khối chóp cụt

Ta chứng minh ABCD.A’B’C’D’ cùng thuộc mặt cầu tâm H

Thật vậy do SA=SC=AC= nên tam giác SAC đều HA’=

Mặt khác H thuộc trục đường tròn ngoại tiếp đai đa giác ABCD và A’B’C’D’ nên

HA=HB=HC=HD=HA’=HB’=HC’=HD’ vậy các điểm ABCD.A’B’C’D’ cùng thuộc mặt cầu có tâm H bán kính

Bài 1: Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng a Tính thể tích và diện

tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ.

Lời giải.

Giả sử có lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ Gọi O và O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp hai hai đáy ABC và A’B’C’ Gọi I là trung điểm của OO’ khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ

Trang54

Dạng 4 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.

Lăng trụ nội tiếp mặt cầu nếu nó là lăng trụ đứng có đáy nội tiếp trong đường tròn Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của đoạn nối tâm của hai đường tròn đáy

I

A' B'

C'

A

B

C O'

O