GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ 1 Định nghĩa: Hoạt động 1 Cho dãy số un với un = n 1 a Nhận xét xem khoảng cách từ un tới 0 thay đổi như thế nào khi trở nên rất lớn... Kiến thức : Một số đị
Trang 1HỌC KÌ II Ch¬ng 4: Giíi h¹n
Tiết 49: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I/ Mục tiêu:
Giúp học sinh nắm được :
1.Về kiến thức:
+ Khái niệm giới hạn của dãy số
+ Định nghĩa giới hạn dãy số
2.Về kỹ năng: Tìm giới hạn dãy số sử dụng định nghĩa
3.Về thái độ: cẩn thận và chính xác.
II/ Chuẩn bị:
1.Học sinh: Ôn tập kiến thức dãy số và nghiên cứu bài mới.
2.Giáo viên: Giáo án, bảng phụ, phiếu học tập.
3.Phương tiện: phấn và bảng.
III/ Phương pháp: Gợi mở , vấn đáp.
IV/ Tiến trình bài học:
1 Ổn định tổ chức:
2 Kiểm tra bài cũ : Cho dãy số (un) với un = n1 Viết các số hạng u10, u20, u30, u40,
u50,u60, u70, u80,u90, u100?
3 Nội dung bài mới:
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Phần ghi bảng
Thực hành hoạt động 1
u n 0,1 0,05 0,0333
u u 0,025 0,02 0,0167
u n 0,014 0,0125 0,0111
Khi n trở nên rất lớn thì
khoảng cách từ un tới 0 càng
rất nhỏ
01
,
0
n
u
100 01
,
0
1
n
Bắt đầu từ số hạng u100 trở đi
thì khoảng cách từ un đến 0
nhỏ hơn 0,01
Tương tự u n 0 , 001
1000
n
Lập bảng giá trị của un khi n nhận các giá trị 10, 20, 30,
40, 50, 60, 70, 80, 90 (viết
un dưới dạng số thập phân, lấy bốn chữ số thập phân) GV: Treo bảng phụ hình biểu diễn (un) trên trục số
Cho học sinh thảo luận và trả lời câu a)
u n 0 , 01?
Ta cũng chứng minh được rằng
n
u n 1 có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý,
kể từ một số hạng nào đó trở
đi, nghĩa là u n có thể nhỏ hơn bao nhiêu cũng được miễn là chọn n đủ lớn Khi
đó ta nói dãy số (un) với un =
n
1
có giới hạn là 0 khi n dần
I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
1) Định nghĩa:
Hoạt động 1 Cho dãy số (un) với un =
n
1
a) Nhận xét xem khoảng cách từ
un tới 0 thay đổi như thế nào khi trở nên rất lớn
b) Bắt đầu từ số hạng un nào đó của dãy số thì khoảng cách từ un
đến 0 nhỏ hơn 0,01? 0,001?
TLời
a) Khoảng cách từ un tới 0 càng rất nhỏ
b) Bắt đầu từ số hạng u100 trở đi thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,01
Bắt đầu từ số hạng u1000 trở đi thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,001
Trang 2H/s trả lời có thể thiếu chính
xác
Đọc hiểu Ví dụ 1 (SGK)
Dãy số ở HĐ1 là dãy giảm và
bị chặn, còn dãy số ở VD1 là
dãy không tăng, không giảm
và bị chặn
Dãy số này có giới hạn là 2
Đọc hiểu Ví dụ 2 (SGK)
Ta có: 1 1 *
N n n n
u n k
Do đó dãy số này có giới hạn
là 0
Lúc này dãy có giới hạn là c
Vì u n c 0 nN*
tới dương vô cực
Từ đó cho học sinh nêu đ/n dãy số có giới hạn là 0
G/v chốt lại đ/n
Giải thích thêm để học sinh hiểu VD1 Và nhấn mạnh: “
n
u có thể hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi
Có nhận xét gì về tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số ở HĐ1 và ở VD1?
Cho dãy số (un) với
n
u n 2 1
Dãy số này có giới hạn như thế nào?
Để giải bài toán này ta nghiên cứu ĐN2
GV giải thích thêm sự vận dụng Đ/n 2 trong c/m của ví
dụ 2 Cho dãy số (un) với un = k
n
1
,
Z
k Dãy số này có giới hạn ntn?
Nếu un = c (c là hằng số)?
ĐỊNH NGHĨA 1
Ta nói dãy số (un) có giới hạn là
0 khi n dần tới dương vô cực nếu u n có thể hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi
Kí hiệu: lim 0
khi n
u n 0
ĐỊNH NGHĨA 2
Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là
số a (hay vn dần tới a) khi
n , nếu lim 0
v n a n
Kí hiệu: n v n a
lim hay
a khi n
v n
2) Một vài giới hạn đặc biệt
a) lim 1 0 ;
n
n
o kZ
n k
b) lim 0
n
c) Nếu un = c (c là hằng số) thì
c c a
u
n n
lim CHÚ Ý
Từ nay về sau thay cho
a
u n
lim , ta viết tắt là lim un
= a
4 Củng cố
Đ/n giới hạn hữu hạn của dãy số: “|un| có thể nhỏ hơn một số dương tuỳ ý, kể từ
một số hạng nào đó trở đi”
5 Dặn dò
Đọc trước phần còn lại
Bài tập về nhà: Bài 1,2 (SGK-121)
Rút kinh nghiệm giờ dạy
………
_
Tiết 50: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Trang 3A Mục tiêu : Qua bài học , học sinh cần nắm :
1 Kiến thức : Một số định lí về giới hạn dãy số hữu hạn Tính tổng của cấp nhân lùi
vô hạn
2 Kĩ năng : Cách tính giới hạn dãy số , tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn
3 Tư duy : Tư duy chứng minh , tư duy lập luận chặc chẻ lôgich khả năng phân tích
, tổng hợp
4 Thái độ : Đảm bảo tính chính xác , tính khoa học
B Chuẩn bị :
1 Giáo viên : Giáo án , phiếu học tập
2 Học sinh : Chuẩn bị bài học cũ , bài tập , tham khảo bài học
3 Phương tiện dạy học : bảng phụ , phấn màu
C Phương pháp : Vấn đáp , gợi mở , hoạt động nhóm
D Tiến trình bài học :
1 Ổn định lớp :
2 Kiểm tra bài cũ : Định nghĩa giới hạn dãy số , công thức các giới hạn đặc biệt
Chứng minh rằng : lim 2 1 2
3 4 3
n
n n
3.Bài mới :
Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên Tóm tắt bài học
HS nắm các định lí
HS trao đổi nhóm và trình bày
bài giải
a/
2
2
1
limn n n n
2
2
1
1
n
n n n
b/ Chia cả tử và mẫu cho n :
2
1 3
lim
1 5
n
n
n
1
3
3 lim
5
n
n
n
+ Dãy số thứ nhất có công bội
1
2
q
+ Dãy số thứ hai có công bội
1
3
q
+ Cả hai dãy số đều có công
bội q thoả : 1 q 1
+ HS thảo luận theo nhóm
Hoạt động 1 :
GV giới thiệu các định
lí
Hoạt động 2 :
GV cho học sinh thảo luận ,trao đổi các ví dụ sgk
GV phát phiếu học tập
số 1
GV cho học sinh thực hành theo nhóm trên cơ
sở các ví dụ sgk Phương pháp giải : + Chia cả tử và mẫu cho n2
+ Áp dụng các định lí
và suy ra kết quả
Tương tự ta có cách giải thế nào ở câu b
Hoạt động 3:
GV giới thiệu các ví
dụ , các em có nhận xét
gì về công bội q của Các dãy số này
Từ đó GV cho HS nắm định nghĩa
II/ Định lí về giới hạn hữu hạn
1 Định lí 1:( Sgk )
2 Ví dụ :Tính các giới hạn sau
a/
2 2
1
limn n n n
lim
1 5
n
n n
( Phiếu học tập số 1 )
+ Phuơng pháp giải :
III/ Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
1 Định nghĩa (sgk )
2 Các ví dụ : + Dãy số
1 1 1 1 , , , , ,
2 4 8 2n
Trang 4+ Tổng cấp nhân
1(1 )
1
n n
S
q
limq n 0, q 1
+ Tính được :
lim n 1 1
u
q
+ Các nhóm hoạt động trao
đổi , và trình bày bài giải
,
u q
Nên
1
1 3
1 2 1
3
1,
2
u q
Nên
1 3 1
2
+ GV cho tính
1 2 3
+ GV cho học nhắc công thức
cần áp dụng
Hoạt động 4 :
+ GV phát phiếu học tập và cho học sinh thảo luận theo nhóm
+ GV hướng dẫn : Tham khảo ví dụ sgk , cần xác định u1 và công bội q
+ Dãy số
1
1, , , , ,( ) ,
3 9 27 3
n
3 Tổng cấp nhân lùi vô hạn :
1
u
q
4.Ví dụ : Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
3
u
b/ Tính tổng
1
n
( Phiếu học tập số 2 )
4 Củng cố: GV dùng bảng phụ để tóm tắt bài học
5 Dặn dò
Đọc trước phần còn lại
Bài tập về nhà: Bài 3,4,5,6 (SGK-121+122)
Rút kinh nghiệm giờ dạy
………
_
Tiết 51: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I/ Mục tiêu: Giúp học sinh nắm được:
1 Về kiến thức: Định nghĩa giới hạn vô cực và các tính chất
2 Về kỹ năng: Biết sử dụng t/c của giới hạn vô cực vào giải toán.
3 Về thái độ: Cẩn thận, chính xác.
II/ Chuẩn bị:
1.Học sinh: Kiến thức về giới hạn hữu hạn của dãy số và các tính chất
Soạn bài mới phần giới hạn vô cực của dãy số
2.Giáo viên: Giáo án, bảng phụ.
3.Phương tiện: Phấn và bảng.
III/ Phương pháp: Vấn đáp gợi mở.
IV/ Tiến trình bài học:
1 Ổn định lớp :
2 Kiểm tra bài cũ :
Bài 3a,b(SGK-121)
3.Bài mới :
Trang 5Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo
Đọc hiểu Hoạt động 2 (SGK)
Un cũng tăng lên vô hạn
Un > 384.109 384 10 9
10
n
n >384.1010
Vậy Chồng giấy có bề dày lớn
hơn khoảng cách từ trái đất tới
mặt trăng khi n > 384.1010
H/s phát biểu
H/s phát biểu
H/s tiếp thu kiến thức mới
Đọc hiểu ví dụ 6
H/s tiếp thu kiến thức mới
H/s tiếp thu kiến thức mới
Đọc hiểu VD 7&VD8 (SGK)
Giải thích thêm cho h/s hiểu HĐ2
Nhận xét gì về giá trị un
khi n tăng lên vô hạn?
Giải câu b) ntn?
Người ta c/m được rằng
un=10n có thể lớn hơn một số dương bất kỳ kể
từ một số hạng nào đó trở đi Khi đó dãy số (un) nói trên được gọi là dần tới dương vô cực khi n
Tổng quát em nào có thể nêu được đ/n dãy số dần tới vô cực?
Đ/n dãy số dần tới âm
vô cực?
G/v giải thích thêm cho h/s hiểu đ/n
G/v nhấn mạnh: ” un có
thể lớn hơn số dương bất kỳ, kể từ một số
hạng nào đó trở đi
lim qn =0 với |q| < 1, còn nếu |q| > 1 thì sao?
Ta thừa nhận các kết quả sau
Ta thừa nhận định lí sau
Giải thích thêm cho h/s hiểu bài
Giải ntn?
IV Giới hạn vô cực.
1 Định nghiã:
HĐ 2 Xét dãy số (un), un =
10
n
a) Khi n tăng lên vô hạn thì un
cũng tăng lên vô hạn
b) Để un > 384.109 thì n> 384.1010 tức là để un lớn hơn 384.109 thì n > N0=384.1010
Un có thể lớn hơn một số dương bất kỳ kể từ một số hang nào đó trở đi
Đ/N: Ta nói dãy số (un) có giới hạn + khi n nếu
un có thể lớn hơn một số dương bất kỳ kể từ một số hạng nào đó trở đi
Kí hiệu: lim un =+ hay un
khi n
Dãy số (un) được gọi là có giới hạn - khi n nếu lim
(un)= +
Kí hiệu: lim un =- hay un
khi n
NHẬN XÉT
lim un= + lim (-un) =-
Ví dụ 6 Cho dãy số (un) vơi
un = n2
2 Một vài giới hạn đặc biệt
a) lim nk =+ với k nguyên dương
b) lim qn =+ nếu q >1
3 Định lí
a) Nếu lim un =a và limvn thì lim
n
n
v
u
=0
b) Nếu lim un =a >0, lim vn =0
và vn > 0 với mọi n thì lim
n
n
v
u
c) Nếu lim un =+ và
limvn =a >0 thì lim unvn =+
VD: Tìm lim(-2n2+20n+11)
Trang 6Ta có: -2n2 +20n+11=
n2 (-2 + 20 112
n
n
Vì lim n2 =+ và lim
20 112
2
n
n =-2 < 0 nên
20 112
2
n n
Vậy lim (-2n2+20n +11) =-
Gý: sử dụng định lí 2
Giới hạn có kết quả ntn?
lim(-2n2+20n+11) =
n n
11 20 2
4 Cñng cố:
Đ/N giới hạn vô cực: “un có thể lớn hơn một số dương bất kỳ kể từ một số hang
nào đó trở đi lim un =+”
Các tính chất của giới hạn
Ôn tập kiến thức và làm bài tập SGK
5 Dặn dò
Bài tập về nhà: Bài 7,8 (SGK-121+122)
Rút kinh nghiệm giờ dạy
………
_
Tiết 52: LUYỆN TẬP GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I/ Mục tiêu bài day:
Củng cố cho học sinh:
1.Về kiến thức : Các kiến thức về giới hạn của dãy số
2.Về kĩ năng : Giải một số bài toán đơn giản liên quan đến giới hạn.
Vận dụng các định lí về giới hạn để tính g/hạn của các dãy số đơn giản
3.Về tư duy & thái độ : Nghiêm túc học tập,tích cực hoạt động , quan sát & phán
đoán chính xác
II/ Chuẩn bị:
Giáo viên: Giáo án , Sách giáo khoa, đồ dùng dạy học, thiết bị dạy học hiên có Học sinh: ôn tập lí thuyết & làm bài tập trước ở nhà
Phương pháp : Gợi mở , vấn đáp đan xen hoạt động nhóm
III/ Tiến trình bài dạy:
1/ Ổn định
2/ Kiểm tra bài cũ:
Định nghĩa dãy số có giới hạn là không & có giới hạn là a?
Nêu định lí 1 và 2?
3/ Bài mới:
Hoạt động 1: Làm BT 1 SGK/121
Hoạt động
HS thảo luận Nhận xét: Un là khối lượng chất phóng
xạ còn lại sau chu kì thứ n nên
U1 = ? , U2 = ? , Un = ?
HS chứng minh bằng quy nạp đến Un
BT 1 SGK/121
8
1 ,
4
1 ,
2
1
3 2
1 U U
U
Bằng quy nạp ta chứng minh
được
n n
U
2
1
Vậy số hạng tổng quát Un của
Trang 7n
U
U
U
U
2
1
8
1
2
1
4
1
2
1
2
1
3
3
2
2
1
HS xung
phong lên
chứng minh
HS :
Do
1
2
1
q
Nên theo
định lí limqn
= 0 nếu
1
q
HS thấy
được ứng
dụng thực tế
của toán học
HS lên bảng làm bài Giải thích vì sao ) 0
2
1 lim( n
) ( 10
1 ) ( 10
1 10
1 ) ( 10
1 ) (
106 g 6 g 6 3 kg 9 kg
dãy (Un) là
n n
U
2
1
b) CMR ( Un) có giới hạn là không
0 ) 2
1 lim(
2
1 lim )
10
1 ) ( 10
1
9
Vì U n 0 nên
9
9
2 2
10
1 2 1
n
n n
U
Ta cần chọn n0 sao cho
9
10
2n0 Chẳng hạn với n0 = 36 thì 236 = ( 24)9
=169>109
Nói cách khác , sau chu kì thứ
36 ( nghĩa là sau 36.24000 =
864000 năm) chúng ta không còn lo lắng về sự độc hại của khối lượng chất phóng xạ còn lại
HĐ2 : Làm BT 2SGK / 121
HS thảo luận nhóm
HS đại diện nhóm
lên trình bày
HS nhóm khác nhận
xét & bổ sung
n n
U n1 13
Chứng minh : limUn =
1
Cho HS thảo luận nhóm
GV chiếu slide đáp án bài toán n
BT 2SGK / 121
Vì lim 13 0
1
n có thể nhỏ hơn một số
dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào
đó trở đi (1) Mặt khác ta có ; 1 13 13 n( 2 )
n n
U n
Từ (1) & (2) ta suy ra U n 1 có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý , kể từ một
số hạng nào đó trở đi, nghĩa là lim(Un-1) = 0
Do đó limUn = 1
HĐ3 : Làm BT 3/121 SGK
Trang 8HS thảo luận & trình
bày trên giấy Rôky
HS giải thích thêm
) (
0
1
n k
n
0
lim
n
n q nếu q 1
c
c
lim
Vận dụng định lí về giới hạn dể tìm các giới hạn trong bài tập 3
Phân công nhóm I làm câu a
nhóm II làm câu b nhóm III làm câu c nhóm IV làm câu d
Các HS còn lại làm ,nhận xét & bổ sung
0 ) 4
3
1 4
3
BT 3/121 SGK
2 3
1 6 lim 2 3
1 6
n
n n
n
2
5 1 3 lim 1
2
5 3
lim
2
2 2
2
n
n n n
n n
) 2
1 ( 1
5 ) 4
3 ( lim 2
4
4 5 3
n
n n
n
n n
d)
4
3 )
2 4 (
1 1 9 lim 2
4
1 9
2
n n
n n n n
n n
HĐ4 : Làm BT 4/122SGK
HS thảo luận & trả lời
Đây là cấp số nhân lùi vô
hạn , có công bội
1
4
1
q
1 S
n
Tính limSn với
Sn = U1 + U2 + U3 + + Un
HS vận dụng công thức tính
& trình bày tại chỗ
BT 4/122SGK
a) Theo giả thiết ta có:
n n
U
U U U
4 1
4 1 4
1 4
1 4 1 4 1
3 3
2 2
1
b) Sn = 31
4
1 1 4
1
4 Củng cố :
Các phép biến đổi thường dùng khi tính giới hạn của dãy số?
5 Dặn dò:
Làm các bài tập còn lại ở SGK
Đọc trước bài: “Giới hạn của hàm số”.
Rút kinh nghiệm giờ dạy
………
I Mục tiêu :
Trang 9Giúp học sinhnắm chắc
1 Về kiến thức :
- Khái niệm giới hạn của hàm số và định nghĩa của nó
- Nắm được định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số
2 Về kỹ năng :
-Biết vận dụng định nghĩa vào việc giải một số bài toán đơn giản về giới hạn của hàm số
- Biết cách vận dụng định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số để giải toán
3 Về tư duy và thái độ :
- Rèn luyện tư duy logic , tích cực hoạt động , trả lời câu hỏi
II Chuẩn bị :
1 Giáo viên : phiếu học tập
2 Học sinh : nắm vững định nghĩa và định lý về giới hạn của dãy số.
III Phương pháp dạy học :
- Gợi mở , vấn đáp
- Tổ chức hoạt động nhóm
IV Tiến trình bài học :
1 Ổn định lớp:
2 Kiểm tra bài cũ ( 15’)
Tính các giới hạn sau:
3 1
) lim ) lim 2
2
)lim ) lim
n
n
n
n
n
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng
HĐ1: Hình thành định
nghĩa
HĐTP1: Hoạt động 1 sgk
Cho HS hoạt động theo 4
nhóm
- Cho nhóm 1,2 trình bày,
nhóm 3,4 nhận xét
HĐTP2: Thảo luận về định
nghĩa
-Với tính chất trên, ta nói
hàm số
1
2 2 )
(
2
x
x x x
f
Có giới hạn là 2 khi x dần
tới 1 Vậy giới hạn của
hàm số là gì ?
-Chính xác hoá định nghĩa
và ký hiệu Lưu ý HS
khoảng K có thể là các
)
; ( ),
;
(
),
;
( b a
HĐ2:
HĐTP1: Củng cố định
nghĩa
-Cho HS nêu tập xác định
- Chia nhóm hoạt động , trả lời trên phiếu học tập
- Đại diện nhóm 1,2 trình bày, nhóm 3,4 nhận xét,
bổ sung
-Thảo luận và trình bày phát thảo định nghĩa
-TXĐ : D = R\ 3
Giả sử (x n) là dãy số bất
kỳ sao cho x n 3 và
3
n
x khin
I Giới hạn hữu hạn của hàm
số tại một điểm:
1 Định nghĩa : (sgk)
VD1:
Cho hàm số
3
9 )
x
x x
3
x f x
Trang 10của hàm số và hướng dẫn
HS dựa vào định nghĩa để
chứng minh bài toán trên
-Lưu ý HS hàm số có thể
không xác định tại x0
nhưng lại có thể có giới
hạn tại điểm này
HĐTP2: Cho hàm số f(x)
= x
CMR: lim ( ) 0
0
x x
f x
x
HĐ3: Giới thiệu định lý
(tương tự hoá)
-Nhắc lại định lý về giới
hạn hữu hạn của dãy số
-Giới hạn hữu hạn của hàm
số cũng có các tính chất
tương tự như giới hạn hữu
hạn của dãy số
HĐ4: Khắc sâu định lý
-HS vận dụng định lý 1 để
giải
-Lưu ý HS chưa áp dụng
ngay được định lý 1 vì
0
)
1
(
lim
x
2
1
) 2 )(
1 ( 1
2
2
x
x
x x x
x
x
Ta có :
6 ) 3 lim(
3
) 3 )(
3 ( lim
3
9 lim ) ( lim
2
n n
n n
n
x x
x x
x
x x
f
Vậy lim ( ) 6
3
x
f x
-HS dựa vào định nghĩa và bài toán trên để chứng minh và rút ra nhận xét:
c
x
x x
x x
lim
lim
0
0
0
- Trả lời
-HS làm theo hướng dẫn của GV
3 ) 2 ( lim
1
) 2 )(
1 ( lim
1
2 lim
1 1
2 1
x x
x x x
x x
x x x
●Nhận xét:
c c
x x
x x
x x
lim
lim
0
0
0 (c: hằng số)
2.Định lý về giới hạn hữu hạn:
Định lý 1: (sgk)
VD2: Cho hàm số
x
x x f
2
1 )
(
2
Tìm lim ( )
3
x
f
VD3: Tính
1
2 lim
2
x x
x
4 Củng cố:
Qua bài học các em cần:
- Nắm vững định nghĩa giới hạn hàm số
- Biết vận dụng định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số để giải toán
5 Dặn dò:
BTVN : Bài tập 1sgk trang 132
Đọc trước phần còn lại
Rút kinh nghiệm giờ dạy
………
