[r]
Trang 1Trường thpt hậu lộc 4
-*** -Đề thi học sinh giỏi trường năm học 2009-2010
Môn thi: Toán 10
Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian phát đề
Câu I.(6 điểm)
Cho phương trình: (x 2) x- ( 2-2mx 2m+ )= - 2x2+3x 2+
1 Giải phương trình với m=4
2 Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt
Câu II (6 điểm)
1 Giải hệ phương trình:
8
́ ớ ù
2 Giải bất phương trình:
2 3 2 2 4 3 2 2 5 4
Câu III.(6 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(1; 1), B(4; -3) Tìm điểm C thuộc đường thẳng (d): x-2y-1=0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6
2 Trong mặt phẳng, cho góc xOy = 600 M,N là hai điểm lần lượt thay đổi trên 2
tia Ox và Oy sao cho : 1 1 2009
2010
OM ON Chứng minh rằng: Đường thẳng MN
luôn cắt tia phân giác của góc xOy tại một điểm cố định
Câu IV.(2 điểm)
Cho x và y là hai số dương thoả mãn x y+ =2010
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P
-Hết -
Trang 2Trường thpt hậu lộc 4
-*** -đáp án và thang điểm thi học sinh giỏi
trường năm học 2009-2010
Môn thi: Toán 10
I 1
(3 đ)
* Với m=4 phương trình trở thành:
(x-2)(x2-8x +8) = -2x2+3x+2
Û(x-2)( x2-6x+9)=0
Ûx-2=0 hoặc x2-6x+9=0
Ûx=2 hoặc x=3
1
1
1
2
(3 đ)
Ta có:
(x-2)(x2-2mx+2m) = (x-2)(-2x-1) (1)
Û(x-2)[x2-2(m-1)x+2m+1]=0
Ûx-2=0 hoặc x2-2(m-1)x+2m+1=0 (2)
Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thì cần và đủ là phương trình (2) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 2
Û
2
́D = - - + >
ù ớ
ù Û
4 hoặ 0 9
2
m
> <
́ ù ớ
ạ ù
0.5 0.5 0.5
0.5 0.5
0.5
II 1
(3đ) Đặt
2 2
u x x
v y y
ù ớ
ù Khi đó hệ trở thành:
8 12
u v uv
+ =
́ ớ
= ợ
Suy ra u, v là nghiệm của phương trình t2-8t+12=0 Ût=2 hoặc t=6 TH1 : Nếu u=2 thì v=6, khi đó ta có hệ :
2 2
2 6
́ ớ ù
+ = + =
x ho c x
́ ớ ợ
Khi hệ có các nghiệm: (1;-3), (1;2), (-2;-3), (-2;2)
TH2: Nếu u=6 thì v=2, khi đó ta có hệ:
0.5
0.5
0.5 0.5
0.5
Trang 32 2
6 2
́ ớ ù
+ =
x ho c x
y ho y
́ ớ
-ợ Khi đó hệ có các nghiệm: (-3;1), (-3;-2), (2;1), (2;-2) Vậy hệ đã cho có các nghiệm: (1;-3), (1;2), (-2;-3), (-2;2), (-3;1), (-3;-2), (2;1), (2;-2)
0.5
2
(3đ)
* Điều kiện:
2 2 2
ù
ớ ù
ợ
Û x Ê 1 ho ặc x ³ 4
( x - 1)( x - 2) + ( x - 1)( x - 3) ³ 2 ( x - 1)( x - 4) (1) TH1: Nếu x 1Ê Khi đó:
(1)Û (1 - x )(2 - x ) + (1 - x )(3 - x ) ³ 2 (1 - x )(4 - x )
Û 1 - x 2 - x + 1 - x 3 - x ³ 2 1 - x 4 - x
Û 1 - x ( 2 - x + 3 - x - 2 4 - x ) ³ 0 (2) + Với x=1 thoả mãn (2) nên x=1 là một nghiệm của bpt
+Với x <1 thì 1- >x 0 nên ta có:
(2) Û 2 - x + 3 - x - 2 4 - x ³ 0
Û 2 - x + 3 - x ³ 2 4 - x
Û ( 2 - x + 3 - x )2 ³ 4(4 - x )
Û 2 2 - x 3 - x ³ 11 2 - x
Û 4(2 - x )(3 - x ) ³ (11 2 ) - x 2(Vì x<1)
Û
97 24
x ³ không thoả mãn x<1
TH2: Nếu x³ Khi đó: 4
0.5
0.5
0.5
0.5
Trang 4(1) Û x - 1 x - + 2 x - 1 x - ³ 3 2 x - 1 x - 4
Û x - 1( x - + 2 x - - 3 2 x - 4) ³ 0
Û x - + 2 x - - 3 2 x - 4 ³ 0 ( Vì x³ nên x-1>0) 4
Û x - + 2 x - ³ 3 2 x - 4
Û 2 ( x - 2)( x - 3) ³ 2 x - 11 (3)
+ Nếu 4 11
2
x
Ê Ê hiển nhiên thoả mãn (3) vì VP³ 0 ³VT
+ Nếu 11
2
x> ta có:
(3) Û 4( x - 2)( x - 3) ³ (2 x - 11)2
Û
97 24
x ³ kết hợp với điều kiện suy ra bpt có nghiệm 11
2
x> Vậy bpt có tập nghiệm là: S ={ }1 ẩ[4; +Ơ).
0.5
0.5
1
(5đ)
Phương trình đường thẳng AB:
-Giả sử C(x; y) Theo giả thiết ta có: x-2y-1=0 (1) d(C, (AB)) =6 Û 4 3 7
6
x- y
-= +
ộ ờ ở
* Giải hệ (1), (2a) ta được (7;3)
1
* Giải hệ (1), (2b) ta được 43 27
1
1
0.5 1,5
1
1
III
2
(1đ)
Gọi Ot là tia phân giác của góc xOy Suy ra Ot cố định Gọi I là giao điểm của MN với tia Ot Ta sẽ chứng minh I
là điểm cố định
O
M
I N
x
t
y
Trang 5Thật vậy:
OMN
2
1
OM.ON.sinMON
=
2
1
OM.ON.sin600 =
2
3 OM.ON (1)
OMN
SD = SDOMI + SDONI =
2
1
OM.OI.sinMOI +
2
1
ON.OI.sinNOI=
=
2
1
(OM+ON).OI.sin300 =
4
1
(OM+ON).OI (2)
OM ON
+
0.25
0.25
0.25
0.25
Theo BĐT Côsi ta có
y x y
x + ³ +
4 1
1
Đẳng thức xảy ra khi x=y (2) Theo BĐT Bunhiacỗpski ta có
2
Đẳng thức xảy ra khi x=y
Từ (1), (2) và (3) ta suy ra 2010.4 4020 4020
4020
Đẳng thức xảy ra khi x=y
Vậy P đạt GTNN là 4020 khi x=y=1005
0.5
0.5
0.5
0.5