Hỏi lập đợc bao nhiêu số có 5 chữ số trong đó có hai chữ số 1 và ba chữ số còn lại khác nhau và khác số 1.. E là trung điểm của AB.Trên hai đờng thẳng BC và BD lần lợt lấy điểm M và N sa
Trang 1TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 4
-*** -ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2009 – 2010
Mụn thi: TOÁN - Khối 11
(Thời gian làm bài 150 phỳt, khụng kể thời gian giao đề)
Cõu I: (4 điểm)
Cho phương trỡnh: (3-m)sinx – 4sin3x = (2-m)(1-cos2x)
1 Giải phương trỡnh với m = 3
2 Tỡm m để phương trỡnh đó cho cú 10 nghiệm thuộc 0;3
Cõu II: (5 điểm)
Cho khai triển 1 2 n 0 1 n
n
, trong đú n N*
1 Tớnh 1
n n a a
A a với n 10
2 Biết cỏc hệ số a a0, , ,1 a n thỏa món hệ thức 3
Tỡm số lớn nhất trong cỏc số a a0, , ,1 a n
Cõu III: (4 điểm)
1 Cho các số 1, 2, 3, 4 Hỏi lập đợc bao nhiêu số có 5 chữ số trong đó có hai chữ số
1 và ba chữ số còn lại khác nhau và khác số 1
2 Tớnh giới hạn:
x
x x
x
1 3 1 2 1 lim
3 0
Cõu IV: (5 điểm)
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a E là trung điểm của AB.Trên hai đờng thẳng BC và
BD lần lợt lấy điểm M và N sao cho C là trung điểm của BM, D là trung điểm của
BN EM cắt AC tại I, EN cắt AD tại J
1 Chứng minh IJ // (BCD)
2 Tính diện tích tam giác EIJ theo a
Cõu V: (2 điểm)
Cho phương trỡnh: 8 1 2x x2 8x4 8x2 1 1
Xỏc định số nghiệm của phương trỡnh trờn đoạn [0;1]
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: ……… … SBD: ……… lớp: ………
TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 4
-*** -ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI HSG MễN TOÁN KHỐI 11 NĂM HỌC 2009 – 2010
Trang 2Cõu í Nội dung Điểm
Với m = 3 ta cú: (1) – 4sin3x = cos2x – 1
4sin 2sin 0 sin 0
1 sin 2
x x
0,5 0,5 0,5
2 (k Z) 6
5
2 6
x k
0,5
2 (1) sin 4sin 2(2 )sin 3 0
sin 0 2
1 sin 2 3
3 sin 4
2
x
x m x
0,25
0,5
Vì x0;3nên pt(2) có nghiệm làx ,x 2 pt(3) nghiệm là , 5 , 13 , 17
Vậy để pt (1) có 10 nghiệm thuộc0;3 thì pt(4) có 4 nghiệm pb khác các nghiệm của pt(2) v pt(3).à pt(3)
Biện luận để (4) có 4 nghiệm thoả mãn
là
4
2
m
m
0,5
n
n n a a
Trang 3Đặt 1 2 n 0 1 n
n
1 0
n n n
n
a a
Với n 10 ta cú A = 210 = 1024
0,5 1,0 0,5
n
Với mọi k 0,1, 2, ,11 ta cú 2k 12k,
k
1 2k 12k k
12
k
k
k
Do đú a0 a1 a8
1,0
Tương tự
1
k k
a
k
a , do đú a8 a9 a12 Vậy số lớn nhất trong cỏc số a a0, , ,1 a12 là 8 8
8 2 12 126720.
1,0
III.1 Cho các số 1, 2, 3, 4 Hỏi lập đợc bao nhiêu số có 5 chữ số trong đó có hai chữ số 1 và ba chữ số còn lại khác nhau và khác số 1. 2,0
Mỗi số có 5 chữ số gồm 2 số 1 và 3 số khác là hoán vị 5 phần tử 1,1,2,3,4
do 2 số 1 khi hoán vị vẫn đợc 1 số vậy các số cần lập là 5
2 60
P
P
1,0 1,0
III.2 Tớnh giới hạn:
x
x x
x
1 3 1 2 1 lim
3 0
3 0
0
lim
lim
x
x
x
x
0,5
lim 0
x
1,0
3 6 15
Trang 4đờng thẳng BC và BD lần lợt lấy điểm M và N sao cho C là trung
điểm của BM, D là trung điểm của BN EM cắt AC tại I, EN cắt
AD tại J
Có I,J lần lợt là trọng tâm của tam giác ABM và ABN
CD J I AD
J A AC
AI
//
3
2
Mà CD(BCD) IJ / /(BCD)
0,25
1,0 0,5 0,25
;
36
13 60 cos 2
2 0
2 2
AI AE AI
AE
a
2 2
0,5
2
6
EIJ
a
S
Trang 5Xác định số nghiệm của phương trình trên đoạn [0;1].
Do x 0;1 nên đặt xsint, suy ra 0;
2
t Pt (1) đã cho trở thành: 8sin 1 2sint 2t 8sin4t 8sin2t1 1 0,5 8sin cos2 cos 4t t t 1 (2)
Nhận thấy cost = 0 không phải là nghiệm, ta có:
(2) 8cos sin cos 2 cos 4t t t t cos t
sin8t cost
2 , k Z
18 9
2 , l Z
14 7
k t
l t
0,5
Vì 0;
2
t cho nên chỉ có k= 0, k = 1, l = 0, l = 1 thoả mãn.
0,25
Mặt khác: số nghiệm của pt (2) với 0;
2
t bằng số nghiệm của
pt (1) với x 0;1 .
Vậy, trên đoạn 0;1 pt (1) có bốn nghiệm là:
sin ; sin5 ; sin ; sin5
x x x x
0,5