M là điểm chính giữa cung AB của đường tròn (O) Kết luận: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD đạt giá trị nhỏ nhất bằng. khi và chỉ khi M là điểm chính giữa cung AB của đường tr[r]
Trang 1ĐỀ SỐ 9.
SỞ GD & ĐT ĐỀ THI TUYỂN VÀO THPT
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 120 phút ( không kể giao đề )
Bài 1: ( 1,5 điểm )
Xét dãy số với: và
Chứng minh rằng:
Bài 2: ( 1,5 điểm )
Tìm k, m, n đôi 1 khác nhau, khác 0 để đa thức:
phân tích thành tích 2 đa thức với hệ số
nguyên
Bài 3: ( 1,5 điểm )
Bài 4: ( 2 điểm )
Cho tứ giác lồi có diện tích S = 1, tìm giá trị nhỏ nhất của tổng các cạnh và hai đường chéo
Bài 5: ( 3,5 điểm )
Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính AB, M là điểm chuyển động trên nửa đường tròn Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B lần lượt ở C và D Đường thẳng OC cắt MA tại E, đường thẳng OD cắt MB tại F Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp và xác định vị trí của M để bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD nhỏ nhất
ĐÁP ÁN
ĐỀ SỐ 9
Trang 2Bài 1:
Xét dãy số với: và
Chứng minh rằng:
Lời giải:
Bằng quy nạp, dễ dàng suy ra:
Hay là:
Suy ra: (2)
Từ (1) và (4) suy ra:
Và cũng bằng quy nạp, ta dễ dàng suy ra:
Hay là:
Suy ra
Từ (3) và (5) suy ra điều phải chứng minh
Bài 2:
Tìm k, m, n đôi 1 khác nhau, khác 0 để đa thức
phân tích thành tích 2 đa thức với hệ số nguyên
Lời giải:
Vì hệ số tự do là 1, cho nên đa thức đã cho chỉ có thể phân tích thành một trong các dạng sau đây:
Trang 3Bây giờ, nhận thấy k, m, n có vai trò như nhau trong đa thức ban đầu, từ điều kiện của bài toán, ta có thể giả sử (*)
Trong cả 2 trường hợp (I) và (II) ta đều có: (7)
Mặt khác:
Dễ dàng nhận thấy dấu đẳng thức không thể xảy ra, vì khi
đó sẽ dẫn đến Trái với điều kiện ban đầu k, m, n khác nhau của bài toán
Thay (8) vào (7) ta được: Suy ra: hoặc
Vì nên chỉ xảy ra các trường hợp: hoặc hoặc
a) Với Suy ra Ta đi tìm giá trị k ở 2 hệ đã cho:
(loại)
Vì Nên ta có bộ 2 bộ nghiệm không lặp khi hoán vị thỏa
Thử lại, ta có:
Và:
b)
Ta có, với hệ:
Trang 4Vì nên hoặc , và có 2 bộ nghiệm không lặp khi
Thử lại, ta có:
Và
Ta có, với hệ:
Đẳng thức (9) không thể xảy ra trong trường hợp với
c)
Ta có, với hệ:
Đẳng thức (10) không thể xảy ra trong trường hợp với
Ta có, với hệ:
trường hợp hoặc hoặc vì Điều này trái với giả thiết ban đầu
Trang 5Vậy , , và là 4 bộ nghiệm
không lặp khi hoán vị thỏa mãn bài toán
Bài 3:
Lời giải:
Dễ dàng nhận thấy là số hữu tỷ và là số vô tỷ Suy ra
Xét các trường hợp sau:
Từ đó suy ra
Mặt khác:
Từ đó suy ra
Mặt khác:
Bài 4:
Cho tứ giác lồi có diện tích S=1, tìm giá trị nhỏ nhất của tổng các cạnh và hai đường chéo
Lời giải:
Gọi tứ giác lồi đã cho là ABCD, có độ dài các cạnh AB, BC, CD, DA và đường chéo AC, BD lần lượt là : a, b, c, d, e, f Gọi O là giao điểm hai đường chéo
Trang 6Ta có:
(1)
Và :
(2)
(1)+(2) vế theo vế, ta được:
(3)
Từ (3) và (4) suy ra (5)
Hay là : (6)
Từ (6) và (7) suy ra (8)
Dấu đẳng thức ở (9) xảy ra khi và chỉ khi xảy ra dấu đẳng thức ở (1), (2), (4), (6) Khi đó tứ giác ABCD là hình vuông, có cạnh đơn vị
Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng cần tìm là
Bài 5:
Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính AB, M là điểm chuyển động trên nửa đường tròn Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B lần lượt ở C và D Đường thẳng OC cắt MA tại E, đường thẳng OD cắt MB tại F Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp và xác định vị trí của M để bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD nhỏ nhất
Lời giải:
Dễ dàng nhận thấy E là trung điểm của MA, F là trung điểm của MB Từ đó suy
ra OE, OF, EF là các đường trung bình của tam giác MAB
(1)
(so le trong) (3)
Trang 7(4)
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra
Suy ra tứ giác CEFD nội tiếp ĐPCM
Gọi I, K lần lượt là trung điểm của CE, DF, J là giao điểm của hai đường trung trực của CE và DF
Dễ dàng nhận thấy J là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD , JI CE ,
JK DF và tứ giác JKOI là hình chữ nhật
Vì J là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD nên JF là bán kính của đường tròn Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của JF
Ta có:
Mặt khác:
Do đó:
Vì
Do đó
Suy ra
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
M là điểm chính giữa cung AB của đường tròn (O) Kết luận: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi và chỉ khi M là điểm chính giữa cung AB của đường tròn (O)