[r]
Trang 1Trờng THPT Phan Bội Châu Đề thi hsg cấp trờng
Tổ khoa học tự nhiên Khối 12 – Năm học 2009 – 2010
Môn toán - Thời gian làm bài : 120 phút
Câu 1 (3 điểm): Cho hàm số y = f(x) = x3 – 3x (C)
a) Viết phơng trình tiếp tuyến (C) biết hệ số góc tiếp tuyến bằng 9
b) Viết phơng trình tiếp tuyến (C) đi qua A(-1; 2)
c) Cho (P) : y = 4x2 – 6x, chứng minh rằng (P) và (C) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt, tìm toạ độ 3 điểm đó
Câu 2 (3 điểm) : Giải các phơng trình sau :
a) 4x-1 – 13.6x-2 + 9x-1 = 0
x x
x x
c) 2 3 x 2 3x 4
Câu 3 (2 điểm) : Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy và cạnh bên đều
bằng a
Câu 4 (1 điểm) : Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên D, có f(x0) = g(x0) với x0 D Hàm số y = f(x) đồng biến trên D, hàm số y = g(x) nghịch biến trên D Chứng minh rằng phơng trình f(x) = g(x) có một nghiệm duy nhất trên D
Câu 5 (1 điểm) : Chứng minh rằng hai khối lập phơng có diện tích toàn phần bằng
nhau thì có thể tích bằng nhau
Hết
-Đề thi có : 01 trang, thí sinh không sử dụng tài liệu.
Giám thi coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh : ……… Lớp ………
Hớng dẫn chấm thi, đáp án, biểu điểm
Câu 1 (3 điểm): y = f(x) = x3 – 3x (C), y’ = 3x2 - 3
a) Gọi (x0; y0) là tiếp điểm, hệ số góc tiếp tuyến bằng 9
f’(x0) = 9 3x0 = 12 0
0
2 2
x x
Mỗi phần 1 điểm a) Tìm ra x0 đợc 0,5đ Phần còn lại : 0,5đ
Trang 2+) x0 = 2 y0 = 2 Pttt : y = 9x – 16
+) x0 = - 2 y0 = - 2 Pttt : y = 9x + 16 KL
b) Viết phơng trình tiếp tuyến (C) đi qua A(-1; 2)
Gọi đờng thẳng qua A có là d có hệ số góc là k
PT d : y = k(x +1) + 2 Để d là tiếp tuyến của (C)
3
2
x x k x
+) k = 0 Pttt : y = 2
+) k = 9
4
Pttt : y = 9
4
x 1
4
KL c) (P) : y = 4x2 – 6x, y = x3 – 3x (C),
Số giao điểm (P) và (C) là số nghiệm PT :
4x2 – 6x = x3 – 3x x3 – 4x2+ 3x = 0 x(x2 – 4x + 3)
= 0
Vậy (P) luôn cắt (C) tại 3 điểm O(0; 0), A(1; -2), B(3; 18)
b) Lập ra hệ PT đợc : 0,5đ, Phần còn lại : 0,5đ
c) Lập ra PT: 0,5đ Giải PT, tìm ra 3
điểm : 0,5đ
Câu 2 (3 điểm) : Giải các phơng trình sau :
a) 4x-1 – 13.6x-2 + 9x-1 = 0
4x-1 – 13
6 .6
x-1 + 9x-1 = 0 6.4x-1 – 13.6x-1 + 6.9x-1 = 0
6
1
4
9
x
-13
1
2 3
x
+ 6 = 0 Đặt t =
1
2 3
x
(t > 0)
6t2-13t + 6 = 0
2
2 3
3
0 2
KL
x x
x x
x x
x x
Đặt t = 2
2
2
x
x
2 2
x x
= t3 + 6t
Mỗi phần 1đ
+) đặt đợc ẩn phụ : 0,5đ
Trang 3 t3 + 6t – 6t = 1 t = 1 2
2 2
x x
= 1
Đặt y = 2x (y > 0) y2 – y – 2 = 0 1( )
2
y
+) y = 2 2x = 2 x = 1 KL
c) 2 3 x 2 3x 4
Đặt t =(2 3)x(t > 0) t2- 4t + 1 = 0 2 3
t t
t x = 1
t x = -1 KL
Câu 3 (2 điểm) : Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có
cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a
Gọi khối chóp tứ giác đều là S.ABCD, O là tâm ABCD
Cạnh đáy và cạnh bên bằng a Diện tích đáy là S0 = a2
AC = a 2
OA = a 2
2 SO = a 22
Thể tích khối chóp là : V = 1
3 a 22 .a
2 = a3 2
6 KL
O
S
E
+) Vẽ hình : 0,5 đ +) Tính diện tích
đáy : 0,5đ+) Phần còn lại : 1 đ
Câu 4 (1 điểm) : f(x0) = g(x0) với x0 D
PT có nghiệm x0 trên D
+) Với x1> x0 (x1 D)
Hàm số y = f(x) đồng biến trên D f(x1) > f(x0)
Hàm số y = g(x) nghịch biến trên D g(x1) < g(x0)
f(x1) > f(x0) = g(x0) > g(x1) f(x1) > g(x1)
Với x1> x0 (x1 D) x1 không phải là nghiệm
+) Với x2< x0 (x2 D)
Hàm số y = f(x) đồng biến trên D f(x2) < f(x0)
Hàm số y = g(x) nghịch biến trên D g(x2) > g(x0)
f(x2) < f(x0) = g(x0) < g(x2) f(x2) < g(x2)
Với x2< x0 (x2 D) x2 không phải là nghiệm
Vậy trên D, PT đã cho có nghiệm duy nhất
+) Chỉ ra có nghiệm : 0,5 đ
+) CM nghiệm duy nhất : 0,5đ
Câu 5 (1 điểm) : Chứng minh rằng hai khối lập phơng có
diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau
+) Chỉ ra diện tích toàn phần : 0,5đ
Trang 4Gọi hai hình lập phơng là (H1), (H2) có cạnh, diện tích toàn
phần, thể tích tơng ứng là a, b, S1, S2, V1, V2
Theo bài ra ta có : S1 = S2 6a2 = 6b2 a = b a3= b3
V1= V2 đpcm
+) CM đợc hai thể tích bằng nhau : 0,5đ
Đáp án trên chỉ có tính chất định hớng, đáp số Không phải là lời giải chi tiết hay đáp án
Thí sinh có cách giải khác phù hợp, đúng logic kiến thức, đúng đáp số vẫn đợc
điểm tối đa
Giám khảo chấm bài linh động trong việc cho điểm lẻ
Điểm lẻ làm tròn đến 0,5 ( 0,25đ làm tròn 0,5đ, 0,75đ làm tròn 1đ)
Hớng dẫn chấm thi gồm có 3 trang