bai tap PT Mu va Logarit hay day

Cách 2: Sử dụng một ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành 1 phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn chứa x... Phương pháp đánh giá: 1..[r]

Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH; BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH; HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARÍT

4) log xy =log x log y+ a x a a

β

c a

a Giải phương trình với m = 1

b Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu

Ta có: ( )1 ⇔x2 −4x 5 2m+ = ⇔f x( )=x2−4x 5 2m 0 2+ − = ( )

Với m = 1: ta được: x2−4x 3 0+ = ⇔x 1 x 3= ∨ =

Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu

a Giải phương trình với m = 7

b Chứng minh rằng: với m 1> phương trình luôn có nghiệm duy nhất

( )1 24x3− m 2− 3x 4x3 m 3x 4x3 3x m

Với m = 7: ta được: 4x3+3x 7 0− = ⇔(x 1 4x− ) ( 2 +4x 7+ )= ⇔0 x 1=

Xét hàm số: y 4x= 3 +3x

Ta có y' 12x= 2+ >3 0; x∀ ∈ ℝ nên đường thẳng y = m luôn cắt đồ thị hàm số y 4x= 3+3x tại

1 điểm phân biệt do đó phương trình 4x3+3x m= luôn có 1 nghiệm phân biệt

a Giải phương trình với m = 1

b Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt

a =b ⇔f (x)= log b g(x),(a 0,a 1,b 0, b 1)> ≠ > ≠

• Có thể lấy logarit theo cơ số bất kỳ cả 2 vế

• Ta thường sử dụng phương pháp này cho các phương trình mũ khi 2 vế có dạng tích các lũy thừa

• Thông thường ta cần biến đổi và rút gọn phương trình trước khi logarit hóa

1 Giải phương trình:

x

x 2 3(x 2)

5 Định m để phương trình (m 3).16+ x +(2m 1).4− x +m 1 0.+ = có 2 nghiệm trái dấu

6 Cho phương trình: 16x−m.8x+(2m 1).4− x =m.2x ( )1

a Giải PT khi m =2

b Định m để phương trình có 3 nghiệm

HD: Đặt t 2= x phương trình trở thành: (t 1) t−  2−mt2+(2m 1)t m− + =0 Điều kiện bài

toán ⇔t2−mt2+(2m 1)t m 0− + = có hai nghiệm dương phân biệt khác 1

Dạng 2: αa2f x ( )+ β( )ab f x( )+ γb2f x ( ) =0 (a, b 0;a 1, b 1> ≠ ≠ )

Phương pháp giải: Chia 2 vế phương trình cho b2f x ( ) rồi đặt

f (x)

atb

 

=  

  điều kiện hẹp: t 0> Phương trình trở thành: α + β + γ = t2 t 0

Dạng 3: αaf x ( )+ βbf x ( )+ γ = với 0 (0 a,b 1;a.b 1< ≠ = ) hay αaf x ( )+ βbf x ( )+ γcf x ( ) = với 0

a Giải phương trình khi m 2=

b Tìm m để PT có hai nghiệm dương phân biệt

4 +2 − = 3 0HD: Đặt t 2= cot x2 ≥ , phương trình trở thành: 1 t2 2t 3 0 t 1 t 3 x k

2

π+ − = ⇔ = ∨ = − ⇔ = + π

< < ⇔ − < < −

19 Cho phương trình: 4x m.2x 1 + 2m 0 1( )

a) Giải phương trình với m = 2

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x , x thỏa 1 2 x1+x2 = 3

a) Giải phương trình với m = 1

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x , x thỏa 1 2 x1 x2 log2 33

22 Cho phương trình: 2.4x 12+ m.6x 12+ 9x 12+ ( )1

a) Giải phương trình với m = 1

b) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất

a Giải phương trình với m = 32

b Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

24 Giải và biện luận phương trình: 4.3x − +3 m 3= 2x

25 Cho phương trình: (3 2 2+ )tan x+(3 2 2− )tan x =m

a Giải phương trình với m = 6

b Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thuộc khoảng ;

a Giải phương trình với m = 3

b Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất

Dạng 4: ( ) ( )

f x f x

m.a +n.b +p a.b =q a, b 0;a 1, b 1> ≠ ≠

Phương pháp giải: Đưa về dạng tích

a Giải phương trình với m = 1

b Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt

Cách 2: Sử dụng một ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành 1 phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn chứa x

a Giải phương trình với m = 2

b Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt

a Giải phương trình với m 1= + 2

b Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt

4- Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số:

• Cách 1: Thực hiện theo các bước sau:

- Chuyển phương trình về dạng: f x( )= k

- Xét hàm số y f x= ( ) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả sử đồng biến)

- Nhận xét:

+ Với x x= 0 ⇒f x( )0 =k⇒x x= 0 là 1 nghiệm

+ Với x x> 0 ⇒f x( )>f x( )0 = do đó phương trình vô nghiệm k

+ Với x x< 0⇒f x( )<f x( )0 = do đó phương trình vô nghiệm k

Vậy với mọi m phương trình luôn có nghiệm duy nhất

5 Giải phương trình: x 2.3+ log x 2 = 3

6) 1 3+ =2

7 Giải phương trình: 1 8+ x2 =3x

x x

    Ta thấy x 2= là nghiệm của phương trình

        do đó phương trình vô nghiệm

Vậy x 2= là nghiệm duy nhất của phương trình

• Cách 2: Thực hiện theo các bước sau:

- Chuyển phương trình về dạng: f x( )=g x( )

- Xét hàm số y f x= ( ) và y g x= ( ) Dùng lập luận khẳng định hàm số y f x= ( )

đồng biến hàm số y g x= ( ) nghịch biến Xác định x sao cho 0 f x( )0 =g x( )0

- Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x x= 0

• Cách 3: Thực hiện theo các bước sau:

• 0 m 1< < phương trình vô nghiệm

• m 0 m 1< ∨ > phương trình có 2 nghiệm phân biệt

a Giải phương trình với m = 0

b Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−4;0]

 + − α ≥ ∀α ≤ ∨ α ≥



+ − α ≤ ∀α ∈

a Biến đổi phương trình về dạng: 3x+(1 3 x 1− ) = Bernouli⇔ x 0 x 1= ∨ =

b Biến đổi phương trình về dạng: 22x 2 − x 2x2 x 1 22x 2 − x (1 2 2x) ( 2 x) 1

Vậy phương trình có 2 nghiệm: x 0; x 1= =

Vậy phương trình có 2 nghiệm: x 0; x 1= =

10 Giải phương trình: 2sin x 2 +2cos x 2 = 3

Vì 0 sin x;cos x 1≤ 2 2 ≤ nên:

HD: pt⇔(2x +1 8 x.2)( − x)= 0 ĐS: x 2= Bài 6: Giải các PT sau:

Lưu ý: Việc chọn f x( )> hoặc 0 g x( )> tùy thuộc vào độ phức tạp của f(x) và g(x) 0

1 Giải các phương trình sau:

2 Giải phương trình: log x log x log x3 + 4 = 5

3 Giải các phương trình sau:

2

1 log x 6+ = 3 2 logcos x4.logcos x2 2 1= 3

2x 3 log x

5 Giải các phương trình sau:

a Giải phương trình với m = 1

b Tìm m để phương trình có nghiệm x , x thỏa 1 2 2 2

a Giải phương trình với m = 2

b Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

a Giải phương trình với m = 2

b Giải và biện luận phương trình theo m

a Phương trình vô nghiệm

b m 1< thì phương trình có 1 nghiệm duy nhất; m ≥ phương trình vô nghiệm 1

a Giải phương trình với m = 4

b Tìm m để phương trình nghiệm duy nhất

a Giải phương trình với m = 0

b Xác định m để phương trình có nghiệm duy nhất

12 Cho phương trình: 2 ( ) 2 ( )

log x − 6m 1 x 9m− + −2m 1− =log x 3−

a Giải phương trình với m = 2

b Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

13 Cho phương trình: ( 2 ) ( )

log x +4mx −log 2x 2m 1− − = 0

a Giải phương trình với m = 1

b Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

14 Cho phương trình: ( x 3)

3

log 9 +9m = 3

a Giải phương trình với m = 0

b Xác định m để phương trình có nghiệm duy nhất

log mx

2log x 1+ =

a Giải phương trình với m = 5

b Xác định m để phương trình có nghiệm duy nhất

a Giải phương trình với m = 0

b Xác định m để phương trình có nghiệm x , x thỏa 1 2 ( 2 2)

a Với m 1= ⇒ = ∨ = − ⇒t 1 t 2 x log 3 x 1 log 4= 5 ∨ = − 5

b Phương trình (1) có nghiệm x 1≥ ⇔( )2 có nghiệm t 2≥

a Giải phương trình với m = 1

b Xác định m để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt

10 Cho phương trình: ( )log 4 x 2 2 ( ) ( )3

x 2 − 2 x 2α

a Giải phương trình với α = 2

b Xác định α để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn 5;4

5/ log (log x) log (log x) 24 2 + 2 4 =

log (x 1)+ + =2 log 4 x log (4 x)− + +

HD: ĐK − <1 x 4< pt⇔log 4 x 1 log (16 x )2 + = 2 − 2 ĐS: x 2; x 2= = − 24 7/ 4log 2x 2 −xlog 6 2 =2.3log 4x 2 3

Dạng 2: Đặt ẩn phụ nhưng trong phương trình vẫn còn chứa x

2 Cho phương trình:

log x+ 2m 1 log x m m 2 log x− + − − m −m 1 log x m 1 0+ − + =

a Giải phương trình với m= −1

b Xác định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt

a Giải phương trình với m = 0

b Xác định m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng

Đặt u log x= ( 3−2x2−9x m 1 ; v log x+ + ) = ( 2+1)≥ Phương trình trở thành: 0

log x log x log x log x.log x 0− + − =

4 Giải phương trình: ( )log x 2 ( )log x 2

2

2+ 2 +x 2− 2 = +1 xĐặt ( )log x 2 ( )log x 2

log x.log x −2x 3+ −m log x 2log x− −2x 3+ +2m 0=

a Giải phương trình với m = 1

b Xác định m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt

log x −4 +x log 8 x 2=  +  ⇔ log x −4 −log x 2+ = −3 x⇔log x 2− = −3 x

x 3= là nghiệm duy nhất của phương trình

2 Giải phương trình: 2log x 1 3 ( + ) x

log x −2x 3− =2log x −2x 4−

Điều kiện: x 1< − 5 x 1∨ > + 5

4 5

4− − log x 2x 3 2− + log 2 x m 2 0

IV/ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT

1- Phương pháp chuyển về cùng cơ số:

x 1

2

log =

+ có nghiệm x 2= ⇒ <0 x 2≤ thoả mãn còn 2 x 4< < không thoả mãn BPT

3 1

2 3

x log log 2 3

2

1

13

Chia hai trường hợp cùng với điều kiện S [ )0;1 3;

2

= ∪ +∞

  3/ ( 2 )

x

log x −x ≤ 2

HD: ĐK x 1> BPT ⇔x2 − ≤x x2 ĐS: x 1> 4/ 2log x 13( − )>log 5 x3( − )+ 1 ĐS: 1 x 1 57

4

< +

V/ HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT

1- Phương pháp biến đổi tương đương:

- Dùng các tính chất của HS mũ hoặc Lôgarít biến đổi về HPT đại số quen thuộc

- Dùng phương pháp thế, mũ hoá hoặc Lôgarít hoá hai vế của PT hay BPT trong hệ

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình ( )x y x 2y

13

3log (x y) log (x y) 4

2log (x y ) 1

8)log (2 2 ) 0