Tính giá trị của biểu thức đại số một biến mà giá trị của biến là một biểu thức tạp hoặc thỏa mãn điều kiện nào đó là dạng toán gặp nhiều trong các kì thi vào thpt, thi học sinh giỏi vớ[r]
Trang 1CÁC BÀI TOÁN RÚT G ỌN CĂN THỨC VÀ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
Chuyên đề 1.1 Rút Gọn Và Tính Giá Trị Của Biểu Thức
Rút gọn biểu thức đại số
Để Rút Gọn Biểu Thức Ta Thường Thực Hiện Như Sau:
B1.Đặt điều kiện để biểu thức có nghĩa Lưu ý:
a có nghĩa 0⇔ ≥a ;
a
b có nghĩa ⇔ ≠b 0;
a− b có nghĩa ⇔ ≥a 0, b≥0 và a≠b
B2.Vận dụng các phép toán đối với đa thức, phân thức, thứ tự thực hiện các phép tính, các hằng
đẳng thức đáng nhớ,
I - Rút Gọn Phân Thức Hữu Tỉ
Phương Pháp Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử, rồi rút gọn nhân tử chung (lưu ý phải đặt
điểu kiện cho mẫu thức khác 0)
Thí dụ 1: rút gọn biểu thức:
A
=
Lời Giải
Ta có
x −x − x− = x − − x + x = x + x − −x x +
(2x 8) (3x 6x) (2x 4)
2
2(x 4) 3x(x 2) 2(x 2)
(x 2)(2x 3x 2)
(x 2)(x 2)(2x 1)
Điều kiện xác định Alà x≠2và x 1
2
≠ − ta có:
2
2
(x 2)(x 1)(x 2) x 1
(x 2)(x 2)(2x 1) 2x 1
Vậy với x ≠2và x 1
2
≠ − thì A x 1
2x 1
+
= +
Thí dụ 2: rút gọn biểu thức
=
Lời giải
Trang 2Với x+ + ≠y z 0, x− + ≠y z 0 thì B z x y.
− +
= + +
II- Rút Gọn Biểu Thức Có Chứa Căn Thức
Ta Thường Dùng Các Hằng Đẳng Thức
a− =b ( a− b )( a+ b ), với a≥0, b≥0;
a a +b b=( a + b )(a− ab+b), với a≥0, b≥0;
a a −b b=( a − b )(a+ ab+b), với a≥0, b≥0;
neáu
Thí dụ 3: rút gọn biểu thức
C= +x 2y− x −4xy+4y
Lời giải
C= +x 2y− (x−2y) = +x 2y− −x 2y
Nếu x≥2ythì x 2y x 2y.− = − do đó C= +x 2y− +x 2y=4y
Nếu x < 2y thì x 2y− = − +x 2y Do đó c = x + 2y + x – 2y = 2x
Vậy C 4y neáu x y
2x neáu x < y
=
Thí dụ 4: rút gọn biểu thức :
D
a b
+
−
Lời giải: điều kiện xác định a 0,b 0,a b≥ ≥ ≠ Khi đó:
2
D
+
Vậy với a 0,b 0,a b≥ ≥ ≠ thì d = ab
a− ab b+
Bằng cách đặt ẩn phụ thích hợp, ta có thể đưa bài toán rút gọn biểu thức có chứa căn về bài toán rút gọn
biểu thức hữu tỉ (không chứa căn) dễ biến đổi hơn
Thí dụ 5: rút gọn biểu thức:
2
1
2
E
Trang 3Lời giải: đặt 42 a= thì a4 = 2, 4 4 a= 2 = 2 Ta có:
E =
2
2
1
+
=
2
+
Thí dụ 6: rút gọn biểu thức
2 F
=
Lời giải: đặt a= 45thì 4 2 4 3 4
4
a
−
Suy ra
2
4
1
2
a
Đối với biểu thức có dạng tổng hay hiệu của hai biểu thức liên hợp bậc hai
, '
M = a b c M+ = a b c− , ta có:
M +M = a+ a −b c M −M = a− a −b c
Vì vậy có thể dùng phép lũy thừa bậc hai để khử bớt căn
G= a b c+ + + ac bc+ + a b c+ + − ac bc+ trong đó a,b,c là các số không âm
Lời giải : bình phương biểu thức g ta có :
2 2
2
G = a+ +b c + a+ −b c = a+b ⇒G= a+b
G = a+ +b c − a+ −b c = c⇒G= c
2
a b khi a b c G
c khi a b c
=
+ <
-Đối với biểu thức có dạng tổng hay hiệu của hai biểu thức liên hợp bậc ba
, '
M = a b c M+ = a b c− , ta có :
M+M =M +M + M M M+M = a+ a −b c M +M
Nên m+ m’ là một nghiệm của phương trình : − − − =
Trang 4Tương tự M −M ′ là một nghiệm của phương trình
3
x + a −b c − a= Vì vậy dùng lũy thừa bậc ba để khử bớt căn
Thí dụ 8: Rút Gọn Biểu Thức
10 6 3 10 6 3
Lời giải Lập phương biểu thức H ta có:
3
H − H+ = H − + > nên suy ra H− = ⇔2 0 H =2
Khi gặp biểu thức chứa căn bậc hai, nếu biến đổi được thành 2
A = A thì việc thực hiện phép tính sẽ đơn giản hơn nhiều
Xuất phát từ đẳng thức
2
2
+ +
Nếu a b c+ + =0 thì
2
Suy ra : với abc≠0, a b c+ + =0thì
Vận dụng đẳng thức ( )* vào rút gọn biểu thức chứa căn rất hiệu quả
Thí dụ 9: cho a b c, , là các số hữu tỉ đôi một khác nhau Chứng minh rằng
( ) (2 ) (2 )2
S
Lời giải Nhận thấy (a b− + − + −) (b c) (c a)=0 và a b− ≠0, b c− ≠0, c a− ≠0
Áp dụng ( )* cho ba số a b− , b c− , c a− ta có
S
a b b c c a
Mà a b c, , là các số hữu tỉ đôi một khác nhau nên S phải là số hữu tỉ
Thí dụ 10: rút gọn biểu thức
Trang 5( )2 ( )2
P
Lời giải Điều kiện x≠0,y≠0,x≠ −y Nhận thấy 2 2 ( 2 2)
0
x +y + − −x y = Áp dụng ( )* cho ba số
, ,
x y − x +y ta được
Do đó:
( )2
P
+
Lại áp dụng ( )* với ba số x y, ,− +(x y) ta có:
P
Thí dụ 11: tính tổng gồm 2010 số hạng
Lời giải Mỗi số hạng của tổng có dạng
n
−
Từ đó, ta có:
S= + − + + − + + + − = + −
1005
2010
2012
III – Vận Dụng Tính Chất Nghiệm Của Đa Thức Để Rút Gọn
1 Cơ sở lí thuyết
Mệnh đề
a.Nếu nhị thức dạng f x( )=ax b+ (a b, là các tham số ) có hai nghiệm phân biệt thì a= =b 0, tức là f x( ) đồng nhất bằng 0
Trang 6b.Nếu tam thức dạng f x( )=ax2+bx c+ (a b c, , là các tham số ) có ba nghiệm đôi một khác nhau thì a= = =b c 0, tức là f x( ) đồng nhất bằng 0
Chứng minh
a.Giả sử với x1≠x2 mà f x( )1 = f x( )2 =0 thì ax1+ =b 0 và ax2 + =b 0 Từ đó a x( 1−x2)=0 Vì
x −x ≠ nên a=0 suy ra b=0
b.Giả sử x x x1, 2, 3 đôi một khác nhau mà f x( )1 = f x( )2 = f x( )3 =0 thì 2
ax +bx + =c ;
2
ax +bx + =c ; 2
ax +bx + =c
Từ đó suy ra ( 2 2) ( )
a x −x +b x −x = ; ( 2 2) ( )
a x −x +b x −x = Do x1 ≠x2, x1≠x3, nên
( 1 2) 0
a x +x + =b ; a x( 1+x3)+ =b 0
Suy ra a x( 2−x3)=0 Vì x2 ≠x3 nên a=0 Từ đó suy ra b=0, c=0
Khi rút gọn các phân thức hữu tỉ, nếu khai triển các phép tính gặp phải những biến đổi phức tạp thì ta nên coi nó như một đa thức theo một biến rồi áp dụng mệnh đề trên Lúc đó công việc trở nên dễ dàng
hơn
2 Một số thí dụ áp dụng
Thí dụ 12 Rút gọn biểu thức
( )( ) ( ( )( )( ) ) ( ( )( )( ) )
Lời giải Điều kiện xác định a≠b b, ≠c c, ≠a
Xét đa thức f x( ) ( (x b)( )(x c) ) ( (x c)( )(x a) ) ( (x a)( )(x b) )
Khi đó biểu thức đã cho chính là f d( )
Nhận thấy f a( ) ( (a b)( )(a c) ) ( (a c)( )(a a) ) ( (a a)( )(a b) ) 1
Tương tự có f b( )= f c( )=1
Như vậy f x( )−1 là tam thức dạng 2
Ax +Bx+C nhận ba số khác nhau a b c, , làm nghiệm Vậy f x( )−1 đồng nhất bằng 0 , hay f x( )=1 với mọi x Suy ra f d( )=1
Thí dụ 13 Đơn giản biểu thức
a b b c c a
a b b c c a
a b b c c a a b b c c a
Trang 7Lời giải Điều kiện xác định a≠ −b b, ≠ −c c, ≠ −a
Sau khi quy đồng mẫu số chung (a b b c c a+ )( + )( + ), ta có tử thức là
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
P= a b b c c a− + + + a b b c c a+ − + + a b b c c a+ + − + a b b c c a− − − xét
( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
f x = x b b c c− + + + +x x b b c c− + + +x x b b c c+ − + −x x b b c c− −x thì ( )
P= f a
Ta thấy
( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 0
f b = +b b b c c b− + + +b b b c c b+ − = ;
( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 0
f c = −c b b c c c+ + + +c b b c c c− + = ;
( )0 ( ) ( ) ( ) ( )
f = −bc b c+ +bc b c− +bc b c+ −bc b c−
-Nếu b c≠ và đều khác 0 thì f x( ) có dạng 2
Ax +Bx+C nhận b c, , 0 đôi một khác nhau làm nghiệm nên f x( ) đồng nhất bằng 0 và P=0
-Nếu b=0 hoặc b c= hoặc c=0 thì suy ra P=0
Vậy biểu thức đã cho bằng 0
Bài Tập
Bài 1 rút gọn các biểu thức sau
M
3)
N
Bài 2 Chứng minh rằng với a b c, , là các số đôi một khác nhau thì
( )( ) ( ( )( )( ) ) ( ( )( )( ) )
2
x
Bài 3 Rút gọn các biểu thức chứa căn thức
2
A
a
=
2) B= 3x− −4 2 3x−5
Trang 83) 2 9 3 2 1
C
2
:
Bài 4 Rút gọn các biểu thức
7 5 5 3 25 125
2
1 7
G
−
Bài 5 Cho ( )2 ( )2
1 99 9 0, 99 9
n
Tính Giá Trị Của Biểu Thức Đại Số Một Biến
Tính giá trị của biểu thức đại số một biến mà giá trị của biến là một biểu thức tạp hoặc thỏa mãn điều kiện nào đó là dạng toán gặp nhiều trong các kì thi vào thpt, thi học sinh giỏi với những bài tập hay và khó, đòi hỏi sự vận dụng linh hoạt và sáng tạo các phép biến đổi Ta thường sử dụng phương pháp phân
tích từ điều kiện đã cho của biến để biến đổi
Bài toán 1: tính giá trị của biểu thức
3 1
2
+ −
2
2
+ − =
x +x − + =x x x + − + =x x + =
x + − =x x + − − = − = − x
5 4 3 2012 3( 2 ) 2012 3 2012 2012
2012
B= x + x − x + x− +
Tính giá trị của biểu thức b khi 1 2 1
+
Trang 9Lời Giải Ta có ( )
2
2 1
−
4x +4x −5x +5x− =2 x 4x +4x− −1 x 4x +4x− +1 4x +4x−2
= 3
x −x + − = − Vậy ( )2
2 x + − = x 1 0. không giải phương trình
Hãy tính giá trị của biểu thức
a C
−
=
Lời giải Do a là nghiệm dương của phuong trình 2
2 x + − = x 1 0. nên 2
2a = −1 a suy ra
0< <a 1và 4 2
2a = −1 2a a+ từ đó , ta có:
( ) ( ( 4 ) 2)
a C
−
a
1 0
x + − =x có hai nghiệm trái dấu Gọi x1 là
nghiệm âm của phương trình Tính giá trị của biểu thức
8
1 10 1 13 1
D= x + x + +x
Lời giải Do ac= − <1 0 nên phương trình 2
1 0
x + − =x có hai nghiệm trái dấu Vì x1 là nghiệm
x + − = ⇒x x = −x do đó:
( )2
x = −x = − x +x = − x + − = −x x
x = − x = − x + x = − x + x +x = − x + −x +x = − x +x
( )2
Suy ra 8
1 10 1 13 5 1
x + x + = −x
Vì x1< nên 0 5− > ⇒ −x1 0 5 x1 = −5 x1
D= x + x + + = − + = x x x
Bài toán 5: tính giá trị của biểu thức
F
=
x
+ +
Trang 10Lời giải Ta có 2 2
2
1
x
+ +
x =x x =x x− = x − =x x− − =x x−
x =x x= x− x= x − x= x− − x= x−
x =x x= x− x= x − x= x− − x= x−
từ đó, ta có
( )
( )
Vậy 5 43 3 102 12 21 1
F
Bài tập
Bài 1 Tính giá trị của biểu thức 2 4
1
A=x + x + +x với 1 2 1 2
Bài 2 Tính giá trị của biểu thức
1 1
a B
+
= + + − , trong đó a là nghiệm dương của phương trình 2
Bài 3 Tính giá trị của biểu thức 5 44 3 33 9
C
=
x
+ +
Tính giá trị của biểu thức nhiều biến có điều kiện
Để tính giá trị của biểu thức có nhiều hơn một biến số với điều kiện cho trước ta có thể sử dụng phương pháp phân tích từ điều kiện đã cho, phương pháp hệ số bất định hay phương pháp hình học Sau đây là
một số ví dụ minh họa
I – Phương Pháp Phân Tích
7x −13xy−2y = 0 Tính giá trị của biểu thức 2 6
A
−
=
Lời Giải Ta có
( ) (1 ⇔ 7x+y)(x−2y)= ⇔ =0 x 2y (do x>0,y>0)
Thay vào biểu thức A, thu được 2.2 6 2 1
A
9
A−
Thí dụ 2: cho các số thực dương x, y thỏa mãn
1 7042 2
3
+ =
Tính giá trị của biểu thức B x
y
=
Lời Giải Đặt a 2012, b 2012
= = với , b 0a > thì hệ điều kiện đã cho trở thành
Trang 116
+ =
+ =
2
B
= = =
Thí dụ 3: cho các số thực dương x, y, z, t, s thỏa mãn
( )
5
2 7
3 2
− =
Tính giá trị của biểu thức C s s
x y
Lời Giải Từ điều kiện của bài toán suy ra t≠2 và 5
2
t≠
x− tx = ⇔ tx =
5
C
−
II-Phương Pháp Hệ Số Bất Định
Thí dụ 4:cho các số thực , , x y z thỏa mãn
( )( ) 2
= +
Hãy tính giá trị của biểu thức 2 2 2
D= x + y − z Lời giải Ta có ( ) 2 2 2 22 0
⇔
Gọi a b, là các số thực thỏa mãn
a x −y −z +b y − z = x + y − z
D= x −y −z + y − z = + =
Thí dụ 5: cho các số thực dương , , , x y z t thỏa mãn
1
1
t
t
+ +
Tính giá trị của biểu thức
t E
=
Trang 12Lời giải Ta có ( )
2
5
1 3
2
x z
t t
⇔
và 8.1 x y 9.z
E = +t t + t
Gọi a b, là các số thực thảo mãn a x 2.y 2.z b 3.x z x 8.y 9.z
1
4.1 1.2 6
E
6
II-Phương Pháp Hình Học
Thí dụ 6: cho các số thực dương , , x y z thỏa mãn
2
9 16
y z
y xz
+ =
Tính giá trị của biểu thức G=xy+yz
Lời giải
Xét tam giác ABC vuông tại B, BC=4, 3BA=
và đường cao BD Đặt
,
BD=y DA=x và DC=z Ta ta thấy , ,x y z
hoàn toàn thỏa mãn hệ điều kiện (6) Khi đó
( )
G=x y+y z= x+z y= S = = Vậy G=12
Thí dụ 7: cho các số thực x y z, , với y>0 thỏa mãn
2
2
2
29 4 2
1 2
x y
− =
Tính giá trị biểu thức H = y( x− +1 2−z)
Lời giải.(h1.2)
Từ (7) suy ra x>1,z<2
Ta viết hệ (7) dưới dạng
2 2
2 2
2
25 1
4
1 2
Trang 13
Xét tam giác vuông tại B, đường cao BD với 5; 2
2
AB= BC= Đặt BD=y AD, 1,= x− CD= 2−x Rõ ràng x y z, , thỏa mãn hệ trên Từ đó
1 5
2 2
ABC
H = y x− + − =z S = = Vậy H =5
Thí dụ 8.cho các số dương x y z, , thỏa mãn
2 2
2 2
50
169 2 144 2
y z
y
x xy
z
x xz
+ + =
Tính giá trị biểu thức K =xy+yz+zx
Lời giải.(h.1.3)
Ta viết lại hệ (8) dưới dạng
2
2
2
5
13 2 12 2
y
x xy
z
x xz
Xét tam giác vuông ABC vuông tại C với AB=13,AC=5,BC =12. gọi O là điểm nằm trong
OB=x OA= OC= ta dễ dàng
kiểm tra được x y z, , thỏa mãn hệ điều kiện trên Ta có 1 ; 1 ; 1
S = xy S = yz S = zx
2
K=xy+yz+zx= S +S +S = S = =
Vậy K =120
Bài Tập
Bài 1 Cho 3 số thực x,y,z dương và x>y thỏa mãn
6 4 3
z z
x y
z
x y
+ =
+
hãy tính giá trị biểu thức M z
x y
=
−
Bài 2 Cho các số thực dương x,y,z,t,s thỏa mãn
Trang 141 4
1 2
x
x y z x
s
x y z t
=
=
=
Hãy tính giá trị biểu thức N 7x 4z t
s
Bài 3 Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn
3 2
2 2
3 9 3
16
y
x xy y z
z xz x
Hãy tính giá trị biểu thức P=xy+2yz+3xz
Trang 15Chuyên Đề 1.2
Tìm Điều Kiện Để Biểu Thức Đại Số Thỏa Mãn Điều Kiện Cho Trước
Sau khi rút gọn biểu thức, đề thi có thể yêu cầu thêm:
• Tìm điều kiện để biểu thức nhận giá trị là số nguyên
• Chứng minh giá trị của biểu thức không là số nguyên
• Tìm điều kiện để biểu thức không âm (hoặc không dương) hoặc thỏa mãn một bất đẳng thức, một đẳng thức nào đó
• Tìm điều kiện để biểu thức có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Dạng 1: tìm điều kiện để biểu thức nhận giá trị là số nguyên
Phương Pháp: biến đổi biểu thức về dạng phân thức hoặc tổng của một đa thức với hệ số nguyên và một
phân thức dạng a( )
a Z
A ∈ với A là đa thức với hệ số nguyên
để tìm giá trị là một số nguyên thì a nhận giá trị là ước số của a
Trong trường hợp cần tìm giá trị của biến số thực để biểu thức nhận giá trị nguyên thì nên tìm trước các giá trị nguyên có thể có của biểu thức, từ đó suy ra giá trị của các biến số
−
=
a A
a a a a Tìm các giá trị nguyên của a để a có giá trị
nguyên
Lời giải Trước hết ta rút gọn biểu thức a Ta có:
2
2 2
1
A
A nhận giá trị nguyên khi a− 2 là ước số của 4, tức là a− ∈ − − −2 { 4; 2; 1;1; 2; 4}
Suy ra a∈ −{ 2; 0;1;3; 4; 6}
Thí dụ 2 Cho biểu thức
2
8 16 1
=
− +
B
Tìm các giá trị nguyên của m để a có
giá trị nguyên
Lời giải Trước hết ta rút gọn biểu thức b Ta có:
2
4
1
B
m m
− − =
m
Trang 164 1
4
− < <
khi m hoac m m
m
m
-Nếu 4 ≤m≤ 8 thì 4 4 16
m B
Với m nguyên, để b nguyên thì m− 4 là các ước của 16, nhưng 4 ≤m≤ 8nên m∈{5; 6;8}
-Nếu m> 8 thì 2
4
=
−
m B
m Với m nguyên, để b nhận giá trị nguyên thì ( *)
4
4
2
+
B nguyên thì k là ước số của 8, mà k > 2 ( vì m> 8 ) nên k∈{ }4;8
Suy ra m∈{20; 68}
Vậy với m∈{5; 6;8; 20; 68} thì b nhận giá trị nguyên
1
= − − − + − − +
x C
x
giá trị nguyên
Lời giải Điều kiện x≥ 0và x≠ 1
Ta có:
x C
( ) ( 1 ) 1 1
Đặt x=a a( ≥0,a≠1) Nếu tồn tại x để p có giá trị nguyên thì phương trình 2 1
1
a C
+
=
− + ( ẩn
a , tham số c ) có nghiệm Tức là:
Ca − C+ a+ C− = có nghiệm
( )2
Dễ thấy C> 0 và c nguyên nên C∈{ }1; 2
4 1
x x
x
=
Trang 17Với C= 2 thì 1 2 2 3 1 0 0, 25
1
x
Vậy x∈{0; 0, 25; 4} thì Cnhận giá trị nguyên
Dạng 2 Chứng Minh Giá Trị Của Biểu Thức Không Là Số Nguyên
Phương pháp Ta thường sử dụng một trong các cách sau:
-Chỉ ra giá trị của biểu thức nằm giữa hai số nguyên liên tiếp
-Hoặc biến đổi biểu thức về dạng phân thức hoặc tổng của một đa thức với hệ số nguyên và một phân thức, rồi chứng minh rằng tử thức không chia hết cho mẫu thức
-Hoặc chỉ ra giá trị của một biểu thức là một số vô tỉ
+ + + Chứng minh rằng giá trị của c không là số nguyên
Lời giải Ta có:
1
C
+ +
Ta lại có:
3
3 1 2
C
a b c a b c a b c
= − + − + −
< − =
Do đó: 1 <C< 2 Vậy giá trị của c không phải là số nguyên
Thí dụ 5 Chứng minh rằng giá trị của D= x2 + 4x2 + 36x2 + 10x+ 3 ( với x là số tự nhiên )
không là số nguyên
Lời giải Do x∈N nên
2
+ < + + < +
⇒ + < + + < +
⇒ + < < +
Giá trị của d nằm giữa hai số tự nhiên liên tiếp nên không là số nguyên
n E
+ − + ( với n nguyên và n≠ ±1,n≠0 ) Chứng minh