chuyen de 3 PPTD trong khong gian

Chứng minh rằng S’ABC là một tứ diện đều... Laäp phöông trình maët phaúng (P).[r]

Chương 3 – Phương pháp tọa độ trong không gian

I – HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A – KIẾN THỨC

1/ Tọa độ của véctơ và tọa độ điểm trong không gian

+ a( ; ; )a a a1 2 3  a a i a j a k 1  2  3

+ M ( ; ; )x y z OM xi yj zk 

+ A( ; ; ),x y z B1 1 1 ( ; ; )x y z2 2 2  AB(x2 x y1; 2 y z1; 2 z1)



+ Độ dài đoạn AB: AB  AB  ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 ( z2 z1)2

2/ Tích vô hướng và tích có hướng

1 2 3

( ; ; ) ( ; ; )

a a a a

b b b b







 + Tích vô hướng: ab ab a b a b  1 1 2 2 3 3

 

, a a a ; a a a ;

a b

b b b b b b

 

3/ Một số tính chất và ứng dụng

+ Véctơ  a b , 

  vuông góc với cả a b,  + a b  a b 0

   

+ a b , cùng phương   a b ,   0

+ a b c  , , đồng phẳng   a b c ,   0

  

2

ABC

S   AB AC 

 

+ Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD  AB AD , 

 

+ Thể tích hình hộp : VABCD A B C D ' ' ' '  AB AD AA ,  '

  

4/ Phương trình mặt cầu

+ Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R có phương trình:

(S) : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 + Phương trình có dạng

x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 với điều kiện a2 + b2 + c2 > d, là phương trình mặt cầu có tâm ( -a; - b; - c ) và có bán kính

R a b c  d

B – BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Cho 4 điểm A(4;2;3), B(-2;1;-1), C(3;8;7), D(-6;2;z)

1/ Chứng minh rằng ABC là tam giác cân

2/ Định D để ABD là tam giác cân tại B

3/ Tính tọa độ trong tâm G của tam giác ABD

4/ Định D để D.ABC là hình chóp

5/ Tính diện tích tam giác ABC

Bài 2: Cho 2 điểm A(2;4;-3) và B(5;-7;-1)

1/ Tính tọa độ trung điểm I của đoạn AB

2/ Tính tọa độ điểm M chia đọan AB theo tỷ số k = - 2

3/ Tìm điểm N trên trục x’Ox cách đều 2 điểm A và B

Bài 3: Cho 3 điểm A(6;4;-2) , B(6;2;0) và C(4;2;-1)

1/ Chứng minh rằng ABC là tam giác đều

2/ Cho điểm S(3;y;z) ; tính y và z để S.ABC là hình chóp đều

3/ Tính thể tích hình chóp S.ABC

Bài 4: Cho 3 điểm A(4;-3;2), B(-2;m;3) và C(n;4;-2) Tính m và n để:

1/ Điểm G(2;-1;1) là trọng tâm tam giác ABC

2/ Ba điểm A, B, C thẳng hàng

3/ Tìm giao điểm E của đường thẳng AG và mặt phẳng (xOz)

Bài 5: Cho tam giác ABC có A(1;-2;6), B(2;5;1) và C(-1;8;4)

1/ Tính tọa độ các chân E và F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của tam giác ABC trên BC 2/ Tính độ dài các đọan phân giác đó

Bài 6: Cho tam giác ABC, biết AB ( 3; 1;1), AC(2; 6;6)

1/ Tính tọa độ và độ dài của vectơ trung tuyến AM

2/ Tính tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC khi biết A(2;4;-3)

3/ Tính tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

Bài 7: Cho 4 điểm A(3;1;0), B(2;1;-1), C(x;y;-1), S(m-2;n +1;-3)

1/ Tính x và y để ABC là tam giác đều

2/ Với x và y vừa tìm được ở trên, tính m và n để S.ABC là hình chóp đều

3/ Tính thể tích hình chóp S.ABC

Bài 8: Cho 3 điểm A(10;9;12), B(-20;3;4), C(-50;-3;-4)

1/ Chứng minh rằng A, B, C thẳng hàng

2/ Chứng minh rằng đường thẳng AB cắt trục x’Ox

3/ Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (yOz)

4/ Tính diện tích tam giác OAB

Bài 9: Cho 2 véctơ p(1; 1;3), q(2; 2;1)

Tìm vétơ v thỏa đồng thời 3 điều kiện sau

, ,

v p

v q

v p q

 











  

Bài 10: Cho 2 vétơ a(2;1; 2), b(0; 2; 2)

1/ Tính góc  a b   , 

2/ Tính m để 2 vétơ v 2a 3mb, w ma b 

vuông góc nhau

Bài 11: Cho 3 vétơ a(2;3;1), b(1; 2; 1),  c ( 2; 4;3) Xác định vétơ d

biết rằng

3 4

ad bd











 





Đồng phẳng

Chương 3 – Phương phỏp tọa độ trong khụng gian

Bài 12: Cho hỡnh chúp A.BCD với A(3;1;-2), B(2;5;1), C(-1;8;4), D(1;-2;6)

1/ Tớnh tọa độ chõn H của đường cao AH của hỡnh chúp

2/ Tớnh đường cao AH và thể tớch hỡnh chúp

Bài 13: Cho 4 điểm S(1;2;3), A(2;2;3), B(1;3;3), C(1;2;4)

1/ Chứng minh rằng SABC là một tứ diện

2/ Chứng minh rằng SA(SBC), SB(SAC), SC(SAB)

3/ Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA và AB Chứng minh rằng AMNP là một tứ diện đều 4/ Vẽ SA(ABC), gọi S’ là điểm đối xứng của H qua S Chứng minh rằng S’ABC là một tứ diện đều

Bài 14: Xaực ủũnh taõm vaứ baựn kớnh cuỷa maởt caàu (S)

1 x2 + y2 + z2 – 4x + 6y – 2z –22 = 0

2 x2 + y2 + z2 + 6x – 8z = 0

3 x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 4z – 16 = 0

4 x2 + y2 + z2 – 4y + 8z = 0

Baứi 15 : Tỡm phửụng trỡnh maởt caàu (S) bieỏt :

1 Taõm I(1,-3,2) vaứ baựn kớnh R = 5

2 Taõm I(2,4,-1) vaứ ủi qua A(5,2,3)

3 Taõm I(0,3,-2) vaứ ủi qua goỏc toùa ủoọ O

4 ẹửụứng kớnh AB vụựi A(1,-2,4) , B(3,-4,-2)

Baứi 16 : Tỡm phửụng trỡnh maởt caàu (S) bieỏt :

1/ Taõm I(2,1,-4) vaứ tieỏp xuực vụựi maởt phaỳng (P) : x – 2y + 2z – 7 = 0

2/ Taõm I(1,-2,1) vaứ tieỏp xuực vụựi ủửụứng thaỳng (d) : x = 1 + 4t ; y = 3 – 2t ; z = 4t – 2

3/ Taõm I(-5,1,1) vaứ tieỏp xuực vụựi maởt caàu (S’) : x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 6z + 5 = 0

Baứi 17 :Tỡm phửụng trỡnh maởt caàu (S) bieỏt :

1/ Qua 3 ủieồm E(1,20) , F(-1,1,3) , G(2,0,-1) vaứ coự taõm naốm trong (xOz)

2/ Ngoaùi tieỏp hỡnh choựp A.BCD vụựi A(1,0,2) , B(2,-1,1) , C(0,2,1) , D(-1,3,0)

3/ Qua 4 ủieồm O, M , N , P vụựi M , N , P laứ giao ủieồm cuỷa maởt phaỳng (P):x–3y+2z–6 = 0 với 3 trục tọa độ Baứi 18 :Xeựt vũ trớ tửụng ủoỏi cuỷa maởt caàu (S) vaứ (P)

1 (S) : x2 + y2 + z2 – 6x – 2y + 4z + 5 = 0 , (P) : 2x + 2y + z – 1 = 0

2 (S) : (x -1)2 + (y-3)2 + (z+2)2 = 16 , (P) : 2x -3y + 6z – 9 = 0

3 (S) : x2 + y2 + z2 + 2x – 4y -2z + 2 = 0 , (P) : x + y - 2z – 11 = 0

Baứi 19: Cho maởt caàu (S) : x2 + y2 + z2 - 2x + 6y + 4z - 22 = 0 vaứ mp (P) : x + 2y – 2z – 5 = 0

1/ Chửựng toỷ raống (P) caột (S) Vieỏt phưụng trỡnh ủửụứng troứn giao tuyeỏn cuỷa (C)

2/ Tớnh toùa ủoọ taõm H vaứ baựn kớnh cuỷa ( C )

Baứi 20 :Cho 2 ủieồm A(-2,-1,3) , B(6,3,-5)

1/ Tỡm phửụng trỡnh maởt caàu (S) ủửụứng kớnh AB

2/ Tỡm phửụng trỡnh tieỏp dieọn (P) cuỷa (S) taùi A

3/ (P) caột truùc x’Ox taùi M Tỡm phửụng trỡnh ủửụứng kớnh cuỷa (S) qua M

4/ Tỡm phửụng trỡnh caực giao tuyeỏn cuỷa (S) laàn lửụùt vụựi 3 maởt phaỳng toùa ủoọ

5/ Tỡm giao ủieồm cuỷa (S) vụựi ủửụứng thaỳng (d) : x = 1 – t ; y = 2 + t ; z = t – 2

II – PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

A – KIẾN THỨC

1/ Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) và song song với giá của 2 véctơ

( ; ; ), ( ; ; )

a a a a bb b b

Khi đĩ, mp(P) cĩ VTPT là:

b b b b b b

Suy ra, (P): A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0

2/ Phương trình mặt phẳng theo đọan chắn

Mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm M(a;0;0), N(0;b;0) và H(0;0;c)

(P): x y z    1

a b c

3/ Nếu mp (P): Ax + By + Cz + D = 0 ( A2 + B2 + C2  0 ) thì mp(P) cĩ VTPT là n( ; ; )A B C



B – BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1 : Gọi (P) là mặt phẳng đi qua gốc O và song song với giá của 2 véctơ a = ( 3;2;-1) , b = (4;-2;7) Lập phương trình mặt phẳng (P)

Bài 2 : Trong không gian cho 3 điểm A(2;-1;1) , B(1;-4;1) , C(1;0;1) Lập phương trình mặt phẳng (ABC) Bài 3 : Cho 2 điểm A(2;-1;3) , B(2;1;-1) Lập phương trình mặt phẳng trung trực (P) của AB

Bài 4 : Cho 2 điểm A (7;2;-3) , B(5;6;-4) Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa A , B và song song với trục hoành

Bài 5 : Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(2;-1;1) và vuông góc với các mặt phẳng :

2x – z + 1 = 0 ; y = 0

Bài 6 : Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với các mặt phẳng :

2x – y + 3z - 1 = 0 ; x+ 2y + z = 0

Bài 7 : Cho 2 điểm A(1;-1;-2) và B(3;1;1) và mặt phẳng (P) : x – 2y + 3z – 5 = 0 Lập phưong trình mặt phẳng (Q) đi qua A , B và vuông góc với mặt phẳng (P)

Bài 8: Trong khơng gian Oxyz, lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P)

1/ Đi qua điểm M(3,-2,5) và vuông góc với vectơ n = (4,-3,2)

2/ Đi qua điểm N(1,6,-2) và vuông góc với (D) đi qua 2 điểm A(2,-5,6), B(-1,-3,2)

3/ Đi qua điểm E(-2,3,1) và song song với giá của cặp vectơ a = (3,-5,2) , b = (1,-4,3)

4/ Đi qua 2 điểm A(4,0,2) , B(1,3,-2) và song song với giá của véctơ a = ( 4,5,3)

5/ Đi qua 3 điểm không thẳng hàng A(1,-2,4) , B(3,2,-1), C(-2,1,-3)

6/ Đi qua điểm M(2,-3,4) và song song với mặt phẳng (Q): 4x – 3y + 2z – 5 = 0

7/ Cắt 3 trục tại A(2,0,0), B(0,-3,0) , C(0,0,6)

8/ Đi qua 2 điểm A(1,3,-5) , B(-2,-1,1) và song song với trục x’Ox

9/ Đi qua điểm M(2,-5,3) và vuông góc với OM

10/ Đi qua điểm N(2,-3,4) và vuông góc với trục y’Oy

Chương 3 – Phương pháp tọa độ trong khơng gian

13/ Đi qua 2 điểm A(2,-1,4) , B(3,2,1) và vuông góc mặt phẳng (Q) : 2x – y + 3z - 5 = 0

14/ Qua điểm M(-1,4,-3) và vuông góc với hai mặt phẳng

(Q) : x – 2y + z + 4 = 0 ; (R): 3x + y – 2z – 1 = 0

Bài 9: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) :

a Chứa trục Ox và điểm A (4,-1,2)

b Chứa trục Oy và điểm B (1,4,3)

c Chứa trục Oz và điểm C (3,-1,7)

Bài 10: Lập phương trình mặt phẳng  trong các trường hợp sau:

a)  đi qua M(-3;2;0) cĩ VTPT n( 1; 2;1)

b) đi qua M(1;4;2) cĩ cặp VTCP a(2;1;3) b(1;4;1)

c)  đi qua M(-2;1;1) và //mặt phẳng :x –3y +z –2 =0

d)  là mặt phẳng trung trực của đoạn AB với A(-1;4;3) B(1;2;1)

e)  đi qua 3 điểm A(-4;3;1) B(1;-2;2) C(-1;1;3)

f)  chứa trục Oy và // CD;với C(3;-1;0) D(4;2;-3)

g)  chứa trục Oz và  mặt phẳng : x –2y +3z –1 =0

h)  đi qua 2 điểm A(3;-2;2) B(1;3;1)và vuơng gĩc mặt phẳng :2x –z +3 =0

i)  đi qua điểm A(-1;4;2) và  2 mặt phẳng P: x – y +2z –1 = 0 Q: 2x + y – z + 4 = 0

Bài 11: Cho 4 điểm A(5;1;3) B(-2;0;1) C(3;1;-1) D(1;1;3) Lập phương trình mặt phẳng  qua 2

điểm A,B và cách đều 2 điểm C,D

Bài 12: Cho 4 điểm A(-2;1;3) B(1;2;-1) C(5;0;2) D(-1;3;0)

a) Lập phương trình mặt phẳng (BCD),suy ra ABCD là 1 tứ diện

b) Lập phương trình mặt phẳng  qua 2 điểm A,B và //CD

c) Lập phương trình mặt phẳng  qua 2 điểm A,C và  với mặt phẳng : 2x + y – 3z + 5 = 0

Bài 13: Cho mặt phẳng  :3x – y +2z –1 = 0 và điểm A(1;1;-1)

a) Tìm toạ độ hình chiếu H của A trên 

b) Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với A qua 