b) Từ hệ thức trên hãy suy ra định lí: “Nếu một hình tứ diện có hai cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối diện thứ ba cũng vuông góc với nhau.”. Hướng dẫn làm bài:[r]
Trang 1Giải SBT Toán 12 bài 1: Hệ tọa độ trong không gian
Bài 3.1 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Trong không gian Oxyz cho ba vecto =(2;−1;2), =(3;0;1), =(−4;1;−1) Tìm tọa độ của các vecto và biết rằng:
a) =3 −2 +
b) =2 + +4
Hướng dẫn làm bài
=(−4;−2;3), =(−9;2;1)
Bài 3.2 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Trong không gian Oxyz cho vecto =(1;−3;4)
a) Tìm y0 và z0 để cho vecto =(2;y0;z0) cùng phương với
b) Tìm tọa độ của vecto biết rằng và ngược hướng và | |=2| |
Hướng dẫn làm bài:
a) Ta biết rằng và cùng phương khi và chỉ khi =k với k là một số thực Theo giả thiết ta có: =(x0;y0;z0) với x0 = 2 Ta suy ra k=1/2 nghĩa là l=1/2x0
Do đó: −3=1/2y0 nên y0 = -6
4=1/2z0 nên z0 = 8
Vậy ta có =(2;−6;8)
b) Theo giả thiết ta có =−2
Do đó tọa độ của là: = (-2; 6; -8)
Bài 3.3 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Trong không gian Oxyz cho điểm M có tọa độ (x0; y0; z0) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx)
Hướng dẫn làm bài:
Trang 2Gọi M’, M’’,
M’’’ lần lượt là
hình chiếu vuông
góc của điểm M
trên các mặt
phẳng (Oxy),
(Oyz), (Ozx)
Ta có: M’(x0; y0;
0)
M’’ (0; y0; z0)
M’’’(x0; 0; z0)
Bài 3.4 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Cho hai bộ ba điểm:
a) A = (1; 3; 1), B = (0; 1; 2), C = (0; 0; 1)
b) M = (1; 1; 1), N = (-4; 3; 1), P = (-9; 5; 1)
Hỏi bộ nào có ba điểm thẳng hàng?
Hướng dẫn làm bài:
a) Ta có =(−1;−2;1)
=(−1;−3;0)
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vecto và cùng phương, nghĩa
là =k với k là một số thực
Giả sử ta có =k , khi đó k.(−1)=−1;k.(−3)=−2;k.(0)=1
Ta không tìm được số k nào thỏa mãn đồng thời cả ba đẳng thức trên Vậy ba điểm A,
B, C không thẳng hàng
b) Ta có: =(−5;2;0) và =(−10;4;0) Hai vecto và thỏa mãn điều kiện: =k với k=1/2 nên ba điểm M, N, P thẳng hàng
Bài 3.5 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Trang 3Trong không gian Oxyz, hãy tìm trên mặt phẳng (Oxz) một điểm M cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1)
Hướng dẫn làm bài:
Điểm M thuộc mặt phẳng (Oxz) có tọa độ là (x; 0; z), cần phải tìm x và z Ta có:
MA2 = (1 – x)2 + 1 + (1 – z)2
MB2 = (–1 – x)2 + 1 + z2
MC2 = (3 – x)2 + 1 + (–1 – z)2
Theo giả thiết M cách đều ba điểm A, B, C nên ta có MA2 = MB2 = MC2
Từ đó ta tính được M(5/6;0;−7/6)
Bài 3.6 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Cho hình tứ diện ABCD Chứng minh rằng:
a) + = +
b) =1/2 +1/2 +1/2 +
Hướng dẫn làm bài:
a) Ta có:
= +
= +
Do đó: + = + vì =−
b) Vì = + và = + nên = + +
Do đó: 2 = + + +2
Vậy =1/2 +1/2 +1/2 +
Bài 3.7 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
ho hình tứ diện ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD,
AD, BC Chứng minh rằng:
Trang 4a) + = + =2
b) − = − =2
Hướng dẫn làm bài:
a) Ta có MPNQ là
hình bình hành vì
= =1/2
và =PN→=1/2
Do đó
=MQ→+ =
/2+ /2 hay 2
= +
(1)
Mặt khác = +
= +
Nên + = + (2)
Vì =
Từ (1) và (2) ta có: + = + =2 là đẳng thức cần chứng minh b) Ta có: = - = /2 - /2
Do đó: 2 = − (3)
Mặt khác: = +
= −
Nên − = − (4)
Trang 5Vì − =
Từ (3) và (4) ta suy ra − = − =2 là đẳng thức cần chứng minh
Bài 3.8 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Trong không gian cho ba vecto tùy ý , , Gọi = −2 , =3 − , =2 −3
Chứng tỏ rằng ba vecto , , đồng phẳng
Hướng dẫn làm bài:
Muốn chứng tỏ rằng ba vecto , , đồng phẳng ta cần tìm hai số thực p và q sao cho =p +q
Giả sử có =p +q
2c→−3 =p( −2b→)+q(3 − )
⇔ (3+p) +(3q−2p) −(q+2) = (1)
Vì ba vecto lấy tùy ý , , nên đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi:
{3+p=0;3q−2p=0;q+2=0 p=−3;q=−2⇒
Như vậy ta có: =−3 −2 nên ba vecto , v→, đồng phẳng
Bài 3.9 trang 103 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Trong không gian Oxyz cho một vecto tùy ý khác vecto Gọi α,β,γ là ba góc tạo bởi ba vecto đơn vị , , trên ba trục Ox, Oy, Oz và vecto Chứng minh rằng: cos2α+cos2β+cos2γ=1
Hướng dẫn làm bài:
Trang 6
Bài 3.10 trang 103 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Cho hình tứ diện ABCD
a) Chứng minh hệ thức:
+ + =0
b) Từ hệ thức trên hãy suy ra định lí: “Nếu một hình tứ diện có hai cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối diện thứ ba cũng vuông góc với nhau.”
Hướng dẫn làm bài:
a) Ta có
= ( − )= − (1)
= ( − )= − (2)
= ( − )= − (3)
Lấy (1) + (2) + (3) ta có hệ thức cần chứng minh là:
+ + =0
b) Từ hệ thức trên ta suy ra định lí: “Nếu tứ diện ABCD có AB CD,AC DB, nghĩa⊥ ⊥
là =0 và =0 thì = 0 và do đó AD BC.”⊥
Trang 7Xem thêm các bài tiếp theo tại: