Bài giảng số 3: Đường thắng song song với mặt phẳng song song trong không gian

Biên soạn: ThS. a) Chứng minh rằng IJ luôn song song với một mặt phẳng cố định.. Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS.  Dạng 2: Tìm giao [r]

Trang 1

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

Bài giảng số 3: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

 Định lý 1: Nếu đường thẳng a không nằm trong mp P  và song song với một đường thẳng nào đó trong mp P  thì a song song với mp P 

Tức là, với a P thì nếu a d  P a P

 Định lý 2: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng  P thì mọi mặt phẳng  Q chứa a mà cắt

 P thì sẽ cắt theo một giao tuyến song song với a

Tức là, nếu  

   









a d

 Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng

 Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến (nếu có) của chúng song song với đường thẳng đó

Tức là:

   

 

P a

Q a











a d

a

d

P

a

d Q

P

Q

a d

Trang 2

 Định lý 3: Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì qua a có một và chỉ một mặt phẳng song song với b

B CÁC VÍ DỤ MẪU

 Dạng 1: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Để chứng minh đường thẳng  d song song với mặt phẳng  P ta chứng minh  d không nằm trong

 P và song song với một đường thẳng  a chứa trong  P

Chú ý: Nếu  a không có sẵn thì ta chọn một mặt phẳng  Q chứa  d và nhận  a làm giao tuyến của  P và  Q

Ví dụ 1: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng

a) Gọi O và O lần lượt là tâm của ABCD và ABEF Chứng minh OO song song với các mặt phẳng ADF và BCE

b) M , N theo thứ tự là trọng tâm của ABD và ABF Chứng minh MN song song với

CDEF

Giải:

a) Trong BDF có OO là đường trung bình nên

OODF ADF OOADF

Trong ACE có OO là đường trung bình nên

OOCE BCE OOBCE

b) Gọi I là trung điểm của AB, ta có:

1

3

IM IN

ID  IE  MNDECDEFMNCDEF

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD Gọi G và 1 G theo thứ tự là trọng 2

tâm ABD và ACD Chứng minh G G song song với các mặt 1 2

phẳng ABC và BCD

Giải

E

M I

O' F

A

D

C O

B N

I

D

A

G G

2 1

N M

K

Trang 3

C

A

I

M K

J Q

F

P

H

Cách 1: Gọi M , N , I , K theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, CD, BD

Trong ABD có: 1 2

3

AG

AK  và

1 2 3

DG

DM 

Trong ACD có: 2 2

3

AG

AI  và

2 2 3

DG

DN 

Từ đó,ta lần lượt có:

3

AG AG

AK  AI  G G1 2KIBCDG G1 2BCD

3

DM  DN  G G1 2MN ABCG G1 2ABC

Cách 2: Gọi E là trung điểm của AD

Trong ABD có: 1 2

3

BG

BE 

Trong ACD có: 2 2

3

CG

CE 

Từ đó ta có: 1 2 2

3

BG CG

BE  CE  G G1 2BC

Vì BC thuộc mặt phẳng ABC và BCD nên G G1 2BCD và

1 2

G G  ABC

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD Gọi I , J là hai điểm di động lần lượt trên các cạnh AD , BC sao cho luôn có IA JB

ID  JC

a) Chứng minh rằng IJ luôn song song với một mặt phẳng cố định

b) Tìm tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k cho trước (tức điểm M thỏa mãn IMk MJ.

)

Giải:

a) Dựng JH AB, HAB

Ta có: HA JB IA

HC  JC  ID HI CD

Gọi   là mặt phẳng chứa AB và song song với CD, suy

ra   là mặt phẳng cố định và HIJ   

b) Giả sử HIJ cắt BD tại K, dễ thấy HIKJ là hình bình

hành Qua M kẻ PQ song song với AB

D B

C

A

E

G

2 1

Trang 4

PHI và QJK Ta có: APBQ E và EMAB F

Ta có: ED PI MI k

EC  PH  MJ  E là điểm chia CD theo tỉ số k

k

FB  MQ  MJ  F là điểm chia AB theo tỉ số k

Vậy tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k là đoạn EF với E F lần lượt là điểm chia , CD và AB

theo tỉ số k

 Dạng 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, thiết diện song song với một đường thẳng cho trước

Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD , đáy ABCD là hình thang có đáy lớn BC2a , ADa , ABb Mặt bên SAD là tam giác đều   là mặt phẳng qua điểm M trên cạnh AB và song song với SA và BC ,

  cắt CD , SC , SB lần lượt tại N , P , Q

a) Chứng minh MNPQ là hình thang cân

b) Tính diện tích thiết diện theo a , b và x AM0xb Tính giá trị lớn nhất của diện tích

Giải:

a) Ta có:

 

SA

SA SAB

MQ SAB

















MQ SA

 

BC

PQ SBC

MN ABCD















SA  BA  BS CD CS  SD

SA SD



Vậy thiết diện MNPQ là hình thang cân

b) Giả sử AB cắt CD tại I , ta có: 1

2

AD BC



AD

 là đường trung bình của IBC

Do đó IA ABb và

2

MN IM IA AM b x

BC IB IA AB b



a b x MN

b



Trong SBC có: PQ SQ AM x

BC  SB  AB b

2ax PQ

b

Trong SAB có: MQ BM b x



MQ

b



Xét hình thang cân MNPQ , hạ đường cao QH , ta có:

S

C

N D

I

A M B

N

Trang 5

MQ

b



2

MNPQ

a

b

Ta biến đổi:

2

MNPQ

Vậy  max 2

3

MNPQ

a

3

b

3

b x

 

Ví dụ 5: Cho hình chóp SABC Gọi K và N lần lượt là trung điểm của SA và BC , M là điểm nằm giữa S và C

a) Chứng minh rằng mặt phẳng đi qua K , song song với AB và SC thì đi qua điểm N

b) Xác định thiết diện của hình chóp SABC khi cắt bởi mặt phẳng KMN Chứng tỏ rằng KN chia thiết diện thành hai phần có diện tích bằng nhau

Giải:

a) Gọi  P là mặt phẳng qua K, song song với AB và SC, ta có:

+ Mặt phẳng  Q chứa AB và song song với SC

+ Mặt phẳng  R chứa SC và song song với AB

Khi đó, ba mặt phẳng  P ,  Q ,  R song song với nhau sẽ chắn

trên hai cát tuyến BC và SA các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ, cụ thể:

BN AK

CN SK

BN CN

  N là trung điểm của BC

b) Ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu M là trung điểm của SC thì thiết diện là hình

bình hành MNPK với P là trung điểm của AB Và hiển nhiên khi

đó KN chia thiết diện thành hai phần có diện tích bằng nhau

Trường hợp 2: Nếu M không trùng với trung điểm của SC

thì ta thực hiện:

+ Nối KM cắt AC tại D

+ Nối ND cắt AB tại P

Khi đó, tứ giác MNPK là thiết diện cần dựng Gọi

 O KNMP, nhận xét rằng: d M , P d S P ,  ,

 

d P P d A P , d S P ,  d A P ,  

Suy ra: d P P ,  d M , P OPOM

C

B

S

A

M K

C

B

S

A K

N

D M

O

P

Trang 6

Do đó KN chia thiết diện thành hai phần có diện tích bằng nhau

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho hình chóp SABCD có M , N lần lượt nằm trên các cạnh SA, SC sao cho SA3SM , 3

SC  SN Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với mặt phẳng ABCD

Bài 2: Cho tam giác SAB và hình bình hành ABCD không cùng nằm trong một mặt phẳng Gọi G là trọng tâm tam giác SAB và N điểm nằm trên AC sao cho AC3AN Chứng minh rằng GN song song với mặt phẳng SCD

Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành Gọi M N P lần lượt là trung điểm các cạnh , , , ,

AB CD SA Gọi G G lần lượt là trọng tâm các tam giác 1, 2 ABC, SBC Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng MN song song với hai mặt phẳng SBC và SAD

b) Đường thẳng SB SC song song với mặt phẳng , MNP

c) Đường thẳng G G song song với mặt phẳng 1 2 SAD

Bài 4: Cho tứ diện ABCD có M nằm trên cạnh AB Gọi  P là mặt phẳng qua M và song song với hai đường thẳng AC và BD

a) Tìm giao tuyến của  P với các mặt của tứ diện

b) Thiết diện thu được là hình gì?

Bài 5: Cho tứ diện ABCD Lấy M là điểm thuộc miền trong tam giác ABC Gọi  P là mặt phẳng qua

M và song song với các đường thẳng AB và CD

a) Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng  P và tứ diện

b) Thiết diện đó là hình gì?

Bài 6: Cho hình chóp SABCD có O là giao của AC và BD Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng  P đi qua O, song song với AB và SC Thiết diện đó là hình gì?

Trang 7

Bài 7: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng

a) Gọi O và O lần lượt là tâm của ABCD và ABEF Chứng minh rằng OO song song với các mặt phẳng ADF và BCE

b) Gọi M N lần lượt là trọng tâm hai tam giác , ABD và ABE Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng CEF

Bài 8: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang AB CD AB , CD Gọi I J lần lượt là , trung điểm AD BC và , G là trọng tâm SAB

a) Tìm giao tuyến của SAB và IJG

b) Xác định thiết diện của hình chóp với IJG Thiết diện là hình gì ? Tìm điều kiện đối với AB CD để , thiết diện là hình bình hành

Bài 9: Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm của ABD, điểm I nằm trên cạnh BC sao cho BI 2IC Chứng minh rằng IG song song với mặt phẳng ACD

Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành Gọi M là trung điểm của SC  P là mặt phẳng qua AM và song song với BD

a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng  P

b) Gọi E F lần lượt là giao điểm của ,  P với các cạnh SB và SD Hãy tìm tỉ số diện tích của SME

với SBC và tỉ số diện tích của SMF với SCD

c) Gọi K là giao điểm của ME và CB, J là giao điểm của MF và CD Hãy chứng minh ba điểm , ,

K A J nằm trên một đường thẳng song song với EF và tìm tỉ số EF

KJ

Định dạng
Số trang	7
Dung lượng	503,75 KB