phương pháp số best wish for my students

2) Nếu bậc của hàm dạng miêu tả hình dáng của phần tử mà nhỏ hơn bậc của trường biến số thì phần tử được gọi là: “ Bán đẳng tham số ”. 3) Nếu bậc của hàm dạng miêu tả hình dáng của phần [r]

PHƯƠNG PHÁP SỐ

(Computer Method)

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

(Finite Element Method)

3.1 Các khái niệm cơ bản

• Theo toán học, phương pháp PTHH là phương gần

đúng (PP số) để tìm nghiệm của một hàm số trong

miền xác định (V)

• PP PTHH được áp dụng để giải các bài toán kết cấu

trong đó: hệ kết cấu được chia ra thành nhiều phần tử

con (rời rạc hóa kết cấu) chịu tác dụng của các tải

trọng và có điều kiện biên khác nhau

• Trong hệ kết cấu, các phần tử con kết nối với nhau tại

các điểm liên kết (gọi là nút)

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Ưu điểm của PP PTHH

1) Có thể giải được bài toán kết cấu có hình dáng, chịu

tác dụng của tải trọng và điều kiện biên bất kỳ

2) Có kết quả hội tụ cao so với phương pháp chính xác

bằng cách sử dụng lưới chia phần tử hợp lý

3) Giữ nguyên được bản chất vật lý của bài toán (Khác

so với các PP khác, làm thay đổi bản chất vật lý của

hệ kết cấu)

3

Nhược điểm của PP PTHH

1) Đòi hỏi kinh nghiệm và kỹ năng tốt của người

thực hiện khi thực hiện các phép chia lưới phần

tử

2) Kết quả bài toán xuất ra từ chương trình PTHH

cần được biên dịch và trình bày bởi các chương

trình khác

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Lịch sử phát triển PP PTHH

• 1941, Hrennikoff là người đầu tiên được

xem là đặt nền móng cho PP PTHH khi

nghiên cứu ứng suất trong tấm bằng cách

mô phỏng sự làm việc của tấm bằng hệ

thanh dàn chịu kéo nén.

5

• 1956, M J Turner, R W Clough, H C

Martin và J L Topp làm việc tại công ty

Boeing, đã mô phỏng máy bay bằng phần

tử ba cạnh (Giới thiệu lần đầu tiên phương

pháp độ cứng trực tiếp)

Lịch sử phát triển PP PTHH (tiếp)

• 1960, R W Clough, người đầu tiên gọi tên của phương

pháp là PP Phần tử hữu hạn khi giới thiệu nghiên cứu phân

triển nhanh chóng và được áp dụng cho

hầu hết các lĩnh vực trong kỹ thuật, môi

trường, dầu khí…

- PP Galerkin

- PP trị riêng

- Hình dáng của phần tử

- Số nút của phần tử

- Số bậc tự

do của nút

- Hàm nội suy

- Trị Gausian

- Newton

- Kết nối các phần tử

- Các ràng buộc liên kết

- Giải nghiệm

- Lập trình

và chương trình tính

(1) Dạng

bài toán

(2) PP xây dựng bài toán

(3) Lựa chọn phần tử

(4) PP lấy tích phân số

(5) Kỹ năng thực hiện

3.2.2 Số nút của phần tử: Nút là điểm thuộc phần tử có

Hình 3.2 Nút của phần tử

3.2.3 Tọa độ và bậc tự do của phần tử: Bậc tự do của

phần tử là tổng số ẩn (độc lập) cần thiết phải xác định

để tính các thông số khác của bài toán

Các ẩn này được biểu diễn thông qua các biến số của

nút phần tử Kiểu và số biến của nút phụ thuộc vào các

đặc điểm sau của bài toán

• Dạng bài toán

• Không gian của bài toán (1D, 2D hoặc 3D)

• Phương pháp xây dựng bài toán

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Nút A

Hình 3.3 Hệ kết cấu khung

Biến dạng tại nút A

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Phương pháp xây dựng bài toán PTHH: gồm 4

phương pháp cơ bản sau:

15

Phương pháp Nguyên lý

áp dụng

Đại lượng xác định

Chuyển vị, góc xoay và moment, lực

PP Liên hợp

3.3 Hàm dạng: (thường được xem xét dưới dạng ma

trận của các hàm dạng) chứa các tọa tộ của các nút phần

tử và tọa độ của điểm bất kỳ đang xét Hàm dạng được

sử dụng với các chức năng sau:

• Biểu diễn hình dáng, miền xác định của phần tử

• Sự biến thiên (bậc, mũ) của trường biến số trên

miền xác định của phần tử

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Ví dụ: các biến (𝑥, 𝑦) của các ẩn chuyển vị (𝑢, 𝑣, 𝑤)

tại nút của phần tử

Gọi 𝑚 là mũ (bậc) của hàm dạng biểu diễn hình

được gọi là: “Phần tử đẳng tham số”

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

2) Nếu bậc của hàm dạng miêu tả hình dáng của phần

tử mà nhỏ hơn bậc của trường biến số thì phần tử

được gọi là: “Bán đẳng tham số”

3) Nếu bậc của hàm dạng miêu tả hình dáng của phần

tử mà lớn hơn bậc của trường biến số thì phần tử

được gọi là: “Siêu đẳng tham số”

Hoặc

Ví dụ 2: Cho phần tử tấm có các tham số: 𝜃𝑥, 𝜃𝑦, 𝑤: là

các tham số độc lập Khi đó, tọa độ các nút phần tử được

xác định qua các hàm dạng như sau:

𝑥 𝑟, 𝑠 =

𝑎=1

𝑚

𝑁𝑥𝑎 𝑟, 𝑠 𝑥𝑎Trường biến số (ẩn) của phần tử được biểu diễn bởi hàm

Phần tử đẳng tham số: Trong trường hợp khi xem

phần tử có dạng tổng quát bất kỳ, khi thực hiện bài

toán PTHH sẽ gặpmột số khó khăn sau:

(1) Biểu thức của hàm dạng và nguyên hàm của nó trên

miền xác định của phần tử là khó và phức tạp

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

2) Tích phân trên miền xác định của phần tử có thể

không liên tục và không có thuật toán chung để

xác định

3) Nếu biên của phần tử là các đường cong thì tích

phân trên miền xác định của phần tử càng trở

nên phức tạp hơn

4) Các điều kiện biên khó xác định và gán cho phần tử

21

Các khó khăn vừa nêu trên có thể giải quyết được khi ta

lựa chọn miền xác định của phần tử với các đặc điểm

sau:

(1) Miền xác định của phần tử có thể được quy chiếu về

một miền gốc đơn giản nào đó bằng các hàm dạng

và lựa chọn số nút trên biên phần tử (phép biến đổi

này được gọi là phép chiếu);

(2) Đối với bài toán hai chiều, miền gốc thường sử dụng

là các miền vuông hai trục, đối với bài toán ba chiều

thường sử dụng là khối lập phương ba trục, các trục

vuông góc với nhau

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Hình 3.5 giới thiệu miền gốc và miền thật của phần tử,

trong đó:

• Hệ tọa độ Cartersian trong phần tử 2D là (r,s)

• Hệ tọa độ Cartersian trong phần tử 3D là (r,s,t)

23

Miền thật của phần tử Miền quy chiếu (phần tử gốc)

Phép biến đổi đẳng hướng của tọa độ và trường biến số

trong PP PTHH: Cho đa thức có dạng sau:

Ưu điểm của phép biến đổi đẳng hướng:

• Tương thích nhiều dạng bài toán, có thể quy chiếu

Ví dụ: Xét phần tử tứ giác như sau:

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Phần tử thực Phần tử mẫu

Tọa độ của phần tử (hình dạng) được xác định như sau:

𝑥 = 𝑁1𝑥1+ 𝑁2𝑥2+ 𝑁3𝑥3 + 𝑁4𝑥4

𝑦 = 𝑁1𝑦1 + 𝑁2𝑦2+ 𝑁3𝑦3+ 𝑁4𝑦4Hoặc viết dưới dạng ma trận:

Để thoả mãn điều kiện phần tử là đẳng tham số, các

chuyển vị cũng có thể khai triển qua cùng các hàm

dạng trên như sau :

𝑢 = 𝑁1𝑢1 + 𝑁2𝑢2 + 𝑁3𝑢3 + 𝑁4𝑢4

𝑣 = 𝑁1𝑣1 + 𝑁2𝑣2 + 𝑁3𝑣3 + 𝑁4𝑣4

31

Như vậy phần tử tứ giác bất kỳ sẽ được tính thông

qua phần tử tứ giác vuông thông qua phép biển đổi

đẳng tham số (tọa độ) với các hàm dạng tại các nút

Đạo hàm trong phép biến đổi đẳng tham số: Khi tính các

giá trị ứng suất, biến dạng, đạo hàm của các hàm dạng (theo

biến 𝑠, 𝑡) được xác định như sau:

: được gọi là ma trận Jacobien

Công thức (3.34) có thể được triển khai dưới dạng

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

(3.36)

1) Định thức Jacobien 𝐉 là hàm số của tọa độ trong

phần mẫu và là đại lượng chỉ ra sự khác nhau

của diện tích phần tử thực và phần mẫu

2) Đối với bài toán 2D, 𝐉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 khi phần tử có

dạng hình chữ nhật

3) Khi 𝐉 < 0 xảy ra khi thứ tự các nút trong phần

tử được đặt không theo quy tắc đúng

35

3.4 Tính toán PP PTHH theo mô hình chuyển vị:

1) Chuyển vị được lấy xấp xỉ bằng một hàm đơn giản

(đa thức) hay hàm xấp xỉ hoặc chuyển vị;

2) Khi đó, hệ kết cấu được chia thành các phần tử

con có hình dáng thích hợp Các phần tử được liên

kết với nhau tại nút Số nút trên phần tử sẽ được

lấy phụ thuộc vào hàm xấp xỉ mô tả chuyển vị của

nút

3) Tập hợp các hàm chuyển vị tạo nên trường chuyển

vị xác định trạng thái chuyển vị của phần tử

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Trình tự phân tích bài toán theo PP PTHH: gồm các

bước cơ bản sau:

• Rời rạc hóa kết cấu thành các phần tử đơn giản

• Chọn hàm xấp xỉ

• Thiết lập ma trận độ cứng của phần tử

• Kết nối các phần tử xây dựng ma trận độ cứng tổng thể

• Thiết lập Phương trình tổng quát

• Gán điều kiện biên

• Giải phương trình tổng quát đã rút gọn

• Tìm các thông số của bài toán

37

Hàm chuyển vị : thường được chọn là các đa

thức với các yêu cầu sau:

1) Các đa thức phải thỏa mãn điều kiện hội tụ;

2) Các đa thức được chọn sao cho không mất

3.5 Rời rạc hóa kết cấu: Xét hệ kết cấu như sau:

39

Kết cấu ở trạng thái ban đầu

Phần tử điển hình

Rời rạc

Hình 3.1: Rời rạc hóa kết cấu

Source: O.C Zienkiewicz, R.L Taylor & J Z ZHU: “FEM: its Basic and fundamentals

Trong hệ kết cấu đàn hồi tuyến tính, mối liên hệ

giữa lực tác động và chuyển vị của phần tử thỏa

mãn điều kiện sau:

𝑞1 = 𝐾1𝑢1Trong đó: 𝐾1: được gọi là độ cứng của phần tử

Trong trường hợp tổng quát, (3.3) được viết như

sau:

𝑞𝑒 = 𝐾𝑒𝑢𝑒

41

(3.3)

3.7 Các bước thực hiện bài toán theo PP PTHH:

được tiến hành theo các bước sau

nút tương ứng của phần tử trên ma trận độ cứng

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

tương ứng của phần tử trên ma trận độ cứng, ta có:

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Vector lực tác dụng tại các nút của phần tử

Mỗi số hạng trong ma trận của phần tử (ô tô mầu đen)

Bước 2: Xác định ma trận độ cứng của cả hệ kết cấu

(kết nối các phần tử), dựa vào các nguyên lý sau:

dựa vào các điều kiện sau:

• Điều kiện tương thích về chuyển vị

• Điều kiện cân bằng về lực

Bước 3: Xét hệ kết cấu trong Hình 3.1, ta có:

Bước 4: Giải hệ phương trình, tìm các nghiệm liên

quan của bài toán

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Các lưu ý:

• Ma trận độ cứng cuối cùng của hệ kết cấu vẫn

là ma trận vuông

• Tải trọng, ngoại lực và chuyển vị là các giá trị

được xác định tại nút của phần tử