Nghiên cứu sự chuyển pha trong các mô hình Lattice bằng phương pháp số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --- Nguyễn Thị Thuần NGHIÊN CỨU SỰ CHUYỂN PHA TRONG CÁC MÔ HÌNH LATTICE BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

Nguyễn Thị Thuần

NGHIÊN CỨU SỰ CHUYỂN PHA TRONG CÁC

MÔ HÌNH LATTICE BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

Nguyễn Thị Thuần

NGHIÊN CỨU SỰ CHUYỂN PHA TRONG CÁC

MÔ HÌNH LATTICE BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ

Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và vật lí toán

Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HOÀNG OANH

Hà Nội – 2015

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, em xin được gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo TS Nguyễn Hoàng Oanh Cảm ơn thầy đã truyền đạt cho em những kiến thức chuyên ngành hết sức cần thiết, đã chỉ bảo em nhiệt tình trong quá trình học tập môn học và quá trình thực hiện luận văn này

Em xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban chủ nhiệm khoa Vật lý, các thầy cô trong khoa Vật lý, các thầy cô trong tổ Vật lý trường Đại học Khoa học tự nhiên đã quan tâm tạo điều kiện giúp đỡ em trong suốt thời gian làm luận văn cũng như trong suốt quá trình học tập, rèn luyện tại trường.

Em xin được gửi lời cảm ơn đến các anh chị nghiên cứu sinh, các bạn học viên cao học khóa 2011-2013 đang học tập và nghiên cứu tại bộ môn Vật lý lý thuyết và Vật lý toán- Khoa Vật lý - Trường ĐH KHTN - ĐHQGHN đã nhiệt tình giúp đỡ và hướng dẫn em trong quá trình học tập

Công trình này được hỗ trợ một phần bởi đề tài QG.15.09 "Nghiên cứu một

số mô hình Vật lý thống kê bằng phương pháp Monte - Carlo trên hệ thống tính toán không đồng nhất sử dụng GPGPU hiệu năng cao"

Cuối cùng em xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn quan tâm động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện luận văn này

Em xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, ngày 4 tháng 01 năm 2016 Học viên

Nguyễn Thị Thuần

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 7 CHƯƠNG I GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG PHÁP MONTE CARLO 10 1.1.Giới thiệu 10 1.2.Tích phân Monte Carlo Error! Bookmark not defined 1.4.Số ngẫu nhiên Error! Bookmark not defined 1.5 Lấy mẫu điển hình Error! Bookmark not defined 1.6 Chuỗi Markov Error! Bookmark not defined CHƯƠNG II NGHIÊN CỨU SỰ CHUYỂN PHA CỦA MÔ HÌNH ISING

Error! Bookmark not defined

2.1 Xây dựng thuật toán và chương trình Error! Bookmark not defined 2.2 Chạy chương trình Error! Bookmark not defined CHƯƠNG III NGHIÊN CỨU SỰ CHUYỂN PHA CỦA MÔ HÌNH XY Error! Bookmark not defined

3.1.Thuật toán Error! Bookmark not defined 3.2 Đưa hệ về cân bằng nhiệt Error! Bookmark not defined 3.3 Chuyển pha KT định tính Error! Bookmark not defined KẾT LUẬN Error! Bookmark not defined TÀI LIỆU THAM KHẢO Error! Bookmark not defined PHỤ LỤC Error! Bookmark not defined

DANH MỤC BẢNG – HÌNH Danh mục bảng

Bảng 2.1 Sự phụ thuộc của độ từ hóa theo nhiệt độ βError! Bookmark not defined.

Danh mục hình

Hình 1.1 Minh họa thuật toán loại trừ Error! Bookmark not defined Hình 2.1 Quá trình tiến tới cân bằng Error! Bookmark not defined Hình 2.2 Độ từ hóa với 12000 lần nâng cấp cấu hình với các giá trị Beta Error!

Bookmark not defined

Hình 2.3.a Tìm kiếm điểm chuyển pha Error! Bookmark not defined Hình 2.3.b Tìm kiếm điểm chuyển pha (chi tiết hơn)Error! Bookmark not defined

Hình 2.4 Mô phỏng tại điểm chuyển pha theo lý thuyết Onsager[10] Error!

Bookmark not defined

Hình 2.5.a Sự tự tương quan của số liệu tại Beta = 1,5 (Bin Size ≡ n) Error!

Bookmark not defined

Hình 2.5.b Sự tự tương quan của số liệu tại Beta = 0,9 (Bin Size ≡ n) Error!

Bookmark not defined

Hình 2.5 Sự phụ thuộc của độ từ hóa theo nhiệt độ Error! Bookmark not defined

Hình 2.6 Kết quả thực nghiệm về sự cố hữu (persistence) của mô hình Ising[14]

Error! Bookmark not defined Hình 2.7 Kết quả mô phỏng sự cố hữu (persistence) của mô hình Ising Error!

Bookmark not defined

Hình 3.1 Độ lớn của độ từ hóa của lưới L = 32, T = 0.10Error! Bookmark not

defined

Hình 3.2 Năng lượng của lưới L = 32, T = 0.10 Error! Bookmark not defined Hình 3.3 Góc pha spin của lưới L = 32, T = 0.10 Error! Bookmark not defined Hình 3.4 Bình phương độ từ hóa của lưới L = 32, T = 0.10Error! Bookmark not

defined

Hình 3.5 Năng lượng, L = 32, T = 0.01 Error! Bookmark not defined Hình 3.6 Độ lớn của độ từ hóa L = 32, T = 0.01 Error! Bookmark not defined Hình 3.7 Năng lượng trung bình trên từng spin L = 32, T = 0.02 Error!

Bookmark not defined

Hình 3.8 Cấu hình spin giả bền L = 32, T = 0.10 Error! Bookmark not defined Hình 3.9 Cấu hình spin L = 32, T = 0.01 Error! Bookmark not defined Hình 3.10 Cấu hình spin L = 32, T = 0.50 Error! Bookmark not defined Hình 3.11 Cấu hình spin L = 32, T = 0.70 Error! Bookmark not defined Hình 3.12 Cấu hình spin L = 32, T = 0.80 Error! Bookmark not defined Hình 3.14 Cấu hình spin L = 32, T = 1.00 Error! Bookmark not defined Hình 3.15 Cấu hình spin L = 32, T = 2.50 Error! Bookmark not defined

Hình 3.16 Độ lớn của độ từ hóa trên mỗi spin trong vùng nhiệt độ rất thấp với biểu

thức xấp xỉ lý thuyết sóng pin L = 32 Error! Bookmark not defined Hình 3.17 Độ cảm từ của vài hệ với kích thước khác nhau.Error! Bookmark not

defined

Hình 3.18 Năng lượng của hệ trên mỗi spin L = 32 Error! Bookmark not defined Hình 3.19 Nhiệt dung riêng Hệ L = 32 Error! Bookmark not defined

Hình 3.20 Bình phương của độ từ hóa tham chiếu với biểu thức xấp xỉ lý thuyết

sóng spin L = 32 Error! Bookmark not defined Hình 3.21 Error! Bookmark not defined

Hình 3.22 Bình phương góc pha của spin được đo tham chiếu với tổng độ từ hóa

tức thời L = 32 Error! Bookmark not defined

Hình 3.23 Xuất xoắn cho một vài hệ Các phép đo liên tiếp được sử dụng, sai số

chưa được ướng lượng chính đáng Error! Bookmark not defined hình 3.24 Xuất xoắn cho hệ kích thước tuyến tính L = 32.Error! Bookmark not

defined

MỞ ĐẦU

Việc nghiên cứu về pha vật chất và sự chuyển pha đã xuất hiện vào những năm 50 của thế kỷ trước Từ đó đến nay các hiện tượng chuyển pha luôn được các nhà lý thuyết

và thực nghiệm quan tâm Chuyển pha liên quan đến nhiều lĩnh vực vật lý khác nhau, từ vật lý thống kê, vật lý hạt nhân, hạt cơ bản, đến Vũ trụ học bằng nhiều phương pháp khác nhau, gần đây là phương pháp số dựa trên cơ sở của máy tính hiện đại, cụ thể là phương pháp Monte Carlo dựa trên việc sử dụng các giả số ngẫu nhiên Phương pháp này được sử dụng rộng rãi có vai trò quan trọng trong vật lý tính toán, như tính toán trong sắc động lực học lượng tử, mô phỏng spin có tương tác mạnh,…Chính vì vậy, luận văn này chúng tôi

nghiên cứu Sự chuyển pha trong các mô hình lattice bằng phương pháp số nhằm tìm hiểu

việc sử dụng máy tính để nghiên cứu một số mô hình Vật lý thống kê như mô hình I sing và

mô hình XY

Mục đích của luận văn : tính toán điểm chuyển pha trật tự - hỗn loạn khi nhiệt độ

của hệ spin tăng dần bằng việc sử dụng các chương trình để mô phỏng hệ spin Ising 2D và

xác định nhiệt độ chuyển pha Kosterlitz-Thouless (KT) trong mô hình XY

Cấu trúc Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương và kết luận

Chương 1:Giới thiệu về phương pháp Monte Carlo

Các phương pháp Monte Carlo sử dụng việc lấy mẫu thống kê thông qua các bộ số ngẫu nhiên để tính toán nghiệm xấp xỉ của một lớp rộng các bài toán Các phương pháp Monte Carlo là các phương pháp sử dụng các giải thuật đơn giản, tận dụng sức mạnh của máy tính hiện đại để giải các bài toán phức tạp khó hoặc không thể giải được bằng các phương pháp giải tích.Phương pháp Monte Carlo có thể dễ dàng mở rộng cho tích phân nhiều lớp Giá trị của tích phân nhiều lớp được ước lượng bằng tích của 2 số hạng: i/ Giá trị trung bình của hàm số trong vùng cần tính; ii/ Kích thước của vùng cần tính tích phân (độ dài đoạn thẳng trong tích phân 1 lớp, diện tích trong tích phân 2 lớp, thể tích trong tích phân

3 lớp và tương tự cho tích phân nhiều lớp hơn)

Chương 2: Nghiên cứu sự chuyển pha của mô hình Ising

Khi nghiên cứu một màng mỏng từ tính của một chất sắt từ có tính bất đẳng hướng

đơn trục mạnh, ta có thể mô tả nó bằng mô hình Ising 2 chiều với N spin Si tương tác với nhau và có tổng thống kê nhận giá trị











































} 1 S {

H }

1 S

x y

, x

y x D

2 sin I

x x

e S

S S 1 2

1 exp

Bằng phương pháp giải tíchOnsager[10] đã tìm được điểm chuyển pha loại hai giữa mất trật tự - trật tự tại c ln1 20 88137

Thuật toán

i, Khởi tạo chương trình;

- Khởi tạo chuỗi số ngẫu nhiên

- Khởi tạo cấu hình hay đọc cấu hình đã được lưu trữ

- Khởi tạo các quy luật, điều kiện biên,

ii, Nâng cấp cấu hình theo một thuật toán nào đó ví dụ như Heat bath;

iii, Tính toán đại lượng Vật lý cần đo đạc;

iv, Quay lại bước ii cho đến khi lấy đủ thống kê

Để kiểm chứng kết quả với tính toán giải tích của Onsager ta cần phải tính độ từ hóa:





j S j V

1

Thực hiện các tính toán như mô tả ở trên với các giá trị β khác nhau từ 0.5 đến 1,5

với 12000 lần nâng cấp cấu hình, chúng tôi tìm được điểm chuyển pha là 0.88 phù hợp với kết quả của Onsager

Chương 3:Nghiên cứu sự chuyển pha của mô hình XY

Mô hình XY sử dụngThuật toán Metropolis ngẫu nhiên đảm bảo quét đầy đủ các cấu hình cân bằng của hệ theo phân bố Boltzmann và thuật toán Heatbath với cách chọn spin ngẫu nhiên

Đo đạc trên một hệ Vật lý đòi hỏi hệ phải ở trạng thái cân bằng Hệ ở đây là mô hình

XY hai chiều, thông qua các phương pháp Monte Carlo tạo cấu hình thuộc chuỗi Markov

từ cấu hình theo phân bố bất kỳ về trạng thái cân bằng tuân theo phân bố Boltzmann cũng

chính là phân bố mà chuỗi Markov hội tụ về sau một khoảng thời gian nào đó.Chúng tôi thực hiện làm nóng đột ngột để đưa hệ về cân bằng trong mọi phép đo

Chúng tôi xác định nhiệt độ chuyển pha Kosterlitz-Thouless trong mô hình XY Chuyển pha KT trong mô hình XY hai chiều là giữa hai pha nhiệt Một pha ở nhiệt độ thấp không có các xoáy (dương hoặc âm) hoặc có thì các xoáy này ko tồn tại tự do mà đi theo cặp xoáy âm - xoáy dương và liên kết chặt chẽ.Một pha khác ở nhiệt độ cao hơn nhiệt độ nào đó TKT - nhiệt chuyển pha KT, trong pha này các xoáy âm dương xuất hiện ngày càng nhiều theo sự tăng của nhiệt độ Nhiệt độ chuyển pha Kosterlitz-Thouless xác định tại T = 0.9 phù hợp với công bố TKT=0.89294

Phần kết luận dành cho việc tổng hợp những kết quả thu được và thảo luận

CHƯƠNG I GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG PHÁP

MONTE CARLO

1.1.Giới thiệu

Các phương pháp Monte Carlo sử dụng việc lấy mẫu thống kê thông qua các bộ số ngẫu nhiên để tính toán nghiệm xấp xỉ của một lớp rộng các bài toán Các phương pháp Monte Carlo là các phương pháp sử dụng các giải thuật đơn giản, tận dụng sức mạnh của máy tính hiện đại để giải các bài toán phức tạp khó hoặc không thể giải được bằng các phương pháp giải tích Phương pháp này được đặt tên là Monte Carlo, tên một sòng bạc nổi tiếng ở Monaco, do sự tương đồng về việc sử dụng số ngẫu nhiên trong đánh bạc và nghiên cứu khoa học Bàn quay rô – lét chính là một máy tạo số ngẫu nhiên đơn giản Theo nghĩa rộng nhất, bất cứ phương pháp nào sử dụng số ngẫu nhiên đều có thể được quy vào lớp phương pháp Monte Carlo

Quá trình lấy mẫu thống kê có thể tiến hành trên máy tính bằng việc lặp lại một số lượng rất lớn các bước đơn giản, song song với nhau Các thuật toán Monte Carlo cũng là phương pháp tính bằng số hiệu quả cho nhiều bài toán liên quan đến nhiều biến số mà không dễ dàng giải được bằng các phương pháp tất định khác, chẳng hạn bài toán tính tích phân nhiều lớp Hiệu quả của phương pháp này so với các phương pháp tất định khác tăng lên khi số chiều của bài toán tăng Phương pháp Monte Carlo cũng được ứng dụng trong nhiều bài toán tối ưu hóa như trong các ngành tài chính, bảo hiểm Thông thường phương pháp Monte Carlo được thực hiện với số giả ngẫu nhiên do không thể tạo ra số ngẫu nhiên thực sự trên máy tính mà chỉ có thể thu thập từ các quá trình ngẫu nhiên xảy

ra trong thực tế Các số giả ngẫu nhiên có tính tất định, được tạo ra từ các thuật toán có quy luật có thể lặp lại được khi sử dụng trong cùng điều kiện

Để tìm hiểu phương pháp này, trước tiên ta xét bài toán tính số π do nhà toán học Buffon

đưa ra vào thế kỉ XVIII Xét điểm M(x,y) trong đó hai tọa độ x,y được gieo một cách ngẫu nhiên trong khoảng 0<x<1 và 0<y<1 Điểm M nằm trong hình tròn có tâm tại gốc tọa độ O(0,0) khi và chỉ khi x2+y2<1 Diện tích hình tròn có bán kính R=1 là S = R2 =

2

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng việt

1 Nguyễn Quang Báu, Bùi Đằng Đoàn, Nguyễn Văn Hùng, (2004), Vật lý thống kê,

Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội

2 Nguyễn Xuân Hãn, (1998), Cơ học lượng tử, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà

Nội

3 Lê Văn Trực, Nguyễn Văn Thỏa, (2005), Phương pháp toán cho vật lý, Nhà xuất

bản Đại học Quốc Gia Hà Nội

Tiếng anh

4 A J Bray, A J Briant, and D K Jervis,(2000), Phys Rev Lett., 84:1503–1506

5 Barry M McCoy and Tai Tsun Wu, (1973), The Two-Dimensional Ising Model,

Harvard University Press

6 B Yurke et al,(1997), Experimental measurement of the persistence exponent of

the planar Ising model, Physical Eeview E 56(1) R40 –R42

7 David R Nelson and J M Kosterlitz,( 1977), Phys Rev Lett., 39:1201–1205

8 H Weber and P Minnhagen,( 1988), Phys Rev B, 37:5986–5989

9 Kerson_Huang,( 1987), Statistical_Mechanics (2 nd Edition ), John Wiley & Sons

10 Kurt Binder, Dieter W Heermann,( 2010), Monte Carlo Simulation in Statistical

Physics: An Introduction (Fifth Edition)

11 Lars Onsager, (1944), Crystal Statistics I A Two-Dimensional Model with an

Order-Disorder Transition, Phys Rev 65, 117

12 Martin Hasenbusch,(2005), J Phys A, 38(26):5869

13 M Hasenbusch and K Pinn,(1997), J Phys A, 30(1):63

14 Newman, Barkema,(1999), Monte Carlo methods in Statistical Physics, Oxford

University Press

15 N Metropolis, (1953), et al J Chem Phys., 21(6):1087–1092

16 Peter Olsson,(1995), Monte Carlo analysis of the two-dimensionalXY model II

Comparison with the Kosterlitz renormalization-groupequations, Phys Rev B 52,

4526 – 4535

17 R J Baxter,(1982), Exactly Solved Models in Statistical Mechanics, Academic

Press

18 S Chib and E Greenberg(1995),The American Statistician, 49(4):pp 327–335

19 S Teitel and C Jayaprakash,(1983), Phys Rev B, 27:598–601

20 Ulli Wolff,(1989), Phys Rev Lett., 62:361–364