Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]

PHƯƠNG PHÁP XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1 Phương pháp

Vì y' 0  tại vô hạn điểm nên ta chưa thể kết luận hàm số nghịch biến trên

Ta sẽ chứng minh hàm số luôn nghịch biến trên bằng định nghĩa

Với  x ,x1 2 , x1 x2, khi đó luôn tồn tại khoảng (a; b) chứa x ,x1 2

Do y' 0  tại hữu hạn điểm trên khoảng (a; b) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (a; b)

1 2

y(x ) y(x )

   hàm số nghịch biến trên

Chú ý:

 Khi xét tính đơn điệu của hàm số chứa hàm lượng giác chúng ta cần lưu ý là đạo hàm của hàm số có

thể triệt tiêu tại vô hạn điểm Khi đó để xét tính đơn điệu của hàm số trên TXĐ, ta sẽ chuyển về xét tính

đơn điệu trên một khoảng chứa hữu hạn điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu

 Đối với hàm đa thức nếu tất cả các hệ số không đồng thời bằng 0 thì nó chỉ triệt tiêu tại hữu hạn điểm

Ví dụ Chứng minh rằng hàm số : y cos 2x 2x 3    nghịch biến trên

Lời giải

Hàm số đã cho xác định trên

Ta có: y'   2sin 2x 2    2 1 sin2x   0,   x và y' 0  khi x k , k

4



     Vì y' 0  tại vô hạn điểm nên chưa thể kết luận hàm số nghịch biến trên .

Với  x ,x1 2 và x1 x2, khi đó luôn tồn tại khoảng  a; b chứa x ,x1 2 Do y' 0  tại hữu hạn điểm trên khoảng  a; b nên hàm số nghịch biến trên khoảng  a; b khi đó y x   1  y x2  hàm số nghịch biến trên .

2 Bài tập

Bài 1: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:

1 y 2sin x cos 2x   với x   0; 

2 y sin 2x 2cos x 2x    với x ;

2 2

   

Bài 2: Chứng minh rằng hàm số y sin 2x 2x 1    luôn nghịch biến trên

Bài 3: Chứng minh rằng hàm số y 3 sin x cos x 2x 1   luôn đồng biến trên

Bài 4: Tìm m để hàm số y 2x msin x 1    đồng biến trên

Bài 5: Tìm m để hàm số y 2cos 2x mx 3    đồng biến trên

Bài 6: Tìm tham số m để hàm số: y mx sin x 1sin 2x 1sin 3x

HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1:

1 Hàm số đã cho xác định trên đoạn 0; 

Ta có: y' 2cos x 1 2sin x     Ta cần tìm nghiệm của phương trình y' 0  trên khoảng  0; 

sin x 2







Dựa vào bảng biến thiên suy ra : hàm số đồng biến trên các khoảng 0;

6

  

5

;

2 6

   

 , nghịch biến trên

các khoảng ;

6 2

   

5

; 6

  

2 Hàm số đã cho xác định trên khoảng ;

2 2

   

y' 2cos 2x 2sin x 2     2 1 2sin x   2sin x 2 

y'   2sin x 2sin x 1 

Trên khoảng ;

2 2

   

2 2

2 sin x 2 sin x 1 0

     



x 0 x 6

 



 



Hàm số giảm trên các khoảng ; 0

2

  

   

  và tăng trên khoảng 0;6

  

Bài 2

Ta có: y' 2cos 2x 2 2(cos 2x 1) 0 x       

Và y' 0 x k , k

Vì y' 0  tại vô hạn điểm nên ta chưa thể kết luận hàm số nghịch biến trên

Ta sẽ chứng minh hàm số luôn nghịch biến trên bằng định nghĩa

Với  x ,x1 2 , x1 x2, khi đó luôn tồn tại khoảng (a; b) chứa x ,x1 2

Do y' 0  tại hữu hạn điểm trên khoảng (a; b) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (a; b)

1 2

y(x ) y(x )

   hàm số nghịch biến trên

Bài 3: Ta có: y' 3 cos x sin x 2 2 cos x 2 0

6

  Hàm số đồng biến trên

Bài 4: Ta có: y' 2 mcos x  

* Nếu   2 m 2   y' 0 x     hàm số đồng biến trên

* Nếu m     2 2 2cosx 0 x    và y' 0  tại vô hạn điểm, do đó ta chưa kết luận được hàm số tăng trên Ta chứng minh được hàm số đồng biến trên

* Với m  2, khi đó y' nhận cả giá trị âm lẫn dương trên nên hàm số không thể đồng biến trên

Vậy |m| 2  là những giá trị cần tìm

Bài 5: Ta có: y'   4sin 2x m 

Hàm số đồng biến trên  y' 0   m 4sin 2x x    , tìm được m 4 

Bài 6: Ta có y' m cos x 1cos 2x 1cos 3x

    Hàm đồng biến trên  y' 0, x   

m cos x cos 2x cos 3x, x

   

Bài toán trở thành tìm m để tồn tại

x 1,1

m m ax g t

 

2 Lập bảng biến thiên ta thấy

     

x 1,1

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi

về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh

tiếng

xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức

Tấn

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh

Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí